安徽省华师联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题

2026届高三第一学期12月质量检测 数 学 （试卷满分：150分,考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号；回答非选择题时,用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 已知函数，则函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 8. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 10. 设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 11. 在棱长为2的正方体中，，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则直线与所成角的最小角为 C. 若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D. 若，则直线和直线所成角可能为 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 函数的定义域为__________________ . 13. 两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为________． 14. 已知函数，数列为公差不为0的等差数列，若，则________． 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数的图象关于点对称． （1）求； （2）若，求函数的最值及取最值时的的值； （3）若，且，求． 17. 在中，角的对边分别为，且，． （1）求； （2）若边上的高为，求的周长． 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，，，，分别为棱，上的动点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）若截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若球是三棱锥的外接球，若平面截球所得的截面的面积为，求． 19. 已知函数有两个极值点，，且， （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 2026届高三第一学期12月质量检测 数 学 （试卷满分：150分,考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号；回答非选择题时,用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】5 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数取最大值1；当时，函数取最小值 （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 取线段的中点为，连接，因为，所以； 又因为为正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角 又因为，所以，所以， 即为直角三角形，且，所以； 又因为为正三角形，且，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以平面平面； （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 因为是函数的两个极值点，则有：①，②， ①②得：，即， 要证，即证， 即证，即证：， 即证，令，且， 即证， 令，则， 而， 因为，所以，，则，所以， 所以在上单调递增，又因为，所以， 即在时成立，所以成立； （3） 由（2）知，当时，， 取时，有， 所以有：， 则有， 即， 所以， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $机密★启用前 2026届高三第一学期12月质量检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数之满足十-1，则1z= 2+i A四 B.√10 C.5 D.5 2.已知集合A={x∈N-1<x<4},B={y|y=x2,x∈A},则A∩B= A.[0,4) B.(1,4) C.{0,1) D.(1) 3.已知数列{an}为等比数列，a1a4a,=64,a6a,=8,则ag= A.1 B.2 C.4 D.6 4.已知函数f(x)=一x2+3x,则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 A.x+y-3=0 B.x-y+1=0 C.x+y-2=0 D.x-y-1=0 5.在△ABC中，若BD=rBC,AD=号AC+AA店，则X+H A号 B号 C.1 n唱 6.已知2气o,24=2,则sina(sina十coso）= sin 2a A.2 B号 cs D号 7.已知函数f(x)=|2一2|，若x1<x2且f(x1)=f(x2),则2十22-的最小值为 A B.9 C.5+2√2 D3+22 高三数学试题第1页（共4页） 8.已知函数(x)=2sin(ox+p)(w>0)在区间（管，号）上单调，且满足f(-)-f(受)，若 函数∫(x)在（石，2x)上有且仅有3个极值点，则“的取值范围为 A[,) B剖] c[2) D.(2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.为了得到函数y=log2(2x)的图象，只需将函数y=1oga(√x)的图象上所有点 A.横坐标变成原来的（纵坐标不变） B.横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C.向上平移1个单位长度 D.向左平移1个单位长度 10.设等差数列{an}的前n项和为Sm,公差为d,首项为a1,若S8>S2,S11<0,则下列结论 正确的是 A.d<o B.当n=5时，Sn取最大值 C.lasI<la6l D.数列 三为等差数列并且与数列(a}具有相同的单调性 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD1中，AP=xAB+yAD+zAAi,则 A.若x十y十x=1,则AC1⊥BP B,若z=1,x十y=1,且x≥0，y≥0，则直线AP与BD所成角的最小角为需 C,者x十十2=2，则点P所在的平面截正方体所得的裁面面积为 D.若x十y十z=2,则直线CC和直线DP所成角可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=tan(x+平)的定义域为 13.两个非零向量a,b,满足|a十b|=2|a一b|,则向量a与向量b夹角的余弦值的最小值为 14.已知函数f(x)=l1n(√x2一2x+2十x一1)，数列{an}为公差不为0的等差数列，若f(a1) +f(a2)+f(a3)十f(a4)十f(as)=0,则a1+a2十a3十a4+as= 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列(a,}满足a1=2,且r1=2(2n十1) an 2n-1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{anm}的前n项和S。: 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin(2x+石)osp+cos(2x+)sinp(0<p<π)的图象关于点 (,0)对称。 (1)求p: (2)若x∈[0，]，求函数f(x)的最值及取最值时的x的值； (3)若0<a<x,且f(受）=4，求cos(a十p). 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C=2,√2 ccos Bcos C-2√2 bsin2C, asin B=4√2. (1)求b; (2)若BC边上的高为20,2，求△ABC的周长 高三数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA=PB=√6，AB=PC=2√5，E,F 分别为棱PB,PC上的动点，且BC∥平面AEF. (1)证明：平面ABC⊥平面PAB; (2)若截面AEF将三棱锥P-ABC截成上下两部分的体积之比为1：3，求平面AEF 与平面ABC的夹角的余弦值； (3)若球O是三棱锥P-ABC的外接球，若平面AEF截球O所得的截面的面积为3π， 宋器 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x十a)lnx有两个极值点x1,x2,且0<x1<x2, (1)求实数a的取值范围； @证明十>品 o)证明，b人+号十品+十十a∈N) 高三数学试题第4页（共4页） 2026届高三第一学期12月质量检测·数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A C B B C 0 A D 题号 9 10 答案 AC ABD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解折h题意可得=-2士1卫-3号，=空，故递A 2.【答案】0 【解析】由题意可知A={0,1,2,3},B={yy=x2,x∈A}={0,1,4,9},则A∩B={0,1〉，故选C 3.【答案】B 【解析】.a1a1a=a}=64,∴a1=4,a6a7=asa1=4ag=8,.a=2,故选B. 4,【答案】B 【解析】.f(x)=-x2+3x,.f'(x)=3-2x,f(1)=1,f(1)=2,.在点(1，f(1)处的切线方程为y-2=x-1,即x- y十1=0，故选B. 5.【答案】C 【解析】因为B市=B心，所以B市∥成，又因为有公共点B,所以点B,D,C三点共线，又因为AD=号AC+入A,所以号 十X=1,即X=号：即AD=号AC+是A店，所以A心-AB=号AC+子A店-A店，即A市-A店=号A心-号AB,所以Bd 号(AC-A)=号B武，所以以=号，所以A十=1，故选C 6.【答案】D 【解折1小。22 2sna三an。=2,则sna(sna十cosa）=如acos sina=tan atan9-号十号-号，故 2sin acos a sin acos a tan'a+1 选D. 7.【答案】A 【解析】作出函数f(x)=2-2的图象，如图所示，因为f(x1)=f(x2),即2 -2=22-2,因为x1<x2,由图可知，x1<1,1<x2<2,即2-25=22-2， 所以有24十29=4.则24十2：=六十六=（六+六）24十20) 子(6+器+)≥(+2√祭·要)=是当且仅当器 X,即=bg:青=16g:号时等号成立，所以21十2公与的最小值为 2x2 号故选A 8.【答案D 【解析)设函数✉)=2sin十p(m>0)的最小正周期为T,因为fx)在（告.号）上单调，所以号≥号-吾=受，即 1T广：又因为（一晋）=/（受），且受-(-吾)要<<T,所以函数)关于直线=言色=吾对称，所以 2 6 函数()在x=吾时取最值（最大值或最小值），又因为函数f()在（否，2x)上有且仅有三个极值点，则有 是T<2m-晋 < ,即 ,又因为T>,所以<T<号，即<8<号解得<<2，故选D 22x晋 高三数学试题参考答案第1页（共6页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AC 【锅析】因为y=1grn=竖：a-l中_hg: log2 (2)log2 (2) =log2x,即将函数y=logE(√G)图象上所有点横坐标变成 2 原来的2（纵坐标不变）：又因为y=log(2x)=logx十log2=logx十1，所以还可以将函数y=log厅（匠）图象上所有 点向上平移1个单位长度.故选AC. 10.【答案】ABD 【解析】因为Ss>S2,所以Ss-S2=ag十a1十as十a6十a,十ag>0,即ag十ag>0,因为a5十a6=ax十as,所以a十a6>0; 因为S1<0,又因为S1=11a6,所以a6<0,又因为a5十a6>0,所以a6>0,a6<0,则d<0,且当n=5时，Sn取最大值， 且a>as,所以A,B正确，C错误； 因为40，所以数列口单调递减：因为8=m十”a,所以是=a十“号4=号m十(a一号)所以数列 2 三}也是等差数列，并且也为单调递减数列，所以选项D正确.故选ABD, n 11.【答案】AC 【解析】对A,若x十y十x=1,则点P,B,D,A1四点共面，如图1，因为ABCD-ABCD是正方体，所以AC⊥平面 A1BD,BPC平面ABD,所以AC⊥BP,所以选项A正确： D D A 6 C B 图1 图2 对B,若x=1,x十y=1,且x≥0，y≥0，则点P的轨迹为线段B:D1,又因为BD∥B1D1,所以AP与BD所成的角转化 为直线AP和BD所成的角，由图2可知，直线AP和BD所成的角的范围为号，受所以选项B错误： 1 对C,若x十y十=2，则过点P的平面截正方体所得的截面为△EFG,如图3所示，其中点E,F,G分别为AB,AD, AA1的中点.证明如下：因为AP=mAE+nA京+pAG,因为点P在平面EFG内，所以m十n+p=1,又因为E,F,G 分别为AB,ADAA:的中点，所以A范=号，A市=号A市，AG-A,所以A市-婴A范+受A方+A,又因为 A市-xA店+yA市+：AA,所以x=受y=分8=号，所以x十y十：=”=子，即所得的截面为△EG,因为 2 正方体的棱长为2，所以△EFG是边长为E的正三角形，所以△EFG的面积为：气×(E)-令，所以选项C正确， A D A D 图3 图4 对D,若x十y十之=2，则点P的轨迹为平面BCD.证明如下：如图4所示，在平面BCD1内任取一点为P,连接AP, 与平面A1BD的交点为P1,连接AC1,分别与平面A1BD和平面B1CD1的交点为O,O2,连接OP1,O2P,因为平面 ABD∥平面BCD,所以0n/0P因为8=合，所以是=号，则市=2A矿.设A矿=花+市 :AA,则x1十y十1=1，所以AP=2AP=2x1AB+2y1AD+2:AA1,又因为AP=xAB+yAD+xAAi,所以 高三数学试题参考答案第2页（共6页） x=2x1y=2y,x=2x1,则x十y十x=2(x1十y十1)=2，即点P的轨迹为平面B1CD.直线CC和DP所成角的最 小角即为直线CC和平面BCD所成的角.连接CO2,则∠CCO2即为直线CC和平面BCD1所成的角，且CC:=2, C0,-9,所以s血∠CC0-号又因为号>号，所以∠CC0,>吾，所以选项D错误综上，放选AC 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】{xr≠kx十平k∈Z 【解析】令x十于≠x十受，解得x≠kπ十平，所以函数f(x)=an(x十平)的定义域为{xx≠kx十平，k∈Z 18.【答秦】号 【解析】因为a十b=2a-b,两边平方得：a+b+2a·b=4a十4h-8a·b,即a·b=0(a2+b),所以os(a,b)= 3 。:。-器·日。>品·2日-号，当且仅当。=。时等号成立，所以向员a与向员6夹角的余弦值 的最小值为是 14.【答案】5 【解析】设函数g(x)=ln(√x2十1十x),定义域为R, 又因为g(-x)十g(x)=ln(√x2+I-x)+ln(√x2+1+x)=ln[(√x2+I-x)(√/x+I+x)]=lnl=0, 所以函数g(x)为奇函数. 又因为g'(x)= 克有广行1)一之，前似函数准R上单两递治 1 又因为f(x)=ln[√(x-1)十1十(x-1)],所以函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向右平移1个单位得到的，所 以函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，即f(x)十f(2-x)=0,且在R上也单调递增. 因为数列{an}为等差数列，且f(a1)十f(a2)十f(a)十f(a1)十f(as)=0, 所以必有a1十a=a2十a1=2a=2.下面用反证法证明. 假设a1十as=a2十a1=2a3≠2， 当a1十as=a2+a1=2aa>2时，则f(a)>f(1)=0:由a1十as>2,则有a1>2-as,所以f(a1)>f(2-as)=-f(a5), 即f(a1)十f(a)>0;同理f(a2)十f(a1)>0,即有f(a1)十f(a2)十f(a)十f(a1)十f(a)>0,与已知矛盾： 当a1十a=a2十a1=2a<2时，则f(a)<f(1)=0;由a1十as<2,则有a1<2-a,所以f(a1)<f(2-a)=-f(a), 即f(a1)十f(a:)<0;同理f(a2)+f(a1)<0,即有f(a1)十f(a2)+f(a)十f(a1)十f(a)<0,与已知矛盾. 所以必有a1十a5=a2十a1=2ag=2,所以a1十a2十a3十a1十a5=5ag=5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)an=(2n-1)·2m(2)Sm=(2n-3)·2m+1十6 【解折1法一：因为世-2，所以0片2可=2·2， an 2n-1 …2分 又因为4=2≠0， 4…0…。……++0……”…。…0…………0+……”………………+…………”3 所以数列{2气}是以2为首项，2为公比的等比数列，…4分 所以2%22=20，即Q,=(2n-1)·2”;………6分 法二：当≥2时a,=a··会·…名=2×是×号×子 al az as =(2n-1)·2,…4分 an-1 1 2n-3 又因为a1=2,即对n=1也成立，所以an=(2n-1)·2”. …6分 (2)法一：S=1×2十3×22+5×23十十(2n-1)·2”①， 2Sn=1X22+3X23+5X21十…十(2n-1)…20+1②，…8分 ①-②得：-Sn=2十2(22十23十…十2")-(2n-1)·2m+1…10分 =2+2.212-(2m-1）…21=(3-2m）…201-6,…12分 1-2 所以S。=(2n-3)…2m+1十6.…13分 法二：an=(2n-1)·2"=[2(n十1)-5]·2m+1-(2n-5)·2m,…9分 所以Sm=(2×2-5)×22-(2×1-5)×2+(2×3-5)×23-(2×2-5)×22+…十[2(n十1)-5]·2m+1-(2n-5)· 20=(2n-3)…2m+1十6.…13分 高三数学试题参考答案第3页（共6页） 16【答案11)后(2)当x=竞时，函数)取最大值1，当x=号时，函数x)取最小值-号(3)3 8 【解析】1)x)=sim(2x+若)os9十cos(2x+否)sin9=sin(2x+吾十g), …2分 因为函数f(x)的图象关于点（子，0）成中心对称， 所以2×号十吾十g=kx,即9=k红-吾，k∈Z.因为0<g<,所以9=石： …6分 (2)）=sin(2x叶吾)，因为x[0受]所以2x号∈[号，g]…7分 所以当2x十号=受，即x=时，函数f()取最大值，且最大值为1，…8分 当2x十受=誓，即x=受时，函数f)取最小值，且最小值为一号， …9分 (3)因为f(受)=子，即sim(a+吾）=子， 因为0<a<,所以号<a十吾<5， 若号<叶骨<要时，<sn(a叶号）1，…1分 因为sm(e+吾)=子，所以经<a十晋<， ………12分 所以o(。+号)V-sm(e吾)=-年， …13分 所以cos(a十p)=cos(a+晋）=cos[(a+号）-g]=cos(a+晋)cos否十sin(a+号)sin日 厘x9+×g1 …15分 4 8 17.【答案】(1)6(2)20 【解析】因为asin C=2√2 ccos Beos C--2√2 bsin'C, 由正弦定理得：sin Asin C=2√2 sin Ccos Beos C--2√2 sin Bsin'C,…2分 因为sinC>0, 所以sinA=2W2 cos Beos C-2√2 sin Bsin C=2√2cos(B+C)=-2√2cosA, 即sinA=-2√2cosA, 4分 又因为sin2A十cosA=1,所以(-2亿c0sA02十c0s2A=1,即c0sA=号，5分 因为sinA>0,所以-2W2cosA>0,即cosA<0,所以cosA=- 3'sin A=212 31 …6分 由正弦定理得：asin B=bsin A,……………7分 又因为asin B=4②，所以bsin A=4E,即22b=4V2,所以b=6;………8分 (2)因为BC边上的病为20g2,所以有2a·20g2=之6 9 9 -2 bcsin A, ……10分 所以20g2Q=6X22c即5a=9c,m▣ …11分 再由余弦定理得。2=6+2-2xo0sA,所以器=36+-2X6×(-吉）】 …12分 化简得：14c2-25c-225=0,又因为c>0,獬得c=5,………13分 所以a=9,…14分 则△ABC的周长为：a十b十c=9十6十5=20.… 15分 18【答案1)详见解析(2)3厘(3)号 31 【解析】(1)取线段AB的中点为M,连接PM,CM,因为PA=PB,所以PM⊥AB; 又因为△ABC为正三角形，所以CM⊥AB, 又因为PMC平面PAB,CMC平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB, 高三数学试题参考答案第4页（共6页） 所以∠PMC即为二面角P一AB-C的平面角，……2分 又因为PA=PB=√6，AB=2√3，所以PA2十PB=AB,所以PA⊥PB,即△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，所 以PM=AB=E: 又因为△ABC为正三角形，且AB=25,所以CM=23×臣=3，又因为PC=25, 2 …3分 所以PM2十CM=PC,即PM⊥CM,所以∠PMC=90°，所以平面ABC⊥平面PAB;…4分 (2)由(1)知，MA,MC,MP两两垂直，分别以MA,MC,MP为x,y,x轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则M(0,0,0),A(W3,0,0),B(-√3,0,0)，C(0,3,0),P(0,0w3).…5分 因为BC∥平面AEF,因为BCC平面PBC,平面PBC∩平面AEF=EF,所以 EF∥BC, 则△PEFC∽△PBC.………………………6分 因为截面AEF将三棱锥P-ABC截成上下两部分的体积之比为1：3，所以 VE=子Vra, 又因为VF=V-PEF,VAC=VA-PmC,即VA-PEF=VP,因为三棱锥A-PEF与三棱锥A-PBC的高相等，所以 受=宁甍所uEF分别为装B心的中点，即（号o号F.号号）.成-（停，含o)应 n·EF=0 2 x1十 2y=0 设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,),由 得 m1·AE=0 2=0 取x1=5,则y=-1,=33,所以n1=(W5,-1,35);…9分 平面ABC的法向量为n2=(0,0,1): 设平面AEF和平面ABC的夹角为0，则cos0=cos(n1,m)=m:n:=3y死 n1·n2 311 所以平面AEF和平面ABC的夹角的余孩值为2，…10分 (3)三棱锥P-ABC的外接球的球心O即为正三角形ABC的中心，即O(0,1,0),外接球的半径R=OC=2, 因为平面AEF截球O所得的截面面积为3π，所以截面圆的半径为r=√，所以球心O到平面AEF的距离为d= R2-r=1. ………12分 设语-A.01,则咒=，设P吃-p店=(-5x0,-,则E(-5,05-5x0,同理F0,31w5-50,所 以AE=(51-√5,05-5)，EF=(5X,3,0),…13分 1m·E序=0V5x1+3y=0 设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,),由 n·花=0得-A后n十5-，=0 取=5，则=-1-》，则m=(5,-1,5),…15分 1-λ 1-λ 又因为A0=（-5,1,0,则4=A0.m=1, 1 即 4 √罗 1，解得号所以器子 …………17分 19.【答案】(1)(0，e2)(2)详见解析(3)详见解析 【解析】(1)f(x)=(x十a)lnx,定义域：(0，十∞)， 若函数f(x)=(x十a)lnx有两个极值点， 则有f(x)=1nx十十a=0在(0，十o∞)上有两个不相等变号根，… x …1分 令g)=f()=nx+生=nx+1+是>0.则g()=, 当a≤0时，g'(x)≥0在(0，十∞)上恒成立， 高三数学试题参考答案第5页（共6页） 所以函数(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以f(x)=0至多有一个实根，不符合题意；…2分 当a>0时， 令g'(x)=0,得x=a,当0<r<a时，g'(x)<0;当x>a时，g'(x)>0, 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，x=a时，f'(x)取最小值，且最小值为lna十2，又因为当 x→0时，f(x)→十o∞，当x→十o∞时，f(x)→十∞，… …3分 所以若f(x)=lnx十十=0在(0，十o)上有两个不相等变号根，只需1na十2<0，即a<e.…4分 x 综上，当0<a<2时，函数f(x)有两个极值点；…………………5分 (2)因为x,x是函数f(x)的两个极值点，则有：lnm十1十a=0①，lnx十1十a=0②， a(x1-x2） ①②得：n一hx4-=a即x=n一n对 …6分 要证：2十七>%即证z十2红之名2)=2，……7分 即证2>名·即正2> 3(x1一x2） 因为0<x1<x2,即证：ln-lnx2<+22 ,………… …8分 xL一1 即证：h县<3·令1云且01， 十2 T2 即证：lnt3t1(0<t1), …9分 t+2 令h0=1nt-3.,0<K1, t+21 则0)=-3.2》-岁，因为0<11.所以-十4>1一5X1十4=0，所以0>0 t (t+2)2 …10分 所以h(t)在(0,1)上单调递增，又因为0<t1,所以h(t)<h(1)=0, 即n13在0<时成立所以十子>成立：…心……分 (3)由(2)知，当0<K1时，1nt3t2, t+2 吸斋aN时有h片<3，立 -3 23n子2 ……13分 所以有：n子<号，n号<，n<l< 一3 ……14分 -3 …………15分 即（宁×号××…片）-3（+…+ ……………………16分 所以n<-3(+++叶 即a少>方+安+方…叶 1 3 ……17分 高三数学试题参考答案第6页（共6页）