精品解析：湖南省永州市冷水滩区京华中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025年下期京华中学第三次数学练习题 一、单选题：（每小题3分，共30分） 1. 在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 将方程约去分母后的式子为（ ） A. B. C. D. 3. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 化简，结果为（　　） A. B. 22027 C. D. 0 9. 若，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b在数轴上的位置如图，化简代数式的结果等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 因式分解：______． 12. 中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为______． 13. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 14. 计算：______． 15. 已知，则________． 16. 已知，则______________． 17. 若等式成立，则x的值为__________． 18. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 三、解答题 19. 因式分解： （1） （2） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解分式方程： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，求的值． （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 24. 【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 25. 中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． （1）求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ （2）将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 26. 阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为_________； （2）已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； （3）若，试求函数的最小值，并求出此时x的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期京华中学第三次数学练习题 一、单选题：（每小题3分，共30分） 1. 在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 2. 将方程约去分母后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，通过观察分母关系，将方程变形后，两边同乘分母的最小公倍数去分母． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为， 两边同乘，得， ∴去分母后的式子为， 故选：D． 3. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴分式，的最简公分母是， 故选：D． 4. 下列各式中，一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，首先根据，交叉相乘可得：，通过移项、合并同类项，可得：，再把等式的两边同时除以即可得到． 【详解】解：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 可得：． 故选：D． 6. 如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据同底数幂的除法法则进行计算.同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，为正整数，且)；利用指数运算法则，将 转化为 ，然后代入已知条件计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故选：C． 7. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 8. 化简，结果为（　　） A. B. 22027 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，以及因式分解的应用． 把原式变形为，然后提取计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选B． 9. 若，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，平方差公式，积的乘方的逆运算，先根据若，，分别计算出a，b，c的值，再比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 10. 已知a，b在数轴上的位置如图，化简代数式的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键． 先根据数轴得出，进而利用二次根式的性质和绝对值的性质化简得出即可． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故选：D． 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．先通分，再利用同分母分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 已知，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算等知识，先计算，再根据即可得到，从而求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 16. 已知，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 17. 若等式成立，则x的值为__________． 【答案】0或1或3 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键． 直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得：， 此时，符合题意； ； 当时， 解得：，符合题意； 当时， 解得：， 此时，符合题意； 综上所述：x的值为0或1或3． 故答案为：0或1或3． 18. 设的整数部分是，小数部分是，则的值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，解题的关键是求出a、b的值． 化简，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，又， ， ，， ． 故答案为：10． 三、解答题 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，再利用公式法进行因式分解； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）1． 【解析】 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先化简二次根式，再计算除法，最后计算加减即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再计算加减即可． （1） （2） 21. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；. 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则进行化简，再把变形 代入求出分式的值即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ 原式. 23. 已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，求的值． （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：的值为3． 【小问2详解】 ∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且． 24. 【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 25. 中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． （1）求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ （2）将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【答案】（1）一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 （2）一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程和分式方程解应用题： （1）设一袋“豆沙馅”的价格是元，一袋“云腿馅”的价格是元，根据题中等量关系列出方程并求解即可； （2）设每袋“豆沙馅”增加元，每袋“云腿馅”增加元，根据题中等量关系列出分式方程求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． 【小问2详解】 解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 26. 阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为_________； （2）已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； （3）若，试求函数的最小值，并求出此时x的取值． 【答案】（1）完全平方公式； （2），； （3），最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形为，再利用已知中推导的结论得，得到时，的最小值为． 【小问1详解】 解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 解：， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $