北京市第十五中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

北京十五中高一数学期中考试试卷 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟． 考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 4. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则一定有（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 7. 已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（ ） A. 0对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________． 12. 已知 是定义在上的偶函数，那么___ 13. 已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 14. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 15. 已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数且满足． （1）求的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 18. 已知二次函数，若不等式的解集为 （1）求实数的值； （2）当时，求的最小值． 19. 某公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入两种产品中且均有投资，其中万元资金投入产品． （1）请把两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域： （2）在（1）的条件下，当取何值时公司可获得最大利润，此时最大利润是多少？ 20. 已知函数是上的奇函数．且 （1）求的解析式； （2）用定义证明：在区间上是增函数；并求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 北京十五中高一数学期中考试试卷 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟． 考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3，或. 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 且， ， 因为，所以，，， 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数， 所以在区间上的最大值为. （3） 【21题答案】 【答案】（1） 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； （2） 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； （3）7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $