宁夏回族自治区中卫市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次质检数学模拟练习试卷

2025-2026学年宁夏中卫一中高二（上）第三次质检数学模拟练习试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.过两点的直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知平面，的法向量分别为，，若，则x的值为(    ) A. 10 B. C. D. 3.椭圆的一个焦点坐标为(    ) A. B. C. D. 4.椭圆C以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆C的方程为(    ) A. B. C. D. 5.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是(    ) A. B. C. D. 6.过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是(    ) A. B. C. D. 7.双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线C在第一象限交于，则双曲线C的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与C交于A，B两点点B在x轴上方，且，则直线AB的斜率为(    ) A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9.下列直线中，与圆C：相切的有(    ) A. B. C. D. 10.已知曲线C：的两个焦点分别为，，点P在C上，且，的斜率分别为，，则下列说法正确的是(    ) A. 若C是椭圆，则 B. 若C是双曲线，则 C. 若，则 D. 若，则C的离心率为 11.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法不正确的是(    ) A. 椭圆C的方程为 B. 椭圆C的焦距为1 C. D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.求过点、、的圆的标准方程        . 13.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是        . 14.已知O为坐标原点，双曲线的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的渐近线方程为        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 求适合下列条件的圆锥曲线方程： 焦点在x轴上，短轴长等于4，离心率等于的椭圆标准方程； 焦点在y轴上，焦距为10，且经过点的双曲线标准方程. 16.本小题15分 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线C上. 求双曲线C的标准方程； 过点P且斜率为的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求 17.本小题15分 如图，在三棱柱中，M为AC的中点，平面ABC，， 证明：平面平面 求平面与平面的夹角. 18.本小题17分 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. 求圆C的方程； 若经过点直线l与圆C相交于A，B两点，且为直角三角形，求l的方程. 19.本小题17分 已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一点. 若焦距为，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； 若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 22.本小题12分 已知椭圆E：的右顶点为A，上顶点为B，，离心率为 求E的方程； 直线l平行于直线AB，且与E交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求l的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，，证明：为定值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，， ， 直线AB的倾斜角是 故选： 求出直线AB的斜率，从而求出直线的倾斜角即可． 本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：因为平面，的法向量分别为，， 当，则，可得，即，解得 故选： 由题意可得，可得，列方程可得x的值． 本题考查向量垂直的性质的应用，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：根据题意可知，椭圆的标准方程为， 显然焦点在y轴上，且， 所以焦点坐标为和 故选： 将已知方程化为椭圆的标准方程，判断焦点位置，计算c后即可求解． 本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：由，可得其顶点坐标，焦点坐标为：， 所以椭圆焦点坐标为，长轴端点坐标：， 故椭圆C的方程为： 故选： 由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解． 本题主要考查椭圆和双曲线的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：由题意，，， ， 中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是， 故选： 由题意，，，，即可得出结论． 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：设，，则，， 则，， 两式相减得， 所以，即， 故所求直线方程为，即 故选： 利用点差法：设，，代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程． 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及中点弦问题，往往考虑利用“点差法”加以解决，属中档题． 7.【答案】C  【解析】解：双曲线的左、右焦点分别为，， 过作倾斜角为的直线l， 直线l与双曲线C在第一象限交于， ， 的倾斜角为， 为直角三角形， ，， 由双曲线的定义得， 双曲线C的离心率为 故选： 先由特殊角的余弦值确定三角形为直角三角形，再利用双曲线的定义求出a，c关系后可得． 本题考查双曲线性质、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】B  【解析】解：设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中，由勾股定理得，解得， 所以，，直线的斜率， 而，所以直线AB的斜率 故选： 根据题意，设，则，，，再在利用勾股定理可得，进而得到，即可求解． 本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 9.【答案】ABD  【解析】解：圆C：化为标准方程为， 圆C的圆心为，半径为 点C到直线的距离， 点C到直线的距离， 点C到直线的距离， 点C到直线的距离 故选： 求得圆心坐标与半径，进而求得圆心到直线的距离，可判断ABCD的正误． 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，属基础题． 10.【答案】BD  【解析】解：对于A，若C是椭圆，则，其焦点可能在y轴上，则，故A错误； 对于B，若C是双曲线，则C的焦点在x轴上，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，曲线是椭圆，易得，，， 因此焦点，设点在椭圆上，满足， 整理得， 的斜率，的斜率， 则，并不恒等于，故C错误； 对于D：若，则C是双曲线，因为，，，所以离心率为，故D正确． 故选： 对于A，由于m的大小范围不确定，焦点位置无法确定，进一步即可分析的取值情况； 对于B，若C是双曲线，则C的焦点在x轴上，根据双曲线几何意义求解即可； 对于C，若，设，则据此化简表达式，可得； 对于D，若，则C是双曲线，根据a、b、c的关系即可求解． 本题主要考查了双曲线的定义，性质的简单应用，属于中档题． 11.【答案】ABD  【解析】解：已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为， 设椭圆方程为：， 对于A，由题意有， 解得， 则椭圆方程为：，故A错误； 对于B，椭圆的焦距为，故B错误； 对于C，依题意，点，把代入椭圆方程得，解得， 即，故，故C正确； 对于D，的周长为，故D错误． 故选： 根据椭圆的短轴长以及离心率求得，即可求得椭圆方程，判断A；求出焦距判断B；求出椭圆的通径长判断C；结合的周长为4a，判断 本题考查了椭圆的方程及性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题． 12.【答案】  【解析】解：由于所求的圆经过三点，和原点， 故圆心在直线上，又在上，故圆心的坐标为， 半径为，故要求的圆的标准方程为：， 故答案是： 由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程． 本题主要考查求圆的标准方程，关键在于利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：表示焦点在y轴上的椭圆， 故k的取值范围是 故答案为： 依题意，可得到：从而可得k的取值范围． 本题考查椭圆的标准方程，考查解不等式组的能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：由题意，，，双曲线的渐近线为， 设点P在上，则， 故， 所以， 则， 所以，所以， 所以， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 应用点到直线的距离得，结合a，b，c的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程． 本题考查双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题． 15.【答案】解：因为双曲线的实轴长为， 所以， 解得； 又因为点在双曲线C上， 所以， 解得， 所以双曲线的标准方程为：； 由题可得过点P且斜率为的直线方程为：， 即， 联立， 消去y可得：， 设，， 所以，， 所以  【解析】将点代入双曲线C方程即可求解； 写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果． 本题考查了双曲线的性质，重点考查了直线与双曲线的位置关系，属中档题． 16.【答案】证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面    【解析】解：证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面； 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过点C且平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 故，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则，即， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，则，即， 令，则， 则平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角为 由线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论； 构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，进而求出平面的法向量，再由向量法求二面角的余弦值，进而可求平面与平面的夹角． 本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 17.【答案】  或  【解析】解：已知圆心C在直线上， 可设圆C的圆心为， 又圆C经过，两点， 根据两点间的距离公式可得， 解得， 所以圆心，圆C的半径为， 则圆C的方程为； 因为直线l过点与圆C相交于A，B两点，而点在圆上， 所以于A，B两点有一个与P重合，又因为为直角三角形， 所以，， 则圆心C到直线l的距离， 由题可知直线l的斜率存在且设为k， 则直线l的方程为，即， 根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离， 化简得，解得， 所以直线l的方程为：或 设圆心坐标，利用圆心和圆经过已知两点构造方程求出圆心坐标，利用圆心到已知点的距离求出半径，从而得出圆的方程； 利用已知条件求出圆心到直线AB的距离，设直线l的斜率为k，得出直线l的方程，利用点到直线距离公式构造方程求出k，从而得出直线方程． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 18.【答案】解：已知， 因为， 所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得， 即①， 又因为， 即②， 联立①②，整理得， 解得， 所以， 故椭圆C的标准方程为； 因为， 所以的面积， 则， 因为长轴长为， 即， 根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得  ④， 联立③④得：， 即， 则， 所以， 则， 解得  【解析】由已知可得，根据点P在椭圆上，再结合a，b，c的关系即可求解； 由的面积可得，再结合椭圆的定义和余弦定理即可求解． 本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题． 19.【答案】解：由题意得，，解得，， 所以椭圆E的方程为：； ①由知，， 所以，又P，Q是直线AB上的两点，四边形MNPQ为矩形， 所以， 设直线l的方程：，，， 联立，消去y整理得：， 则，解得：， 所以， 因为，所以矩形MNPQ中即为两平行线间的距离d， 因为直线，即，直线， 所以， 又， 所以，即， 而， 所以， 解得：或， 所以直线l的方程为：或； ②证明：因为，所以， 因为在直线l上，所以， 又点在椭圆上，则， 所以， 所以， 进而， 此时有，，， 所以，  【解析】根据椭圆a，b，c以及离心率之间的关系列方程组，求出a，b即可求解； ①利用矩形的面积公式可得，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可求解； ②利用韦达定理得，进而可得，然后利用斜率公式即可证明． 本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题． 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $