期末复习专题04：运算律（思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年四年级上册数学北师大版

该小学数学讲义以思维导图构建运算律知识体系，通过考点清单系统梳理加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等七大考点，突出乘法分配律的重难点地位。同时用表格归纳易错点，清晰呈现概念混淆、简便计算错误等三类问题，帮助学生把握知识内在联系。 讲义亮点在于“分层典例+错因分析”的设计，如乘法分配律拆数凑整例题（99×46=(100-1)×46）培养运算能力，实际应用中的行程问题（速度和×时间=总路程）发展应用意识。通过正向逆向对比练习，帮助基础薄弱学生掌握方法，优秀学生提升推理意识，支持教师精准教学与学生自主复习。

期末复习专题04：运算律 思维导图 考点清单 考点一：加法交换律 1.定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 2.字母表示：a + b = b + a（a、b 为任意整数）。 3.核心应用： 加法验算（交换两个加数的位置再算一遍，验证和是否一致）。 简便计算（交换加数位置，凑出整十、整百、整千数，简化计算）。 考点二：加法结合律 1.定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 2.字母表示：(a + b) + c = a + (b + c)（a、b、c 为任意整数）。 3.核心应用： 凑整计算（优先结合能凑成整十、整百、整千的两个数，如 28 + 35 + 65 = 28 + (35 + 65)）。 多位数连加的简便运算（减少进位误差）。 考点三：乘法交换律 1.定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 2.字母表示：a × b = b × a（a、b 为任意整数，0 除外，0 相乘时同样适用）。 3.核心应用： 乘法验算（交换两个因数的位置再算一遍，验证积是否一致）。 简便计算（交换因数位置，凑出整十、整百、整千数 考点四：乘法结合律 1.定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 2.字母表示：(a × b) × c = a × (b × c)（a、b、c 为任意整数，0 除外）。 3.核心应用： 凑整计算（优先结合特殊因数组合：25×4=100、125×8=1000 等，如 125 × 32 × 8 = 125 × 8 × 32）。 多位数连乘的简便运算（降低计算难度）。 考点五：乘法分配律（重点 + 难点） 1.定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；反过来，两个数分别与同一个数相乘，再相加，可以写成这两个数的和与这个数相乘。 2.字母表示： 正向形式：(a + b) × c = a × c + b × c 逆向形式：a × c + b × c = (a + b) × c（a、b、c 为任意整数）。 3.核心应用： 拆数凑整（如 99 × 46 = (100 - 1) × 46 = 100×46 - 1×46）。 合拼简化（如 35×27 + 35×73 = 35×(27 + 73)）。 复杂算式化简（含加减混合的乘法分配，如 (125 - 20) × 8 = 125×8 - 20×8）。 考点六：运算律的综合运用 1.混合运算中的简便计算：结合加法、乘法的多种运算律，灵活凑整（如 25×48 + 75×48 + 12 = 48×(25 + 75) + 12）。 2.减法、除法的性质（拓展考点）： 减法性质：a - b - c = a - (b + c)（一个数连续减两个数，等于减这两个数的和）。 除法性质：a÷ b÷ c = a÷ (b × c)（一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积）。 考点七：运用运算律解决实际问题 1.场景应用：行程问题（速度和 × 时间 = 总路程）、购物问题（单价 × 数量和 = 总费用）、工程问题（效率和 × 时间 = 总工作量）等。 2.解题步骤：分析数量关系→判断适用的运算律→简化计算→验证结果。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.运算律字母表示混淆 错误示例：①把乘法分配律写成 (a + b) × c = a × b + a × c（漏乘一个因数）；②把加法结合律写成 (a × b) + c = a × (b + c)（混淆加法与乘法符号）。 正确示例：① (a + b) × c = a × c + b × c；② (a + b) + c = a + (b + c)。 易错原因：对运算律的本质理解不透彻，只记形式不记意义。 2.乘法分配律与结合律混淆 错误示例：计算 25×(4×8) 时，误用分配律写成 25×4 + 25×8（混淆 “连乘” 与 “和乘”）。 正确示例：25×(4×8) = (25×4)×8（乘法结合律，连乘优先凑整）。 易错原因：分不清 “括号内是加法”（用分配律）和 “括号内是乘法”（用结合律）。 3.忽略运算律的适用范围 错误示例：计算 125 - (25 + 30) 时，误用交换律写成 125 - 25 + 30（减法没有交换律）。 正确示例：125 - (25 + 30) = 125 - 25 - 30（减法性质，去括号要变号）。 易错原因：误以为所有运算都能套用 “交换位置不变” 的规律。 二、简便计算类易错点 1.乘法分配律漏乘、错乘 错误示例：① (30 + 4) × 25 = 30×25 + 4（漏乘 4×25）；② 7×(100 - 5) = 7×100 - 5（漏乘 7×5）；③ 35×99 = 35×100 - 1（错把 99=100-1 写成 100-1，但未用 35×1）。 正确示例：① (30 + 4)×25 = 30×25 + 4×25；② 7×(100 - 5) = 7×100 - 7×5；③ 35×99 = 35×(100 - 1) = 35×100 - 35×1。 易错原因：对 “分别相乘” 的理解不彻底，凑整时忽略括号内每个数都要与括号外的数相乘。 2.凑整时改变运算符号 错误示例：① 125×88 = 125×(80 + 8) = 125×80 + 8（漏乘 125×8）；② 25×48 = 25×(40 + 8) = 25×40 + 25×8（正确，但部分学生写成 25×40 + 8）。 正确示例：125×88 = 125×80 + 125×8 = 10000 + 1000 = 11000 或 125×88 = 125×8×11 = 1000×11 = 11000。 易错原因：凑整时只关注一个数的拆分，忽略运算律的完整应用。 3.减法、除法性质的符号错误 错误示例：①360 - 120 - 80 = 360 - (120 - 80)（去括号时未变号，应为 360 - (120 + 80)）； 正确示例： 360 - 120 - 80 = 360 - (120 + 80) = 160易错原因：混淆 “连减 / 连除” 与 “减差 / 除商” 的区别，去括号时符号规则记忆错误。 4.特殊数运算错误 错误示例：① 125×16 = 125×8×2 = 1000×2 = 2000（正确，但部分学生写成 125×8 + 125×2，混淆乘法结合律与分配律）；② 25×32 = 25×(30 + 2) = 750 + 50 = 800（正确，但更简便的是 25×4×8 = 800，学生未选择最优凑整方式）。 易错原因：对 25×4、125×8 等特殊组合记忆不熟练，拆分或组合时思路单一。 三、实际应用类易错点 1.不能正确识别运算律适用场景 错误示例：学校购买 15 套桌椅，每张桌子 45 元，每把椅子 25 元，求总价时，列式为 15×45 + 25（漏乘椅子的数量 15，未用乘法分配律）。 正确示例：15×(45 + 25) = 15×70 = 1050（单价和 × 数量 = 总价，适用乘法分配律）。 易错原因：数量关系分析不清晰，忽略 “一套桌椅” 包含桌子和椅子，需同时乘数量。 2.混合运算中运算顺序与运算律冲突 错误示例：计算 25×4 + 25×6 时，先算 4 + 25（违背 “先乘后加”，但实际可直接用分配律 25×(4 + 6)，但需明确运算律是简化计算，不改变运算顺序）。 正确示例：25×4 + 25×6 = 100 + 150 = 250 或 25×(4 + 6) = 250（两种方法结果一致，运算律是 “等价变形”）。 易错原因：混淆 “简化计算” 与 “改变运算顺序”，误以为用运算律可以随意调整计算顺序。 3.逆向运用乘法分配律时漏找共同因数 错误示例：计算 36×18 + 64×18 时，无法识别共同因数 18，直接硬算 36×18 = 648、64×18 = 1152，再相加（未用逆向分配律简化）。 正确示例：36×18 + 64×18 = (36 + 64)×18 = 100×18 = 1800。 易错原因：对 “共同因数” 的识别能力不足，缺乏逆向思维训练。 典例精析 典例一：无括号的运算顺序 【例题1】算式48×4－75÷5中的乘法和除法可以同时计算。( ) 【答案】√ 【分析】根据四则混合运算的运算顺序可知，在48×4－750÷5中，因为没有括号，应先算乘、除法，后算减法，而乘法和除法是同级运算，所以乘法和除法可以同时计算。 【详解】由分析得，算式48×4－75÷5中的乘法和除法可以同时计算。 故答案为：√ 【例题2】小红一个星期用了210元生活费，照这样计算，小红5月份的生活费是( )元。 【答案】930 【分析】5月是大月，有31天，一个星期有7天，210除以7等于小红平均一天的生活费用，再乘31，即等于小红5月份的生活费，据此即可解答。 【详解】5月是大月，有31天。 210÷7×31 ＝30×31 ＝930（元） 小红5月份的生活费是930元。 【例题3】学校计划购买8台投影仪和40台电脑，每台投影仪3200元，每台电脑4800元，共准备了220000元，够不够？ 【答案】够 【分析】总价＝单价×数量，把数据代入分别计算出8台投影仪和40台电脑的钱数，然后相加，再与准备的钱进行比较即可解答。 【详解】3200×8＋4800×40 ＝25600＋192000 ＝217600（元） 217600＜220000，够。 答：准备220000元够了。 典例二：带有小括号的混合运算 【例题1】脱式计算。 （128－38）×（56＋35）      （180＋15）×（70－52）      724－（393－84÷3） 【答案】8190；3510；359 【分析】（1）（2）先算括号内的减法、加法，再算括号外的乘法； （3）先算括号内的除法，再算括号内的减法，最后算括号外的减法。 【详解】（1）（128－38）×（56＋35） ＝90×91 ＝8190 （2）（180＋15）×（70－52） ＝195×18 ＝3510 （3）724－（393－84÷3） ＝724－（393－28） ＝724－365 ＝359 【例题2】脱式计算。 298＋140×50         （768－563）×11         108×（31＋13） 【答案】7298；2255；4752 【分析】（1）先算乘法，再算加法； （2）先算小括号里的减法，再算小括号外的乘法； （3）先算小括号里的加法，再算小括号外的乘法。 【详解】298＋140×50 ＝298＋7000 ＝7298 （768－563）×11 ＝205×11 ＝2255 108×（31＋13） ＝108×44 ＝4752 【例题3】用递等式计算。 104×21÷3        80×（358－69）        68＋42×106 【答案】728；23120；4520 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）先算小括号里的减法，再算小括号外的乘法； （3）先算乘法，再算加法。 【详解】104×21÷3 ＝2184÷3 ＝728 80×（358－69） ＝80×289 ＝23120 68＋42×106 ＝68＋4452 ＝4520 典例三：带有中括号的混合运算 【例题1】脱式计算。 （300－296）×35          125×[（27＋45）÷9]          216－78÷3 【答案】140；1000；190 【分析】（1）先算小括号里面的减法，再算小括号外面的乘法； （2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （3）先算除法，再算减法。 【详解】（300－296）×35 ＝4×35 ＝140 125×[（27＋45）÷9] ＝125×[72÷9] ＝125×8 ＝1000 216－78÷3 ＝216－26 ＝190 【例题2】比一比，算一算。                        【答案】72；234； 72；26 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后算除法； （2）先算小括号里面的减法，再从左至右依次计算即可； （3）先计算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算乘法； （4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算除法，计算即可。 【详解】12×（8＋4）÷2 ＝12×12÷2 ＝144÷2 ＝72 234÷（51−48）×3 ＝234÷3×3 ＝234 12×[（8＋4）÷2] ＝12×[12÷2] ＝12×6 ＝72 234÷[（51−48）×3] ＝234÷[3×3] ＝234÷9 ＝26 【例题3】用递等式计算。 240÷[（536－216）÷40]    810÷（58－49）×50 【答案】30；4500 【分析】（1）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的除法。 （2）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的乘法。 【详解】240÷[（536－216）÷40] ＝240÷[320÷40] ＝240÷8 ＝30 810÷（58－49）×50 ＝810÷9×50 ＝90×50 ＝4500 典例四：巧填算符 【例题1】在括号填上运算符号，在横线填上合适的数字。 253－97＝253( )100( )3          2039999＜20 0000 【答案】 － ＋ 4 【分析】（1）仔细观察算式及数据特点可知，97比较接近100，可以将其转化为100－3，然后再根据：a－（b－c）＝a－b＋c将小括号去掉即可。 （2）大数的比较：先比较两个数的位数，位数多的数就大。如果两个数的位数相同，就从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。2039999和20____0000比较大小，两个数都是七位数且前两位上的数相同。要使2039999＜20____0000，那么横线上的数必须大于3，横线上可以填4，5，6，7，8，9。 【详解】（1）253－97 ＝253－（100－3） ＝253－100＋3 （2）2039999＜2040000（答案不唯一） 【例题2】巧添运算符号和括号，使等式成立。 5  5  5  5  5＝0      5  5  5  5  5＝1      5  5  5  5  5＝7 【答案】；； 【分析】根据整数的四则混合运算顺序，和括号的意义，灵活选择。 【详解】要想结果为0，可以是任意一个数乘0得0，例如；要想结果为1，可以是两个相同的数相除，例如；要想结果为7，可以由得出，例如。也可用其他方法推理得出。 【点睛】本题可以用尝试法解答，答案不唯一，认真审题计算即可。 【例题3】在下列算式中添加适当的括号或运算符号，使等式成立。    （1）5 5 5 5 5＝5；     （2）（5 5） （5 5） 5＝6。 【答案】 ＋ ＋ ﹣ ﹣ ＋ ÷ ＋ ＋ 【分析】根据5个5的运算特点可得： （1）5＋5＋5＝15，15﹣5﹣5＝5；据此解题即可。 （2）5＋5＝10，5＋5＝10，10÷10＝1；1＋5＝6；据此解题即可。 【详解】根据题干分析可得： 5＋5＋5﹣5﹣5 ＝10＋5－5－5 ＝15－5－5 ＝10－5 ＝5 （5＋5）÷（5＋5）＋5 ＝10÷10＋5 ＝1＋5 ＝6 典例五：整数加法交换律 【例题1】用简便方法计算。 519－（219＋83）    1000－126－274    437＋526－237 【答案】217；600；726 【分析】根据减法的性质，将原式变为：519－219－83，再进行简便运算； 根据减法的性质，将原式变为：1000－（126＋274），再进行简便运算； 437＋526－237，将原式变为：437－237＋526，再进行简便运算。 【详解】519－（219＋83） ＝519－219－83 ＝300－83 ＝217 1000－126－274 ＝1000－（126＋274） ＝1000－400 ＝600 437＋526－237 ＝437－237＋526 ＝200＋526 ＝726 【例题2】“青蛙是捕食害虫的健将”。某只青蛙第一天捕食了99只害虫，第二天捕食了148只害虫，第三天捕食了201只害虫，这只青蛙这三天一共捕食了多少只害虫？ 【答案】448只 【分析】要求三天一共捕食的害虫数量，将三天的数量相加即可。计算时，可以应用加法交换律，使其计算简便。 【详解】99＋148＋201 ＝99＋201＋148 ＝300＋148 ＝448（只） 答：这只青蛙这三天一共捕食了448只害虫。 【例题3】全民阅读大会是一项全民活动，2023年4月23日，第二届全民阅读大会在浙江杭州举行。小军看一本故事书，第一天看了178页，第二天看了63页，还剩下122页没看，这本故事书一共有多少页？ 【答案】363页 【分析】根据题意可知，第一天看的页数加第二天看的页数，再加剩下没看的页数，即等于这本故事书一共的页数，计算时可利用加法交换律进行简算。 【详解】178＋63＋122 ＝178＋122＋63 ＝300＋63 ＝363（页） 答：这本故事书一共有363页。 典例六：整数乘法交换律 【例题1】计算下面各题，能简算的要简算。 146＋39＋54＋61        125×71×80 63÷[（132－78）÷6]        15×（212÷4）＋138 【答案】300；710000； 7；933 【分析】（1） 整数的加法凑整，加法利用尾数互补凑整。利用加法交换律交换39和54的位置，146＋54可以凑整，39＋61可以凑整。 （2）乘法中利用凑整进行巧算，。利用乘法交换律交换71和80的位置，先计算125乘80，再乘71。 （3）先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外面的除法。 （4）先计算小括号里面的除法，再计算括号外面的乘法，最后计算加法。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【例题2】阳光小学共有8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，平均每个书架放125本图书，一共有多少本书？ 【答案】5000本 【分析】根据题意，已知8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，先用乘法计算，用8×5计算出学校的书架总数，再乘125就是学校的书的总数。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 5×8×125 ＝40×125 ＝5000（本） 答：一共有5000本书。 【例题3】火神山医院的一间病房有25平方米，每平方米地面铺16块瓷砖，一块瓷砖4元，这间病房铺地面的瓷砖共需多少元？ 【答案】1600元 【分析】用一间病房的面积乘每平方米地面铺瓷砖需要的块数，求出总块数，再乘4进行计算即可，计算过程中可以采用乘法交换律进行简便计算。 【详解】25×16×4 ＝25×4×16 ＝100×16 ＝1600（元） 答：这间病房铺地面的瓷砖共需1600元。 【点睛】本题主要考查乘法交换律在计算过程中的灵活运用，要熟练掌握。 典例七：整数加法结合律 【例题1】仔细计算，怎样简便怎样计算。 650－60×3÷5               318＋274＋682 780－240÷（30－26）        48×[（117－69）÷3] 【答案】614；1274； 720；768 【分析】（1）先算乘法，再算除法，最后算减法；（2）按照加法交换律和结合律计算；（3）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的减法；（4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算乘法。 【详解】（1）650－60×3÷5 ＝650－180÷5 ＝650－36 ＝614 （2）318＋274＋682 ＝318＋682＋274 ＝1000＋274 ＝1274 （3）780－240÷（30－26） ＝780－240÷4 ＝780－60 ＝720 （4）48×[（117－69）÷3] ＝48×（48÷3） ＝48×16 ＝768 【例题2】下面的算式怎样计算简便就怎样计算。  382＋165＋18＋135                      255＋981＋145                236＋189＋464＋11                      216＋89＋11＋184 【答案】700；1381； 900；500 【分析】（1）先交换165、18的位置，算式改写成382＋18＋165＋135，利用加法交换律和加法结合律进行简算； （2）交换981、145的位置，利用加法交换律进行简算； （3）先交换189、464的位置，算式改写成236＋464＋189＋11，利用加法交换律和加法结合律进行简算； （4）先交换89、184的位置，算式改写成216＋184＋11＋89，利用加法交换律和加法结合律进行简算。 【详解】382＋165＋18＋135 ＝382＋18＋165＋135 ＝（382＋18）＋（165＋135） ＝400＋300 ＝700 255＋981＋145 ＝255＋145＋981 ＝400＋981 ＝1381 236＋189＋464＋11 ＝236＋464＋189＋11 ＝（236＋464）＋（189＋11） ＝700＋200 ＝900 216＋89＋11＋184 ＝216＋184＋11＋89 ＝（216＋184）＋（11＋89） ＝400＋100 ＝500 【例题3】简便计算。 478＋267＋522                 197＋352＋48 268－125－75                 125＋43＋57 【答案】1267；597； 68；225； 【分析】（1）根据加法交换律可得，先计算478＋522＝1000，再进行计算。 （2）（4）根据加法结合律可得，先计算352＋48＝400以及43＋57＝100，再进行计算。 （3）根据减法的性质可得，先计算125＋75＝200，再进行计算。 【详解】（1）478＋267＋522 ＝478＋522＋267 ＝1000＋267 ＝1267 （2）197＋352＋48 ＝197＋（352＋48） ＝197＋400 ＝597 （3）268－125－75 ＝268－（125＋75） ＝268－200 ＝68 （4）125＋43＋57 ＝125＋（43＋57） ＝125＋100 ＝225 典例八：整数减法的性质 【例题1】用简便方法计算。 375＋166＋234        46＋382＋154＋18        500－137－163 【答案】775；600；200 【分析】（1）利用加法结合律，先计算166和234的和；（2）利用加法结合律，把382和18一起计算，46和154一起计算；（3）利用减法的性质，先计算137和163的和，据此计算。 【详解】375＋166＋234 ＝375＋（166＋234） ＝375＋400 ＝775 46＋382＋154＋18 ＝（46＋154）＋（382＋18） ＝200＋400 ＝600 500－137－163 ＝500－（137＋163） ＝500－300 ＝200 【例题2】简便计算。 500－256－44       189＋363＋211 257－（157＋80）       364＋18－64＋82 【答案】200；763； 20；400 【分析】（1）根据减法的性质，一个数连续减两个数，可以用这个数减去两个数的和，进行简算即可； （2）根据加法结合律，进行简算即可； （3）根据减法的性质，进行简算即可； （4）先算364－64，同时利用加法结合律和交换律简算即可。 【详解】（1）500－256－44 ＝500－（256＋44） ＝500－300 ＝200 （2）189＋363＋211 ＝363＋（189＋211） ＝363＋400 ＝763 （3）257－（157＋80） ＝257－157－80 ＝100－80 ＝20 （4）364＋18－64＋82 ＝（364－64）＋（18＋82） ＝300＋100 ＝400 【例题3】脱式计算。 （100－28）÷9       768－346－154       32＋17×3 【答案】8；268；83 【分析】（1）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法。 （2）根据减法的性质进行简算。 （3）先算乘法，再算加法。 【详解】（100－28）÷9     ＝72÷9     ＝8     768－346－154     ＝768－（346＋154） ＝768－500 ＝268     32＋17×3 ＝32＋51 ＝83 典例九：整数乘法结合律 【例题1】观察下面式子的特点并计算。 25×47×4    12×125×8    （25×125）×（8×4）    125×48 【答案】4700；12000；100000；6000 【分析】利用乘法结合律，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。如果两个因数相乘能得到一个整十整百或者整千的数，就可以让这两个因数先相乘。 【详解】25×47×4 ＝25×4×47 ＝100×47 ＝4700 12×125×8 ＝12×（125×8） ＝12×1000 ＝12000 （25×125）×（8×4） ＝25×125×8×4 ＝25×4×8×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 125×48 ＝125×8×6 ＝1000×6 ＝6000 【例题2】用合适的方法计算下面各题。 356－[6×（35＋13）]        64＋829＋36        25×98×4 【答案】68；929；9800 【分析】（1）按照运算顺序，先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的减法； （2）运用加法交换律和加法结合律进行简便计算； （3）运用乘法结合律进行简便计算。 【详解】356－[6×（35＋13）] ＝356－[6×48] ＝356－288 ＝68 64＋829＋36 ＝（64＋36）＋829 ＝100＋829 ＝929 25×98×4 ＝25×4×98 ＝100×98 ＝9800 【例题3】在某鞋店放着25个鞋架，每个鞋架有6层，每层可以摆放16双鞋，问这家鞋店可以摆放多少双鞋？ 【答案】2400双 【分析】根据题意，可以先用25×6算出鞋架一共有多少层，再用25×6的结果乘16，算得一共可以放多少双鞋，那么列出综合算式就是：25×6×16，为了更简便更快算出答案，我们可以将16拆分成4×4，因此算式是：25×6×4×4，可以利用乘法交换律和乘法结合律将25与4结合，6和4结合，据此计算即可解答。 【详解】根据分析可得： 25×6×16 ＝25×6×4×4 ＝25×4×6×4 ＝（25×4）×（6×4） ＝100×24 ＝2400（双） 答：这家鞋店可以摆放2400双鞋。 【点睛】本题考查乘法简便运算，需要我们灵活运用乘法的交换律、结合律，同时会利用拆分法拆分出可以简便运算的数字是解题的关键。 典例十：整数乘法分配律 【例题1】简便计算。 1023－378－622      167＋289＋33       24×125       206×14－6×14 【答案】23；489；3000；2800 【分析】（1）运用减法的性质，将式子写成1023－（378＋622），然后计算即可； （2）运用加法交换律和结合律，将式子写成289＋（167＋33），然后计算即可； （3）把24拆分为：8×3，运用乘法结合律，将式子写成（125×8）×3，然后计算即可； （4）运用乘法分配律，将式子写成（206－6）×14，然后计算即可。 【详解】1023－378－622 ＝1023－（378＋622） ＝1023－1000 ＝23 167＋289＋33 ＝289＋（167＋33） ＝289＋200 ＝489 125×24 ＝（125×8）×3 ＝1000×3 ＝3000 206×14－6×14 ＝（206－6）×14 ＝200×14 ＝2800 【例题2】商场某日上午卖出48台取暖器，下午卖出52台，每台取暖器的价钱是298元，这个商场这天卖取暖器共收入多少元？（用两种方法解答） 【答案】 29800元 【分析】第一种方法：先把上午卖出的数量加上下午卖出的数量相加，求出总销量，再根据总价＝单价×数量，用总销量乘单价即可求解。 第二种方法：根据总价＝单价×数量，分别用上午卖出的数量和下午卖出的数量乘单价，分别计算上午和下午的收入，再相加。计算过程利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】方法一： （元） 答：这个商场这天卖取暖器共收入29800元。 方法二： （元） 答：这个商场这天卖取暖器共收入29800元。 【例题3】“中国制造”在2022年世界杯大放光彩，东莞制造的吉祥物拉伊卜深受众人喜爱。拉伊卜吉祥物摆件的单价为268元，钥匙扣的单价为32元，王叔叔想各买12个，一共需要多少元？ 【答案】3600元 【分析】根据总价＝单价×数量，先算出吉祥物摆件和钥匙扣的总价分别是多少，再将算出来的总价进行相加，即可解答。 【详解】 （元） 答：一共需要3600元。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题04：运算律 思维导图 考点清单 考点一：加法交换律 1.定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 2.字母表示：a + b = b + a（a、b 为任意整数）。 3.核心应用： 加法验算（交换两个加数的位置再算一遍，验证和是否一致）。 简便计算（交换加数位置，凑出整十、整百、整千数，简化计算）。 考点二：加法结合律 1.定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 2.字母表示：(a + b) + c = a + (b + c)（a、b、c 为任意整数）。 3.核心应用： 凑整计算（优先结合能凑成整十、整百、整千的两个数，如 28 + 35 + 65 = 28 + (35 + 65)）。 多位数连加的简便运算（减少进位误差）。 考点三：乘法交换律 1.定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 2.字母表示：a × b = b × a（a、b 为任意整数，0 除外，0 相乘时同样适用）。 3.核心应用： 乘法验算（交换两个因数的位置再算一遍，验证积是否一致）。 简便计算（交换因数位置，凑出整十、整百、整千数 考点四：乘法结合律 1.定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 2.字母表示：(a × b) × c = a × (b × c)（a、b、c 为任意整数，0 除外）。 3.核心应用： 凑整计算（优先结合特殊因数组合：25×4=100、125×8=1000 等，如 125 × 32 × 8 = 125 × 8 × 32）。 多位数连乘的简便运算（降低计算难度）。 考点五：乘法分配律（重点 + 难点） 1.定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；反过来，两个数分别与同一个数相乘，再相加，可以写成这两个数的和与这个数相乘。 2.字母表示： 正向形式：(a + b) × c = a × c + b × c 逆向形式：a × c + b × c = (a + b) × c（a、b、c 为任意整数）。 3.核心应用： 拆数凑整（如 99 × 46 = (100 - 1) × 46 = 100×46 - 1×46）。 合拼简化（如 35×27 + 35×73 = 35×(27 + 73)）。 复杂算式化简（含加减混合的乘法分配，如 (125 - 20) × 8 = 125×8 - 20×8）。 考点六：运算律的综合运用 1.混合运算中的简便计算：结合加法、乘法的多种运算律，灵活凑整（如 25×48 + 75×48 + 12 = 48×(25 + 75) + 12）。 2.减法、除法的性质（拓展考点）： 减法性质：a - b - c = a - (b + c)（一个数连续减两个数，等于减这两个数的和）。 除法性质：a÷ b÷ c = a÷ (b × c)（一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积）。 考点七：运用运算律解决实际问题 1.场景应用：行程问题（速度和 × 时间 = 总路程）、购物问题（单价 × 数量和 = 总费用）、工程问题（效率和 × 时间 = 总工作量）等。 2.解题步骤：分析数量关系→判断适用的运算律→简化计算→验证结果。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.运算律字母表示混淆 错误示例：①把乘法分配律写成 (a + b) × c = a × b + a × c（漏乘一个因数）；②把加法结合律写成 (a × b) + c = a × (b + c)（混淆加法与乘法符号）。 正确示例：① (a + b) × c = a × c + b × c；② (a + b) + c = a + (b + c)。 易错原因：对运算律的本质理解不透彻，只记形式不记意义。 2.乘法分配律与结合律混淆 错误示例：计算 25×(4×8) 时，误用分配律写成 25×4 + 25×8（混淆 “连乘” 与 “和乘”）。 正确示例：25×(4×8) = (25×4)×8（乘法结合律，连乘优先凑整）。 易错原因：分不清 “括号内是加法”（用分配律）和 “括号内是乘法”（用结合律）。 3.忽略运算律的适用范围 错误示例：计算 125 - (25 + 30) 时，误用交换律写成 125 - 25 + 30（减法没有交换律）。 正确示例：125 - (25 + 30) = 125 - 25 - 30（减法性质，去括号要变号）。 易错原因：误以为所有运算都能套用 “交换位置不变” 的规律。 二、简便计算类易错点 1.乘法分配律漏乘、错乘 错误示例：① (30 + 4) × 25 = 30×25 + 4（漏乘 4×25）；② 7×(100 - 5) = 7×100 - 5（漏乘 7×5）；③ 35×99 = 35×100 - 1（错把 99=100-1 写成 100-1，但未用 35×1）。 正确示例：① (30 + 4)×25 = 30×25 + 4×25；② 7×(100 - 5) = 7×100 - 7×5；③ 35×99 = 35×(100 - 1) = 35×100 - 35×1。 易错原因：对 “分别相乘” 的理解不彻底，凑整时忽略括号内每个数都要与括号外的数相乘。 2.凑整时改变运算符号 错误示例：① 125×88 = 125×(80 + 8) = 125×80 + 8（漏乘 125×8）；② 25×48 = 25×(40 + 8) = 25×40 + 25×8（正确，但部分学生写成 25×40 + 8）。 正确示例：125×88 = 125×80 + 125×8 = 10000 + 1000 = 11000 或 125×88 = 125×8×11 = 1000×11 = 11000。 易错原因：凑整时只关注一个数的拆分，忽略运算律的完整应用。 3.减法、除法性质的符号错误 错误示例：①360 - 120 - 80 = 360 - (120 - 80)（去括号时未变号，应为 360 - (120 + 80)）； 正确示例： 360 - 120 - 80 = 360 - (120 + 80) = 160易错原因：混淆 “连减 / 连除” 与 “减差 / 除商” 的区别，去括号时符号规则记忆错误。 4.特殊数运算错误 错误示例：① 125×16 = 125×8×2 = 1000×2 = 2000（正确，但部分学生写成 125×8 + 125×2，混淆乘法结合律与分配律）；② 25×32 = 25×(30 + 2) = 750 + 50 = 800（正确，但更简便的是 25×4×8 = 800，学生未选择最优凑整方式）。 易错原因：对 25×4、125×8 等特殊组合记忆不熟练，拆分或组合时思路单一。 三、实际应用类易错点 1.不能正确识别运算律适用场景 错误示例：学校购买 15 套桌椅，每张桌子 45 元，每把椅子 25 元，求总价时，列式为 15×45 + 25（漏乘椅子的数量 15，未用乘法分配律）。 正确示例：15×(45 + 25) = 15×70 = 1050（单价和 × 数量 = 总价，适用乘法分配律）。 易错原因：数量关系分析不清晰，忽略 “一套桌椅” 包含桌子和椅子，需同时乘数量。 2.混合运算中运算顺序与运算律冲突 错误示例：计算 25×4 + 25×6 时，先算 4 + 25（违背 “先乘后加”，但实际可直接用分配律 25×(4 + 6)，但需明确运算律是简化计算，不改变运算顺序）。 正确示例：25×4 + 25×6 = 100 + 150 = 250 或 25×(4 + 6) = 250（两种方法结果一致，运算律是 “等价变形”）。 易错原因：混淆 “简化计算” 与 “改变运算顺序”，误以为用运算律可以随意调整计算顺序。 3.逆向运用乘法分配律时漏找共同因数 错误示例：计算 36×18 + 64×18 时，无法识别共同因数 18，直接硬算 36×18 = 648、64×18 = 1152，再相加（未用逆向分配律简化）。 正确示例：36×18 + 64×18 = (36 + 64)×18 = 100×18 = 1800。 易错原因：对 “共同因数” 的识别能力不足，缺乏逆向思维训练。 典例精析 典例一：无括号的运算顺序 【例题1】算式48×4－75÷5中的乘法和除法可以同时计算。( ) 【例题2】小红一个星期用了210元生活费，照这样计算，小红5月份的生活费是( )元。 【例题3】学校计划购买8台投影仪和40台电脑，每台投影仪3200元，每台电脑4800元，共准备了220000元，够不够？ 典例二：带有小括号的混合运算 【例题1】脱式计算。 （128－38）×（56＋35）      （180＋15）×（70－52）      724－（393－84÷3） 【例题2】脱式计算。 298＋140×50         （768－563）×11         108×（31＋13） 【例题3】用递等式计算。 104×21÷3        80×（358－69）        68＋42×106 典例三：带有中括号的混合运算 【例题1】脱式计算。 （300－296）×35          125×[（27＋45）÷9]          216－78÷3 【例题2】比一比，算一算。                        【例题3】用递等式计算。 240÷[（536－216）÷40]    810÷（58－49）×50 典例四：巧填算符 【例题1】在括号填上运算符号，在横线填上合适的数字。 253－97＝253( )100( )3          2039999＜20 0000 【例题2】巧添运算符号和括号，使等式成立。 5  5  5  5  5＝0      5  5  5  5  5＝1      5  5  5  5  5＝7 【例题3】在下列算式中添加适当的括号或运算符号，使等式成立。    （1）5 5 5 5 5＝5；     （2）（5 5） （5 5） 5＝6。 典例五：整数加法交换律 【例题1】用简便方法计算。 519－（219＋83）    1000－126－274    437＋526－237 【例题2】“青蛙是捕食害虫的健将”。某只青蛙第一天捕食了99只害虫，第二天捕食了148只害虫，第三天捕食了201只害虫，这只青蛙这三天一共捕食了多少只害虫？ 【例题3】全民阅读大会是一项全民活动，2023年4月23日，第二届全民阅读大会在浙江杭州举行。小军看一本故事书，第一天看了178页，第二天看了63页，还剩下122页没看，这本故事书一共有多少页？ 典例六：整数乘法交换律 【例题1】计算下面各题，能简算的要简算。 146＋39＋54＋61        125×71×80 63÷[（132－78）÷6]        15×（212÷4）＋138 【例题2】阳光小学共有8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，平均每个书架放125本图书，一共有多少本书？ 【例题3】火神山医院的一间病房有25平方米，每平方米地面铺16块瓷砖，一块瓷砖4元，这间病房铺地面的瓷砖共需多少元？ 典例七：整数加法结合律 【例题1】仔细计算，怎样简便怎样计算。 650－60×3÷5               318＋274＋682 780－240÷（30－26）        48×[（117－69）÷3] 【例题2】下面的算式怎样计算简便就怎样计算。  382＋165＋18＋135                      255＋981＋145                236＋189＋464＋11                      216＋89＋11＋184 【例题3】简便计算。 478＋267＋522                 197＋352＋48 268－125－75                 125＋43＋57 典例八：整数减法的性质 【例题1】用简便方法计算。 375＋166＋234        46＋382＋154＋18        500－137－163 【例题2】简便计算。 500－256－44       189＋363＋211 257－（157＋80）       364＋18－64＋82 【例题3】脱式计算。 （100－28）÷9       768－346－154       32＋17×3 典例九：整数乘法结合律 【例题1】观察下面式子的特点并计算。 25×47×4    12×125×8    （25×125）×（8×4）    125×48 【例题2】用合适的方法计算下面各题。 356－[6×（35＋13）]        64＋829＋36        25×98×4 【例题3】在某鞋店放着25个鞋架，每个鞋架有6层，每层可以摆放16双鞋，问这家鞋店可以摆放多少双鞋？ 典例十：整数乘法分配律 【例题1】简便计算。 1023－378－622      167＋289＋33       24×125       206×14－6×14 【例题2】商场某日上午卖出48台取暖器，下午卖出52台，每台取暖器的价钱是298元，这个商场这天卖取暖器共收入多少元？（用两种方法解答） 【例题3】“中国制造”在2022年世界杯大放光彩，东莞制造的吉祥物拉伊卜深受众人喜爱。拉伊卜吉祥物摆件的单价为268元，钥匙扣的单价为32元，王叔叔想各买12个，一共需要多少元？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 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