精品解析：福建省莆田市秀屿区毓英中学2025-2026学年八年级上学期期中考数学试题

2025-2026学年上学期八年级期中综合素养展示数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 6. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 9. 如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（ 　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 12. 若点与点关于轴对称，则__________． 13. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 14. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 15. 如图，在ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则ABC的面积为____________． 16. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是________． ①；②；③；④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，已知．求证：． 18. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一条边长为，这个三角形的三边长分别为多少？ 19. 如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 20. 已知：在中，，D是边上的点，，点D在的垂直平分线上，，求的长． 21. 如图，中，． （1）请用尺规作图的方法在边上确定点，使得点到边的距离等于的长；（保留作用痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 22. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 23. 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务。 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度? 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到________；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段________的长度，即为点到水平地面的高度. 项目数据 …… 任务： （1）请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性： （2）若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗?请说明理由. 24. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 25. 数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期中综合素养展示数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选C． 2. 有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴这三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； C．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； D．∵， ∴这三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 3. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； C.由可得和都是直角三角形，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 6. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 7. 已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 8. 如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 10. 如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（ 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点A关于的对称点，关于的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，关于的对称点， 连接与的交点即为所求的点M、N， ∵， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 12. 若点与点关于轴对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标性质，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，再计算的值即可，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【详解】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 14. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即， ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与直角三角形的综合运用，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则ABC的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，可得∠DAB＝30°，从而BD＝ AB＝4，即可求解． 【详解】解：过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D， ， ∵AB＝AC，∠ABC＝15°， ∴∠C＝∠ABC＝15°， ∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°， ∵AB＝AC＝8， ∴BD＝ AB＝4， ∴△ABC的面积为： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，求解BD的长是解题的关键． 16. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由角平分线的定义以及性质定理可得，，证明，则，证明，则，进而可得；可判断①的正误；如图，作于，同理可求，则，可判断②的正误；由题意知，无法判断，可判断③的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；①正确，故符合要求； 如图，作于， 同理可求得， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，，但无法判断，③错误，故不符合要求； ∵，， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，已知．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中，， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】略 18. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一条边长为，这个三角形的三边长分别为多少？ 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键；因此此题可分当边长为是腰长和底边长进行分类求解即可． 【详解】解：由题意得： 当边长为是腰长时，所以底边长为，则该等腰三角形的三边长分别为，，，不符合三角形三边关系，故不符合题意； 当边长为是底边长时，所以腰长为，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系，故符合题意； 综上所述：这个三角形的三边长分别为，，． 19. 如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义，和三角形的内角和定理是解题的关键．由可得，由直角三角形两个锐角互余，得到，即可求得，再由平分可得，从而利用三角形的外角的性质即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20. 已知：在中，，D是边上的点，，点D在的垂直平分线上，，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线性质和等腰三角形性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等腰三角形等角对等边，含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半． 先求出，由点D在的垂直平分线上，可得，继而得出，，根据含30度角直角三角形的特征得出，即可得出． 【详解】解： ∵，， ∴ ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 21. 如图，中，． （1）请用尺规作图的方法在边上确定点，使得点到边的距离等于的长；（保留作用痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）如图： （2）如图，过点P作PN⊥BC，交BC于点N，由（1）可知:PA=PN， 在和中， ， ∴≌(HL)， ∴AB=BN， ∵， ∴∠C=45°， 又∵∠PNC=90° ∴∠NPC=∠C=45°， ∴PN=NC， ∴BC=BN+NC=AB+PN=AB+AP. 【解析】 【分析】（1）作出∠ABC的角平分线BM交线段AC于P，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P即为所求； （2）过点P作PN⊥BC，交BC于点N，通过证明≌得到AB=BN，且易得PN=NC，由BC=BN+NC，等线段转化即可得证. 【详解】解：（1）利用尺规作图，作出∠ABC的角平分线BM交线段AC于P，则点到边的距离等于的长； （2）略 【点睛】本题主要考查了利用尺规作图作一个角的角平分线，角平分线的性质及直角三角形全等的判定.熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键. 22. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】略 23. 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务。 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度? 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到________；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段________的长度，即为点到水平地面的高度. 项目数据 …… 任务： （1）请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性： （2）若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗?请说明理由. 【答案】（1） 解：①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段的长度，即为点到水平地面的高度. 在和中， ， ∴， ∴． 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度． （2） 解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 25. 数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（），理由见解析；（）见解析；（）不发生变化，证明见解析 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）证明：如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $