精品解析：辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试题

辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. [-4，1] B. [-3，1] C. [-3，1） D. [-4，1） 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0． 【详解】由解得，又，得. 故选：D． 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间. 【详解】解:由题知, 由于均为单调递增, 所以随着的增大也增大,故在单调递增, , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 故选:C 3. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】由在上单调递增，得，解得， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答. 【详解】函数定义域为，， 因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减， 必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得， 由，有意义得：，解得，因此，， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为常数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时. A. 72 B. 36 C. 24 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求. 【详解】当时，；当时，， 则，整理可得，于是， 当时，． 故选：A 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别由题意证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出两函数值域的包含关系，再对的符号分类讨论，利用集合间的包含关系可得结论. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某企业有职工150人，其中高级职称有15人，中级职称有45人，一般职员有90人，现抽取30人，进行分层抽样，则各职称人数分别为3，9，18 B. 一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为11，方差为9 C. 某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见是简单随机抽样 D. 高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，，172，175，176，180，这7人身高的第60百分位数为175 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解A，根据平均数和方差的性质即可求解B，根据分层抽样的特征即可求解C，根据百分位数的计算即可求解D. 【详解】对于A，抽样比为，所以高级职称,中级职称以及一般职员分别抽取3，9，18，故A正确， 对于B，一组数据的平均值为7，方差为4，则的平均值为，方差为1，所以的平均值为，方差为9，故B正确， 对于C，行政人员、教师、后勤人员是三个不同的群体，故采用分层抽样比较合适,C错误， 对于D，将7个人的身高从小打到排列为：168，170，172，172，175，176，180，由于，故这7人身高的第60百分位数为第5个数据175，D正确， 故选：ABD 10. 已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. 函数有两个零点2和3 D. 的解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，方程的根为和，由韦达定理可知，，判断；结合二次函数的图象知当时，，判断；由不等式的解集为，判断；由韦达定理可知，，代入，求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 所以根据一元二次不等式解法可知， 且，，，，则，正确； 由二次函数的图象知当时，，故，错误； 方程的根为和，显然正确； 由,可知:，， 代入，得， 由可得，解得或， 故的解集为或，正确； 故选：. 11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，根据指数函数性质结合基本不等式分析判断A；根据对数函数性质结合基本不等式分析判断B；根据题意结合函数单调性分析判断C；令，方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断D. 【详解】由，得， 函数的零点，即为的图象与直线交点的横坐标， 如图，作出函数的图象. 如图，，且， 对于A，由，得， 整理得，即，则，故A正确； 对于B，由，得， 则，整理得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得， 则，， 因函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，因此，故C正确； 对于D，方程，即，令，则，而， ①若，则方程无实根，即方程无实根，方程无实根； ②若，则方程有2个不相等的实根，且有2个不相等的实根； 有3个不相等的实根，方程有5个不相等的实根； ③若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，有4个不相等的实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有10个不相等的实根； ④若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，或或均有3个不相等的实根， 因此方程有9个不相等的实根； ⑤若，则方程有3个不相等的实根满足：， 且无实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有6个不相等的实根； 综上，方程最多有10个不同的实根，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： ①转化为两个常见的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； ②分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知不等式得函数是增函数，即得是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解． 【详解】设， 因为对任意的，恒有， 所以函数在上为增函数，则在上为增函数， 又，而，所以， 所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数， 所以不等式等价于， 即，亦即， 可得，解得． 故答案为：． 14. 定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“局部奇函数”的定义可知，有实数解；通过换元法可求的取值范围. 【详解】由“局部奇函数”的定义得，使得方程成立， 即有实数解； 方程变形为， 令则， 故方程在区间上有解， 令， 则或 ； 解得或． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，然后对是否为空集进行分类讨论可求； （2）当时，结合是否为空集进行分类讨论可求的范围，然后结合补集思想可求满足条件的的范围． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 当时，，即， 当时，，解得， 综上，的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时， 当时，，即， 当时，或， 解得，， 综上，时，或， 故当时，实数的取值范围为． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）3 （2） 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题； （2）根据一元二次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 17. 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 1800 5600 21600 若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，可用表示. （1）请求出函数的表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）. （i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由； （ii）已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）. 【答案】（1） （2）（i）该车若不充电不能到达乙地，理由如下： 任取， ， 由，，，，则有， 即， 所以函数在区间单调递增， 所以， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地； （ii）4.33小时. 【解析】 【分析】（1）由题意将和代入函数中，解方程组可求出，从而可求出函数的表达式； （2）（i）设耗电量为，根据题意求出，然后利用函数单调性的定义判断出函数在区间单调递增，从而可求出其最小值，与电池存量减去保障电量比较大小可得结论；（ii）设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，则有，解得，然后表示出，利用基本不等式可求出其最小值. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 故； 【小问2详解】 ， 设耗电量为，则 ； （i）略 （ii）由（i）知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为，，总和为， 若能到达乙地，则初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量， 即， 所以， 解得 所以总时间 当且仅当，即时取等号， 所以，该汽车到达乙地的最少用时约为4.33小时. 【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数模型解决实际问题，考查函数单调性的判断，考查基本不等式的应用，第（2）问解题的关键是根据已知的函数模型表示出总耗电量，再根据初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量，列不等式，考查计算能力和理解能力，属于较难题. 18. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【小问1详解】 因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 已知函数（，）是奇函数. （1）求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； （2）当时，函数的值域是，求实数与的值： （3）当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】（1），在上单调递增. （2），. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义列式求出，分和讨论，利用复合函数单调性判断； （2）分析所给区间是函数定义域的子集，从而得出的范围，确定函数的增减性，再由单调性求其值域即可； （3）先分析二次函数在上单调递减，利用函数单调性得到，即可分析出关系式． 【小问1详解】 由已知条件得对定义域中的均成立， 所以，即， 整理得，对定义域中的均成立，即，所以， 当时，无意义，故舍去，当时，为奇函数，故. 所以， 当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递减，则在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，故函数的定义域为， ①若，则，所以函数在区间上为增函数， 要使的值域为，则，无解； ②若，则，所以函数在区间上为减函数， 要使的值域为，则，解得，， 综上，，. 【小问3详解】 由题可得：， 则函数的对称轴为， 因为，所以，故函数在上单调递减， 要使得时恒成立，则， 由，得； 又，即，所以， 即，所以， 故，所以. 又因为，故，解得， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. [-4，1] B. [-3，1] C. [-3，1） D. [-4，1） 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为常数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时. A. 72 B. 36 C. 24 D. 16 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某企业有职工150人，其中高级职称有15人，中级职称有45人，一般职员有90人，现抽取30人，进行分层抽样，则各职称人数分别为3，9，18 B. 一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为11，方差为9 C. 某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见是简单随机抽样 D. 高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，，172，175，176，180，这7人身高的第60百分位数为175 10. 已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. 函数有两个零点2和3 D. 的解集为或 11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 13. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________ 14. 定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集. 17. 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 1800 5600 21600 若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，可用表示. （1）请求出函数的表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）. （i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由； （ii）已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）. 18. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 19. 已知函数（，）是奇函数. （1）求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； （2）当时，函数的值域是，求实数与的值： （3）当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $