精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高三上学期第四次月考（12月）数学试题

2025－2026学年普集高中高三第一学期第四次月考数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ） A. 对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B. 对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C. 存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7中位数是奇数 D. 不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，则（ ） A. 方案一中的扇形弧长为 B. 方案一中的扇形面积为 C. 方案二中扇形弧长为 D. 方案二中的扇形面积为 5. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 或 B. C. 1 D. 6. 方程在内的根的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C D. 8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，则下列元素属于的是（ ） A. 7 B. 8 C. 73 D. 240 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 当时，图象的对称中心为， C. 当时，图象的对称轴方程为， D. 当，的值域为时，的值为 11. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的最大值为2，则______． 13. 已知函数，若，则______． 14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切直线，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设，是否存在实数，满足对任意的，都存在，使得成立？ 16. 中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）． （1）若图3构成正八边形，求实数m的值； （2）若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 17. 已知函数． （1）若，求极值； （2）当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 18. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年普集高中高三第一学期第四次月考数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，利用并集的意义求解即可. 【详解】由，得， 解得或，所以， 由，可得，解得或，所以或， 所以． 故选：C 2. 命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为（ ） A. 对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 B. 对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 C. 存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数 D. 不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题否定是全称命题判断即可. 【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换底公式先求得，再由指数的运算法则计算即得. 【详解】由题意得， 因，则，则，即， 故． 故选：B 4. 在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，则（ ） A. 方案一中的扇形弧长为 B. 方案一中的扇形面积为 C. 方案二中的扇形弧长为 D. 方案二中的扇形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式与面积公式计算即可. 【详解】因为是顶角为、腰长为2的等腰三角形， 所以，上的高为1，即，， 所以方案一中扇形的弧长为；扇形的面积为； 方案二中扇形的弧长为；扇形的面积为． 综上，选项D正确． 故选：D 5. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 或 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求得或，再分别代入验证极值确定值. 【详解】由题意得，又函数在处取得极小值， 则，解得或． 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， 所以． 故选：B. 6. 方程在内的根的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有或，结合已知区间确定根的个数. 【详解】由，得或，所以或 当时，，，，，， 所以方程在内的根的个数是5． 故选：B 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数图象确定振幅、周期，进而求出，再利用图象上的点求出初相，最后得函数表达式. 【详解】由图可知．设的最小正周期为，则，解得． 由，解得，则，将点代入方程中，得， 所以，，解得，． 因为，所以，所以． 故选：A. 8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，则下列元素属于的是（ ） A. 7 B. 8 C. 73 D. 240 【答案】AC 【解析】 【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证. 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 当时，图象的对称中心为， C. 当时，图象的对称轴方程为， D. 当，的值域为时，的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简得，再逐项验证即可求解. 【详解】由题意可得．因为， 所以的值域为，故A正确； 当时，，令，， 解得，，所以图象的对称中心为，，故B错误； 当时，，令，， 解得，，所以对称轴方程为，，故C正确； 当时，则，此时的值域为．由，可知，且， 可得，，则，解得，可得，， 由，可得解得，且或，解得或， 所以的值为或，故D错误． 故选：AC. 11. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】当时，， 则，，故A正确； 当时，， 则，， 因为，所以，故B错误； 当时，， ，，所以，故C正确； 当时，， 则，， 因为在上单调递减， 所以，故， 即，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的最大值为2，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复合函数单调性分析内层函数的最值，结合二次函数性质求解可得. 【详解】设，则． 因为为减函数，又有最大值为2，所以有最小值． 二次函数有最小值所以开口向上，因此， 二次函数的最小值，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，再由及二倍角余弦公式求值即可. 【详解】因，故. 故答案为： 14. 已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）设，是否存在实数，满足对任意的，都存在，使得成立？ 【答案】（1）； （2）不存在； 【解析】 【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，利用周期公式求得周期： （2）分别求出两个函数在给定区间内值域，再由“值域是值域的子集”列出不等式，由求解结果即可判断结论存在性. 【小问1详解】 由 ， 其最小正周期为. 【小问2详解】 由可得，则，即得． 由可得，则． 又，所以． 假设存在满足对任意的，都存在，使得成立， 则的值域为值域的子集，即， 即，而此不等式组无解． 故满足题意的实数不存在． 16. 中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）． （1）若图3构成正八边形，求实数m值； （2）若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；②16 【解析】 【分析】（1）设，，且，则，根据及和的对称性，列方程求解； （2）联立方程组，由及即可求解①；由根与系数关系得出，利用基本不等式即可求得最小值． 【小问1详解】 设，，且，则， 由得，，即， 因为和关于对称， 所以， 所以（*）， 又因为点在图像上， 所以，将（*）代入可得：，解得． 【小问2详解】 ①由可得：的两个实数根为， 所以，解得或， 又因为，所以； ②由根与系数关系得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为16． 17. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）； 【解析】 【分析】（1）将代入得，再求导，得出单调区间，即可求得极值； （2）求导得到，令得到，根据，判断是否在定义域内，得到的单调区间，判断出的最大值和最小值，解得与的值，最终得出在区间上的最大值. 【小问1详解】 当时，． 则，随的变化情况如表所示． 3 — 0 + 0 — 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极大值为，的极小值为． 【小问2详解】 ，因为，所以； 令，得，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值在处取得，最小值在端点处取得； ，； 而，故， 所以在上的最小值为； 解得，代入得， 故在上的最大值为． 18. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 【答案】（1）3 （2）①,②的上确界是.,证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的单调性求解值域，即可根据确界的定义求解， （2）根据可得，进而根据可得求解①，化简，即可利用正弦函数的性质求解，利用上确界的定义求证即可. 【小问1详解】 由于， 进而，故的上确界为3. 【小问2详解】 由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即， , 得， 则， 解得， ②由题意可得， 由得， 所以故， 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的，若，可取使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数结合极值的概念即可得答案； （2）（i）对函数求导，由有两个极值点可得有两个不相等的正根，再结合韦达定理即可求解出a的范围； （ii）先化简得； 解法1：借助进行验证即可，可得，则可得证； 解法2：令，利用导数结合虚设零点的方法进行验证即可得证. 【小问1详解】 若， 令，解得或， 当变化时，和的变化情况如表所示： 1 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以，当时，的极大值为， 当时，的极小值为； 【小问2详解】 （i）因为有两个极值点， 所以， 解得， 所以的取值范围为 （ii）由（i）知，因，所以 设 （解法1）令，则，在单调递增，在单调递减， 所以，故，等号当仅当时取， 所以； （解法2）令， ，所以在上单调递增， 又， 所以，使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以 综上知 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $