17. 突破爪型三角形的八大“妙手” 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

17.突破爪型三角形的八大“妙手” 爪型三角形是解三角形中非常重要的一种构型，人教版教材中也多次出现相关例题，很多此处不再逐一列举，教材必修二53页到54页中这样的例子比比皆是.本节我将给出关于爪型三角形处理的一些重要手段，例如找补角，或者等面积思想，以及利用上述思想结合正余弦定理推出处理爪型三角形的一些重要结论：斯特瓦尔特定理，角平分线定理等. 一．基本原理 1.爪型三角形的几何特征 基本几何特征:如图， . 例1．（2022全国甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，　　． 解析：设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：， 要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：． 【变式练习】 1.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求 解析：（1）由题设，，由正弦定理知：，即， ∴，又，∴，得证. （2）由题意知：， ∴，同理， ∵，∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，. 2.中线公式与向量方法 若已知顶角的大小，且时，可利用向量共线的基本结论求得. 例2（广州市2023届高三一模）在中，内角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线的长. 解析：（1）因为，所以，所以，即， 所以，由余弦定理及得：， 又，所以，即， ，所以. （2）由，所以，由（1）， 所以，因为为边上的中线，所以，所以 ，所以，所以边上的中线的长为：. 【变式练习】 1．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积． 【详解】（1）． （2）如图所示： 因为，所以，．又，所以． 在中，由余弦定理得，即．① 又，所以，两边平方得， 即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，， 所以是以为直角的三角形，所以的面积为． 3.为角平分线：角平分线定理 如图，可设，这样可得.另一方面，设的高为，则，联立上面两式可得：，即角平分线性质定理. 例题3.中，是上的点，平分，面积是面积的倍． （1） 求； （2） 若=1，=求和的长. 解析：（1）， 因为，，所以，由正弦定理可得 . （2）因为，所以，在和中，由余弦定理知， 故，由（1）知，所以. 4.斯特瓦尔特定理 斯特瓦尔特定理：设为的边上异于的任一点，则有 . 证明：由余弦定理，可得： ① ②，将上述两式分别乘后相加整理，可得. 注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即： 这个隐含条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧. 推论1.当设为的边中点时，. 注：该结论还可由证得. 推论2.当设为的角平分线时，. 推论3.当设满足时，. 例4. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求 解析：（2）由斯特瓦特定理，得. 由及，得.化简变形，得. 因为，所以.即.解得或. 当时，.由余弦定理，得（不合题意，舍去）. 当时，.由余弦定理，得. 所以. 5.张角定理 在中，D是BC上的一点，连结AD，那么. 证明：因为，由三角形面积公式可得 两边同除，得到 例5 （2018年江苏卷）在中，角的对边分别为，， 的平分线交于点，且，则的最小值为________. 解 由张角定理有，即， 整理得.所以.当且仅当，即时取得最小值. 6.等面积思想. 设为的平分线，则设，那么有等面积可得： ， 进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 例6.（2022成都一诊）在中，已知角，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________. 解析：，依题意是角的角平分线， 由三角形的面积公式得， 化简得，， .当且仅当，时等号成立.故答案为： 【变式练习】 1.（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）在中，的对边分别为. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，求长度的取值范围. 解析：（1）已知，由正弦定理可得，， ，，， 即， . （2）由（1）知，由，则.设，，，， . 2.在中，，点在边上，. （1） 证明：； （2） 若，求. 解析：（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得， 因为，所以，即．又因为，所以． 方法2.（等面积思想）（2）如图，已知，则， 即， 而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，又，所以，则． 7.三角形相似 如图，在三角形中，已知角的大小，为边上一点.那么我们可利用初中的相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！ 如下图，过点做的平行线交延长线于，则，且由平行的性质可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我们进一步指导的长度，以及点为边上的具体位置，那么在中可以解决很多问题，下面通过例题来分析. 例7.在中，已知角，角的平分线与边相交于，，则的最小值为________. 解析：如上图，由于，故由可得，再加之为角的平分线，则，于是为等边，则，最后由于，可得：. 由于，等号成立当且仅当. 注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读者也可尝试能否用几何方法思考，此处不再赘述. 8.坐标法 例8.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 解析：以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，， 即．⑥，联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得，由余弦定理得． 过关检测 1．已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【详解】由题意为的中点，设，则， 则在中，,则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为，上高的最大值为． 故选：D． 2．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，边上的高为，，且，所以，则，则，，所以，则. 故选：B 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得，可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以，所以当时，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 4．在中，，为内一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，设，令，    则，，在中，可得，， 由正弦定理，得， 所以，可得，即．故选：B． 5．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为_________ 【详解】设，则，在中，，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，当时，有最小值，此时取最小值，所以.故答案为：. 6．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为_________ 【详解】由余弦定理得，又，所以， 即，所以，由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以或（舍去），所以， ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 7．已知是内一点，，则______ 【详解】在中，，设， 由余弦定理可得，可得， 在中，，所以， 由正弦定理得，即，可得， 在中，由余弦定理得， 可得，所以， 可得，因此． 故答案为：    8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是_________ 【详解】在中，由得，由余弦定理得，且，所以.又因为AD是的平分线，则，在中，由正弦定理得，可得，且是锐角三角形，所以，解得，则，可得，所以，故的取值范围是.故答案为：. 9．（吉林省长春市五校2023-2024学年高三上学期联合模拟考试）在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且，求. 【解析】（1）.由正弦定理，可得 又,. （2），设，则，在中，.在与中，. . 10.（2024年广州市普通高中毕业班综合测试（一））（13分）记的内角的对边分别为的面积为.已知. （1）求； （2）若点在边上，且，求的周长. 【解析】（1）. （2）， ， ，而， 的周长为. 11．（2024届福建省高三下学期数学适应性练习卷）在中，D为BC的中点，且. (1)求； (2)若，求. 【详解】（1）由，可得，如图所示：    在中，由正弦定理得，所以 在中，由正弦定理得，所以 故因为为的中点，所以，即， （2）由（1）不妨设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得. 所以.解得.故 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若点D在边BC上，，，，求的面积. 【详解】（1）由正弦定理边化角可得，，整理可得，.因为，， 所以有，所以.因为，所以. （2） 设，则，在中，有. 在中，有. 又，所以， 所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有. 联立，解得，所以，所以，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $17.突破爪型三角形的八大“妙手” 爪型三角形是解三角形中非常重要的一种构型，人教版教材中也多次出现相关例题，很多 此处不再逐一列举，教材必修二53页到54页中这样的例子比比皆是.本节我将给出关于爪 型三角形处理的一些重要手段，例如找补角，或者等面积思想，以及利用上述思想结合正 余弦定理推出处理爪型三角形的一些重要结论：斯特瓦尔特定理，角平分线定理等， 一基本原理 1.爪型三角形的几何特征 基本几何特征：如图，∠APB+∠APC=元. 例1.(2022全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上， AC ∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当AB取得最小值时，BD=· 1/13 【变式练习】 1.(2021新前考1卷)记△1BC是内角，B,C的对边分别为，b,C.已知 B=ac,点D在边4AC上，BDsin∠ABC=asinC. (1)证明：BD=b; (2)若MD=2DC 求coS∠ABC 2.中线公式与向量方法 若己知顶角BAC的大小，且BP=入：BC时，可利用向量共线的基本结论求得 2/13 例2（广州市2023届高三一模）在△1BC A,B,C a,b,c 中，内角的对边分别为 c=26,2sinA 3sin2C (1)求sinC; 3√7 (2)若△ABC的面积为2，求AB边上的中线CD的长 【变式练习】 1,(湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcos C=2a+c. (1)求B; （2)设b=9,若点M是边1C上一点，2AM=MC,且∠M1B=∠MB4,求△BMC的面 积. 3/13 3.AP为角平分线：角平分线定理 SAABM 4B-AM-sin0 2 1 如图，可设∠BAM=∠CAM=0,这样可得 SMCM= ·AC·AM.sin0 .另一 1 BM.h (2) 1 方面，设△ABC的高为h,则 SMCw=7CM.h AB BM 联立上面两式可得：ACMC, 即角平分线性质定理 例题3.△MBC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC,△MBD面积是△ADC面积的2 倍 sin B (1)求sinC; 2 (2)若AD=1,DC=2求BD和AC的长 4/13 4.斯特瓦尔特定理 斯特瓦尔特定理：设P为AABC的BC边上异于B,C的任一 点，则有 AB2.PC+AC2.BP=AP2.BC+BP.PC.CB 证明：由余弦定理，可得： AC2=AP2+PC2-2AP.PC.cos∠APC① AB2=AP2+PB-2AP·PB:cos(π-∠APC)②，将上述两式分别乘BP,CP后相加整 理，可得 注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即：这个隐含 条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧. AP2 =(4B2+AC2)-BC2 推论1.当设P为△ABC的BC边中点时， 2 AP=-(AB+AC) 注：该结论还可由 证得 5/13 推论2.当设P为∠BAC的角平分线时，AP2=AB.AC-BPPC, 推论3.当设P满足BP=元·BC时，AP2=元(1-I)BC2+(I-元)AB2+元MC2 例4.记△1BC是内角A,B,C的对边分别为“，b,C,已知=aC,点D在边 AC上，BDsin.∠ABC=asinC （1)证明：BD=b; (2)若4D=2DC,求os∠4BC 5.张角定理 sin∠BAD+sin∠CAD_sin∠BAC 在AABC中，D是BC上的一点，连结AD,那么AC AB AD 证明：因为SAc=S△m+Sa4CD,由三角形面积公式可得 }4B4Com∠a4C-40ADn∠aD4D4csn∠Dac sin∠BAD sin∠CAD_sin∠BAC 两边同除AB·AC·AD,得到AC AB AD 例5(2018年江苏卷)在△4BC中，角A,B,C的对边分别为4，b,C,∠ABC=120°， ∠ABC的平分线交AC于点D，,且BD=1,则4a+C的最小值为_ 6/13 6等面积思想. 设AM为∠A的平分线，则设∠BAM=∠CAM=0,那么有等面积可得： SMc =be:sin 20=(b+c)AM.sin0 2 2 进一步可得：2bc~cosB=(b+c)AM,于是可以看到，倘若我们知道角日与角平分线 AM的长度，则可得到bC→b+C的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题. 例6.(2022成都一诊)在。1BC中，已知角A=号，角A的平分线AD与边BC相交于点 2元 D,AD=2.则AB+2AC的最小值为 【变式练习】 L(江苏省南通市2023届高三下学期第一-次调研测试)在MBC 中， A,B,C 的对边分别为 a,b,c,acosB-2acosC=(2c-b)cosA ()若C=VSa,求osB的值； b=L,∠BA (2)若 的平分线4D交8C于点D,求0长度的取值花园国。 7/13 2.在△ABC中，b2=ac,点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 7.三角形相似 如图，在三角形ABC中，已知角A的大小，D为BC边上一点.那么我们可利用初中的相 似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！ 如下图，过点B做AC的平行线交AD延长线于E,则△BDE~ACDA,且由平行的性 质可知：∠CAD=∠BED,于是，已知角A的大小即可得∠ABE的大小，徜若我们进一 步指导AD的长度，以及点D为BC边上的具体位置，那么在△ABE中可以解决很多问题， 下面通过例题来分析. 8/13 A B D E As2元 例7.在△ABC中，已知角 3,角A的平分线AD与边BC相交于D,AD=2,则 AB+2AC的最小值为 8.坐标法 例记△1BC是内角，8，C的对边分别为°，b,C已知=C,点P在边1C上 AC BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b； (2)若AD=2DC,求coS∠ABC. 过关检测 1.已知在△ABC中，BC=2,D为AC的中点，且AC=BD,则边BC上高的最大值为 A号BC2D含 9/13 2.在△ABC中， C=云CA边上的高等于2 6 cA,则simB= 3 3 1 1 A.2B.2C.3D.3 3.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若B=60°，b=2,则边AC上 中线BD的取值范围为( ) B. c.1,5 D.(山，3 4.在MBC ∠ACB=120,BC=2ACD、,△ABC 中， 为 内-点，AD1CD.∠BDC=120 则tan∠ACD=( ) 33 3 A.2√2 B.2 C.6 D.2 5.如图，D为△MBC 的边AC上一点， 1AD=2|DCI∠ABC=60°|AB|+2|BC=4 则BD的最小值为 B 6、在锐角BC中，内角4B.C所对的边分别为ac,若。+心，则方十o8的最 10/13