期末复习专题02：线与角（思维导图+考点清单+易错归纳+典例精析）-2025-2026学年四年级上册数学北师大版

该小学数学讲义以思维导图构建“线与角”知识体系，通过考点清单系统梳理直线射线线段、平行垂直、角的度量与分类等核心内容，用对比表格呈现三者区别与联系，突出平行的“同一平面”、角的大小与边无关等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于易错归纳与典例精析结合，通过“直线比长短”判断题、“延长线段成射线”辨析等培养数学思维，用画垂线、量角等操作题发展空间观念，基础学生可借易错点巩固概念，优秀学生通过角度计算提升推理能力，助力教师实施精准分层教学。

期末复习专题02：线与角 思维导图 考点清单 考点一：线的认识（直线、射线、线段） 1.线段：有 2 个端点，可以测量长度，不能向两端延伸（如 “拉紧的绳子”“直尺的边”）。 2.射线：有 1 个端点，不能测量长度，只能向一端无限延伸（如 “手电筒的光束”“太阳光”）。 3.直线：没有端点，不能测量长度，能向两端无限延伸（如 “地平线的延长线”）。 4.三者区别与联系： 联系：线段和射线都是直线的一部分； 区别：端点个数（0、1、2）和能否测量长度是核心区分点。 考点二：线的位置关系（平行与相交、垂直） 1.相交：两条直线在同一平面内有一个公共点，称为相交（相交不一定垂直）。 2.平行： 定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行（强调 “同一平面” 和 “不相交”）； 表示：用 “∥” 表示，如直线 a∥直线 b； 特征：平行线间的距离处处相等。 3.垂直： 定义：两条直线相交成直角（90°）时，这两条直线互相垂直； 表示：用 “⊥” 表示，如直线 a⊥直线 b； 特征：过直线上或直线外一点，只能画一条直线与已知直线垂直。 4.操作：会用直尺和三角板画平行线、垂线（过直线外一点画已知直线的平行线 / 垂线）。 考点三：角的认识与各部分名称 1.角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形叫做角（公共端点是角的顶点，两条射线是角的边）。 2.角的各部分：顶点（公共端点）、边（两条射线），角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 考点四：角的度量 1.度量工具：量角器（中心、0° 刻度线、内圈刻度、外圈刻度）。 2.度量单位：度（°），把半圆平均分成 180 份，每一份所对的角是 1°。 3.度量步骤： 把量角器的中心与角的顶点重合； 量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合； 看角的另一条边对应的量角器刻度（注意区分内圈和外圈刻度：0° 刻度线在内圈看内圈，在外圈看外圈）。 考点五：角的分类（按度数分） 1.锐角：小于 90° 的角（0°＜锐角＜90°）； 2.直角：等于 90° 的角（用直角符号 “┐” 标注）； 3.钝角：大于 90° 且小于 180° 的角（90°＜钝角＜180°）； 4.平角：等于 180° 的角（两条边在同一直线上，方向相反）； 5.周角：等于 360° 的角（两条边重合）； 6.关系：1 周角＝2 平角＝4 直角；平角≠直线，周角≠射线。 考点六：角的画法 1.画指定度数的角（如画 60° 的角）： 先画一条射线，作为角的一条边； 把量角器的中心与射线的端点重合，0° 刻度线与射线重合； 在量角器对应度数（60°）的刻度处点一个点； 以射线的端点为顶点，连接端点和刚才点的点，画出另一条射线，标注角的度数和符号。 2.画直角、平角、周角：可借助三角板的直角（画直角）或量角器（画平角、周角）。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.直线、射线、线段混淆 错误：①认为 “射线可以测量长度”“直线有 1 个端点”；②把线段的延长线当成射线（如 “延长线段 AB 到 C，AC 是射线”，错误：AC 仍有 2 个端点，是线段）。 正确：牢记 “端点个数” 和 “能否测量”：线段（2 个端点，可测）、射线（1 个端点，不可测）、直线（0 个端点，不可测）；延长线段只会改变长度，不会改变端点个数。 2.平行与垂直的条件遗漏 错误：①忽略 “同一平面”，认为 “不相交的两条直线一定平行”（如异面直线不相交但不平行）；②认为 “相交的两条直线一定垂直”（相交需成 90° 才是垂直）。 正确：平行的前提是 “同一平面内不相交”；垂直的前提是 “相交且成直角”，两者是相交的特殊情况。 3.角的概念误解 错误：①认为 “角的边越长，角越大”；②把平角当成直线、周角当成射线（如 “平角就是一条直线”，错误：平角有顶点和两条射线，直线没有顶点）。 正确：角的大小由 “两条边张开的程度” 决定，与边的长短无关；平角、周角都是角（有顶点和边），与直线、射线的本质区别是 “是否有公共端点（顶点）”。 二、操作类易错点（度量、画法） 1.角的度量错误 错误：①量角器中心未与角的顶点重合，或 0° 刻度线未与角的一条边重合；②混淆内圈和外圈刻度（如 0° 刻度线在内圈，却读外圈刻度，导致度数偏差 180°）；③读数时视线不垂直于量角器刻度线，导致读数不准。 正确：度量时 “两重合”（中心对顶点、0° 刻度线对一条边）；先判断 0° 刻度线在內圈还是外圈，再读对应刻度；读数时视线与刻度线垂直。 2.画平行线、垂线错误 错误：①画平行线时，三角板平移不规范，导致两条直线相交；②画垂线时，未用三角板的直角边对齐，导致夹角不是 90°；③过直线外一点画垂线时，点与直线的距离测量错误。 正确：画平行线：用直尺靠紧三角板一条直角边，固定直尺，平移三角板画出另一条直线；画垂线：用三角板的直角边与已知直线重合，沿另一条直角边画直线，标注直角符号。 3.画指定度数角的步骤遗漏 错误：①忘记画射线（直接画两条线段组成角）；②量角器刻度点找错（如画 120° 角时，误找 60° 刻度）；③画完后未标注角的度数和符号。 正确：按 “画射线→重合量角器→找点→连射线→标注” 五步走；画大于 90° 的角时，优先看外圈刻度（避免混淆）。 三、分类与计算类易错点 1.角的分类判断错误 错误：①把 89° 的角当成直角、91° 的角当成直角；②混淆平角和周角（如 “180° 是周角”）；③认为 “钝角大于 180°”。 正确：牢记各角的度数范围：锐角（＜90°）、直角（＝90°）、钝角（90°＜＜180°）、平角（＝180°）、周角（＝360°）；判断时可借助三角板的直角对比。 2.角的度数计算错误 错误：①已知一个角的度数，求余角（和为 90°）或补角（和为 180°）时，计算失误（如求 30° 角的补角，误算为 60°）；②多个角组成平角 / 周角时，漏加或多加度数（如平角内有两个角，分别是 60° 和 50°，求第三个角时，误算为 180°-60°=120°）。 正确：余角公式（90°- 已知角）、补角公式（180°- 已知角）；多个角组成平角 / 周角时，用 “平角 180°”“周角 360°” 减去已知角的和，求出未知角。 四、实际应用类易错点 1.生活中直线、射线、线段的辨析错误 错误：①把 “电线杆” 当成射线（实际是线段，有两个端点）；②把 “铁路轨道” 当成直线（实际是平行线，有长度限制，是线段的延长模拟）。 正确：结合生活实例的 “端点” 和 “延伸性” 判断：有固定长度、两端有端点的是线段；一端有端点、向一方延伸的是射线；无端点、无限延伸的是直线（生活中无真正的直线，多为模拟）。 2.平行与垂直的实际应用错误 错误：①认为 “黑板的长边和短边互相平行”（实际是垂直）；②判断 “窗户的对边互相垂直”（实际是平行）。 正确：观察生活中物体的边：对边多为平行（如课本对边），邻边多为垂直（如课本邻边）；可借助三角板直角验证垂直，用直尺验证平行。 典例精析 典例一：线段、射线、直线的认识及特征 【例题1】乐乐在黑板上画的直线比在本子上画的直线长。( ) 【答案】 × 【分析】根据直线的定义，直线是无限长的，没有端点，无法测量其长度。因此，无论在何处画直线，其长度都是无限的，无法比较长短。 【详解】由分析知： “黑板上的直线”和“本子上的直线”都是直线，它们的长度都是无限长的，因此无法比较谁更长。 故答案为：× 【例题2】线段向两端无限延长后，就变成了一条( )，它有( )个端点。 【答案】 直线 0 【分析】根据题意，线段有2个端点，不能够向两边延伸；射线有一个端点，只能向一边延伸；直线没有端点，可以向两边延伸。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 线段向两端无限延长后，就变成了一条直线，它有0个端点。 【例题3】如图，点，，，，在同一条直线上。从探照灯（点）射出一条光线，当光线穿过点后，一定不能穿过（    ）点。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】射线只有1个端点，向一个方向无限延长，所以从探照灯（O 点）射出一条光线，当光线穿过N 点时，也就是射线的方向是从O向N，不会从O向M无限延长，所以一定不能穿过M点，据此解答。 【详解】如图所示： 从探照灯（点）射出一条光线，当光线穿过N点后，一定不能穿过M点。 故答案为：A 典例二：两点间线段最短与两点间的距离 【例题1】两点之间（    ）最短。 A．直线 B．线段 C．射线 D．垂线 【答案】B 【分析】根据题意作图如下： 由图可知，两点间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 【详解】由分析得，两点之间线段最短。 故答案为：B 【例题2】如图，从游乐园到图书馆有四条路可以走，哪条路最近？为什么？ 【答案】②号路最近；因为两点之间所有连线中线段最短。 【分析】两点之间线段最短，四条路中只有第②条是线段，所以第②条路最近，据此解答。 【详解】从游乐园到图书馆有四条路可以走，②号路最近；因为两点之间所有连线中线段最短。 【例题3】地王大厦到深圳市民中心有三条路可以走，它们的长度分别是6.8km，7.3km和8km，若从地王大厦沿深南大道到市民中心如图所示，那么从地王大厦沿深南大道到市民中心走的路程大约是（    ）。 A．6.8km B．7.3km C．8km 【答案】A 【分析】两点之间线段最短，从地王大厦到市民中心走深南大道，即走的是线段，其余两条路都不是线段，所以比较这3条路的长度，哪个数据越小，哪条路就最短，哪个数据就是从地王大厦沿深南大道到市民中心走的路程。 【详解】8＞7.3＞6.8 从地王大厦沿深南大道到市民中心走的路程是中间的线段的长度，大约是6.8km。 故答案为：A 典例三：垂直的特征 【例题1】将一张圆形纸片对折再对折，展开后得到一组（    ）。 A．锐角 B．互相垂直的线段 C．互相平行的线段 D．钝角 【答案】B 【分析】两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直，把一张圆形纸片对折后再对折，打开后折痕相交成直角，所以折痕互相垂直。 【详解】把一张圆形纸片对折再对折，打开后折痕互相垂直，所以展开后得到一组互相垂直的线段。 故答案为：B 【例题2】如图，A点处是一颗钉子，从A点向墙面拉了，，，四条绳子，这四条绳子中，最短的是。( ) 【答案】√ 【分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短；据此解答。 【详解】从A点向墙面拉的绳子中，AD垂直于墙面，所以AD是点A到墙面的垂直线段，距离最短。 故答案为：√ 【例题3】下面每组中的两条直线，相交但不垂直的画“×”，垂直的画“＋”。 ( )               ( )               ( )          ( ) 【答案】 × ＋ × ＋ 【分析】交于一点（或者延长后交于一点）的两条直线一定相交；当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。 【详解】第一组中的两条直线交于一点，但是相交的角不是直角，所以属于相交但不垂直；第二组中的两条直线交于一点，并且相交成是直角，所以属于相交且垂直；第三组中的两条直线延长后交于一点，但是相交的角不是直角，所以属于相交但不垂直；第四组中的两条直线延长后交于一点，并且相交成是直角，所以属于相交且垂直。 典例四：画垂线 【例题1】（1）画出射线AB。 （2）过点C画出射线AB的垂线。 【答案】图见详解； 【分析】（1）射线有且只有一个端点，向一端无线延长，射线AB端点是A，从A点向B点作射线。 （2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C沿直角边向射线AB画直线就是过C点的垂线。 【详解】据以上分析作图： 【点睛】 【例题2】如图是某小区和河的位置，为了方便小区的人到河边散步，请你帮助设计一条从小区到河边最近的路，在图中画出来，并说明理由。 【答案】图见详解；理由见详解 【分析】根据直线外一点与这条直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此过“小区”这一点向“河”那条直线做垂线段即可。 【详解】如图： 因为直线外一点与这条直线上所有点的连线中，垂线段最短。 【例题3】过C点，作直线AB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。以此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： 典例五：点到直线的距离 【例题1】请你画出从少年宫大楼到马路最近的路线。 【答案】见详解 【分析】直线外一点与这条直线所有的连线中，垂线段最短；要找到从少年宫大楼到马路最近的路线，只需画出少年宫大楼到马路的垂线段即可。 【详解】如图： 【例题2】如图，明明要走到人行道，怎样走最近？请你画出来。 【答案】见详解 【分析】点到直线的最短距离是过该点所作的垂线，明明要想走得最近，就从明明的位置向人行道画一条垂直的直线，这条垂线就是明明到人行道的最短路线。 【详解】 【例题3】画出乐乐去上学的最短路线，要从乐乐家接一段自来水管到自来水的总水管上，怎样接才最节省材料？请你在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】根据两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离；过直线外一点到已知直线的所有连线中，垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，据此画图即可。 【详解】 典例六：平行的特征及性质 【例题1】生活中处处有数学：仔细观察，你的这份试卷的左右两条边是互相( )的，相邻的两条边是互相( )的。 【答案】 平行 垂直 【分析】试卷通常是一个长方形，根据长方形的性质：对边平行且相等，邻边互相垂直。因此，试卷的左右两条边是互相平行的，相邻的两条边是互相垂直的。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 生活中处处有数学：仔细观察，你的这份试卷的左右两条边是互相平行的，相邻的两条边是互相垂直的。 【例题2】奇奇把一张正方形纸连续对折两次，打开后他发现折痕的位置关系是（    ）。 A．折痕互相平行 B．折痕互相垂直 C．折痕互相重合 D．折痕可能互相平行，也可能互相垂直 【答案】D 【分析】正方形对折两次时，若两次沿同一方向对折（如均横向或纵向），折痕互相平行；若两次沿不同方向对折（如横向后纵向），折痕互相垂直。因此折痕可能平行或垂直。 【详解】由分析知：折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 故答案为：D 【例题3】设计师在绘制平面图纸时，画了两条直线。他检查后发现，这两条直线在图纸这个平面里始终没有交点。那么这两条直线互相平行。( ) 【答案】√ 【分析】根据平行线的定义，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。题干中明确指出两条直线在平面内始终没有交点，因此符合平行的条件。以此判断即可。 【详解】根据分析可知： 设计师在绘制平面图纸时，画了两条直线。他检查后发现，这两条直线在图纸这个平面里始终没有交点。那么这两条直线互相平行。说法正确。 故答案为：√ 典例七：画平行线 【例题1】过A、B两点任意画一组平行线。 【答案】见详解 【分析】作 AB 的平行线 ：先将三角尺的一条直角边与 AB 重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，沿直角边画出另一条直线即可。据此画出AB的平行线即可。 【详解】 【例题2】过点P画直线AB的垂线，过点O画CD的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过P点画直线AB的垂线的方法：用三角板的一条直角边与直线AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向直线CD画直线即可. （2）过O点画直线CD的平行线的方法：把三角板的一条直角边与直线CD重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，固定直尺不动，沿直尺移动三角板，使三角板另一条直角边移动到与A点重合，然后过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】根据分析可得： 【点睛】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力。 【例题3】过点A画直线L的垂线，过点B画直线L的平行线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线L重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线L画直线即可； 把三角板的一条直角边与已知直线L重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】 典例八：平角、周角的认识及特征 【例题1】如图，把一张长方形纸片，沿着一条直线剪掉一部分。已知，那么( )°，这是一个( )角。 【答案】 145 钝 【分析】长方形的四个角都是直角，∠1＋∠4＝90°，∠3＋∠4＝90°，所以∠1＝∠3，∠2和∠3组成一个平角，由此求∠2的度数； 锐角：小于90°；直角等于90°；钝角：大于90°小于180°；平角等于180°。 【详解】由分析可知∠1＝∠3＝35° ∠2＝180°－35°＝145° 因为90°＜145°＜180°，所以145°是一个钝角。 【例题2】一天有( )小时，( )时整分针和时针在钟面上成平角。( )时整分针和时针在钟面上成周角。 【答案】 24 6 12 【分析】一天有24小时，平角是180°，周角是360°，钟表上一大格是30°，几时整时，分钟指向12，时针指向几就是几时，30°×6＝180°，当分针指向6时，也就是6时整时，分针和时针构成一个平角，30°×12＝360°，当时针指向12时，也就是12时整，分针和时针构成一个周角，据此解题。 【详解】30°×6＝180° 30°×12＝360° 一天有24小时，6时整分针和时针在钟面上成平角。12时整分针和时针在钟面上成周角。 【例题3】如图，如果∠1＝110°请你分别填写∠2、∠3、∠4的度数。 ∠4＝ ，∠3＝ ，∠2＝ 。 【答案】 70° 110° 70° 【分析】平角等于180°，观察图形可知∠1和∠2组成平角，∠1和∠4也组成平角，∠2和∠3组成平角；已知其中的一个角的度数，求另一个角，用180°减去其中一个角的度数就得到另一个角的度数，由此计算。 【详解】∠4＝180°－110°＝70° ∠3＝180°－70°＝110° ∠2＝180°－110°＝70° 所以，∠4＝70°，∠3＝110°，∠2＝70°。 典例九：角的大小比较 【例题1】用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，看到的角的度数是( )。 【答案】35° 【分析】角的大小和两条边的开口大小有关，而与两条边的长短无关。由题意得，用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，角的两条边和顶点被放大了，但两条边的开口大小不变，所以看到的角的度数还是35°。 【详解】用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，看到的角的度数是35°。 【例题2】在15°，64°，92°，178°中，锐角有( )个，钝角有( )个。 【答案】 2 2 【分析】根据角的分类可知，大于0°小于90°的角是锐角， 大于90°小于180°的角是钝角，据此解答即可。 【详解】15°＜64°＜90°＜92°＜178°＜180° 在15°，64°，92°，178°中，锐角有2个，钝角有2个。 【例题3】一个角比直角大25°，它的度数是( )，它是( )角；一个角比直角小32°，它的度数是( )，它是( )角。 【答案】 115° 钝 58° 锐 【分析】直角的度数为90°，一个角比直角大25°，它的度数用加法计算即可；一个角比直角小32°，它的度数用减法计算即可；大于90°，小于180°的角为钝角；大于0°，小于90°的角为锐角。 【详解】由于90°＋25°＝115°，180°＞115°＞90°； 90°－32°＝58°，0°＜58°＜90°； 所以一个角比直角大25°，它的度数是115°，它是钝角；一个角比直角小32°，它的度数是58°，它是锐角。 【点睛】本题主要考查了角的分类及大小关系。 典例十：角的度量 【例题1】量出下面各角的大小。 ∠1＝( )°           ∠2＝( )°              ∠3＝( )° 【答案】 140° 40° 120° 【分析】运用量角器量角的方法，即把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数。 【详解】将量角器的中心与∠1的顶点重合，0刻度线与∠1的一条边重合，读取∠1另一条边所指量角器上的刻度，得到∠1＝140°； 把量角器的中心与∠2的顶点重合，0刻度线与∠2的一条边重合，读取∠2另一条边所指量角器上的刻度，得出∠2＝40°； 使量角器的中心与∠3的顶点重合，0刻度线与∠3的一条边重合，读取∠3另一条边所指量角器上的刻度，可知∠3＝120°。 【例题2】看量角器上的刻度，填出每个角的度数。               【答案】 70°/70度 120°/120度 【分析】量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此填空即可。 【详解】 【例题3】量一量下面的角各是多少度。 (1) ∠1＝     ∠2＝ (2) ∠1＝     ∠2＝ 【答案】(1) 120° 15° (2) 40° 135° 【分析】（1）（2）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【详解】（1） ∠1＝120°    ∠2＝15° （2） ∠1＝40°    ∠2＝135° 典例十一：用量角器画角 【例题1】用量角器画出下列各角。 50°        85°       100°         135° 【答案】图见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，在量角器50°刻度线的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；据此画出50°的角，同理画出85°、100°和135°的角。 【详解】根据分析作图如下： 【例题2】用量角器画出下面各角。 45°    105°    160°    38° 【答案】见详解 【分析】先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器45°（或105°或160°或38°）的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【详解】根据分析画角如下： 【例题3】用量角器画一个75°的角，并标出角的各部分名称。 【答案】图见详解 【分析】画出一条射线，用量角器的中心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合，然后在量角器75°的地方点一个点，连接这个点与射线的端点就是75°的角；射线的端点是角的顶点，两条射线是角的边；据此标出角的各部分名称。 【详解】 典例十二：用三角尺画角 【例题1】请用量角器画一个比直角小35°的角，再用一副三角板画一个150°的角，保留作图痕迹。 【答案】见详解 【分析】直角为90°，画一个比直角小35°的角，也就是90°－35°＝55°，画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器55°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，画出150°的角可用90°＋60°这两个角拼成。 【详解】90°－35°＝55° 根据分析作图如下： 【例题2】用一副三角尺画一个150°的角，并保留作图痕迹。 【答案】作图见详解 【分析】已知一副三角板上的角的度数有90°、45°、45°和90°、60°、30°，且150°＝90°＋60°，所以可以先用三角板上的直角画一个直角，再以直角的顶点为顶点，以直角的一条边为边，在直角外面再画一个60°的角，即画出一个150°的角；据此作图。 【详解】根据分析可知： 150°＝90°＋60° 所以，作图如下： 【例题3】用一副三角尺画出下列各角。 （1）60° （2）120° 【答案】见详解 【分析】一副三角尺中有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别是90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别是90°、60°、30°。 （1）直接用三角尺上的60°的角画即可画出60°。 （2）90°＋30°＝120°，直接用三角尺上的直角和另一个三角尺上的30°合起来即可画出120°。 【详解】（1） （2） 典例十三：角度的计算 【例题1】∠2＝40°，计算∠3、∠4、∠5分别是多少度？ 【答案】∠3是50°，∠4是130°，∠5是50° 【分析】由图可知，∠1是一个直角，∠1，∠2和∠3组成了一个平角。∠2＝40°，直接用180°减去90°再减去∠2的度数即可算出∠3的度数；∠3和∠4组成了一个平角，直接用180°减去∠3的度数即可算出∠4的度数；∠4和∠5组成了一个平角，直接用180°减去∠4的度数即可算出∠5的度数。 【详解】∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° ∠4＝180°－∠3 ＝180°－50° ＝130° ∠5＝180°－∠4 ＝180°－130° ＝50° 答：∠3是50°，∠4是130°，∠5是50°。 【例题2】如下图所示的是一张被折角的试卷，已知∠1＝65°，求∠2的度数。 【答案】50° 【分析】由题意可知，∠1是折起来的角，那么2∠1＋∠2＝180°。已知∠1的度数，据此解答即可。 【详解】 【例题3】如图所示，∠1＝55°，∠2是多少？ 【答案】35° 【分析】平角为180°，观察图可以发现，∠1、∠2和一个直角组成一个平角，用180°减去90°，再减去∠1的度数，即可求出∠2是多少度，据此解答即可。 【详解】180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° 答：∠2是35°。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题02：线与角 思维导图 考点清单 考点一：线的认识（直线、射线、线段） 1.线段：有 2 个端点，可以测量长度，不能向两端延伸（如 “拉紧的绳子”“直尺的边”）。 2.射线：有 1 个端点，不能测量长度，只能向一端无限延伸（如 “手电筒的光束”“太阳光”）。 3.直线：没有端点，不能测量长度，能向两端无限延伸（如 “地平线的延长线”）。 4.三者区别与联系： 联系：线段和射线都是直线的一部分； 区别：端点个数（0、1、2）和能否测量长度是核心区分点。 考点二：线的位置关系（平行与相交、垂直） 1.相交：两条直线在同一平面内有一个公共点，称为相交（相交不一定垂直）。 2.平行： 定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行（强调 “同一平面” 和 “不相交”）； 表示：用 “∥” 表示，如直线 a∥直线 b； 特征：平行线间的距离处处相等。 3.垂直： 定义：两条直线相交成直角（90°）时，这两条直线互相垂直； 表示：用 “⊥” 表示，如直线 a⊥直线 b； 特征：过直线上或直线外一点，只能画一条直线与已知直线垂直。 4.操作：会用直尺和三角板画平行线、垂线（过直线外一点画已知直线的平行线 / 垂线）。 考点三：角的认识与各部分名称 1.角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形叫做角（公共端点是角的顶点，两条射线是角的边）。 2.角的各部分：顶点（公共端点）、边（两条射线），角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 考点四：角的度量 1.度量工具：量角器（中心、0° 刻度线、内圈刻度、外圈刻度）。 2.度量单位：度（°），把半圆平均分成 180 份，每一份所对的角是 1°。 3.度量步骤： 把量角器的中心与角的顶点重合； 量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合； 看角的另一条边对应的量角器刻度（注意区分内圈和外圈刻度：0° 刻度线在内圈看内圈，在外圈看外圈）。 考点五：角的分类（按度数分） 1.锐角：小于 90° 的角（0°＜锐角＜90°）； 2.直角：等于 90° 的角（用直角符号 “┐” 标注）； 3.钝角：大于 90° 且小于 180° 的角（90°＜钝角＜180°）； 4.平角：等于 180° 的角（两条边在同一直线上，方向相反）； 5.周角：等于 360° 的角（两条边重合）； 6.关系：1 周角＝2 平角＝4 直角；平角≠直线，周角≠射线。 考点六：角的画法 1.画指定度数的角（如画 60° 的角）： 先画一条射线，作为角的一条边； 把量角器的中心与射线的端点重合，0° 刻度线与射线重合； 在量角器对应度数（60°）的刻度处点一个点； 以射线的端点为顶点，连接端点和刚才点的点，画出另一条射线，标注角的度数和符号。 2.画直角、平角、周角：可借助三角板的直角（画直角）或量角器（画平角、周角）。 易错归纳 一、概念理解类易错点 1.直线、射线、线段混淆 错误：①认为 “射线可以测量长度”“直线有 1 个端点”；②把线段的延长线当成射线（如 “延长线段 AB 到 C，AC 是射线”，错误：AC 仍有 2 个端点，是线段）。 正确：牢记 “端点个数” 和 “能否测量”：线段（2 个端点，可测）、射线（1 个端点，不可测）、直线（0 个端点，不可测）；延长线段只会改变长度，不会改变端点个数。 2.平行与垂直的条件遗漏 错误：①忽略 “同一平面”，认为 “不相交的两条直线一定平行”（如异面直线不相交但不平行）；②认为 “相交的两条直线一定垂直”（相交需成 90° 才是垂直）。 正确：平行的前提是 “同一平面内不相交”；垂直的前提是 “相交且成直角”，两者是相交的特殊情况。 3.角的概念误解 错误：①认为 “角的边越长，角越大”；②把平角当成直线、周角当成射线（如 “平角就是一条直线”，错误：平角有顶点和两条射线，直线没有顶点）。 正确：角的大小由 “两条边张开的程度” 决定，与边的长短无关；平角、周角都是角（有顶点和边），与直线、射线的本质区别是 “是否有公共端点（顶点）”。 二、操作类易错点（度量、画法） 1.角的度量错误 错误：①量角器中心未与角的顶点重合，或 0° 刻度线未与角的一条边重合；②混淆内圈和外圈刻度（如 0° 刻度线在内圈，却读外圈刻度，导致度数偏差 180°）；③读数时视线不垂直于量角器刻度线，导致读数不准。 正确：度量时 “两重合”（中心对顶点、0° 刻度线对一条边）；先判断 0° 刻度线在內圈还是外圈，再读对应刻度；读数时视线与刻度线垂直。 2.画平行线、垂线错误 错误：①画平行线时，三角板平移不规范，导致两条直线相交；②画垂线时，未用三角板的直角边对齐，导致夹角不是 90°；③过直线外一点画垂线时，点与直线的距离测量错误。 正确：画平行线：用直尺靠紧三角板一条直角边，固定直尺，平移三角板画出另一条直线；画垂线：用三角板的直角边与已知直线重合，沿另一条直角边画直线，标注直角符号。 3.画指定度数角的步骤遗漏 错误：①忘记画射线（直接画两条线段组成角）；②量角器刻度点找错（如画 120° 角时，误找 60° 刻度）；③画完后未标注角的度数和符号。 正确：按 “画射线→重合量角器→找点→连射线→标注” 五步走；画大于 90° 的角时，优先看外圈刻度（避免混淆）。 三、分类与计算类易错点 1.角的分类判断错误 错误：①把 89° 的角当成直角、91° 的角当成直角；②混淆平角和周角（如 “180° 是周角”）；③认为 “钝角大于 180°”。 正确：牢记各角的度数范围：锐角（＜90°）、直角（＝90°）、钝角（90°＜＜180°）、平角（＝180°）、周角（＝360°）；判断时可借助三角板的直角对比。 2.角的度数计算错误 错误：①已知一个角的度数，求余角（和为 90°）或补角（和为 180°）时，计算失误（如求 30° 角的补角，误算为 60°）；②多个角组成平角 / 周角时，漏加或多加度数（如平角内有两个角，分别是 60° 和 50°，求第三个角时，误算为 180°-60°=120°）。 正确：余角公式（90°- 已知角）、补角公式（180°- 已知角）；多个角组成平角 / 周角时，用 “平角 180°”“周角 360°” 减去已知角的和，求出未知角。 四、实际应用类易错点 1.生活中直线、射线、线段的辨析错误 错误：①把 “电线杆” 当成射线（实际是线段，有两个端点）；②把 “铁路轨道” 当成直线（实际是平行线，有长度限制，是线段的延长模拟）。 正确：结合生活实例的 “端点” 和 “延伸性” 判断：有固定长度、两端有端点的是线段；一端有端点、向一方延伸的是射线；无端点、无限延伸的是直线（生活中无真正的直线，多为模拟）。 2.平行与垂直的实际应用错误 错误：①认为 “黑板的长边和短边互相平行”（实际是垂直）；②判断 “窗户的对边互相垂直”（实际是平行）。 正确：观察生活中物体的边：对边多为平行（如课本对边），邻边多为垂直（如课本邻边）；可借助三角板直角验证垂直，用直尺验证平行。 典例精析 典例一：线段、射线、直线的认识及特征 【例题1】乐乐在黑板上画的直线比在本子上画的直线长。( ) 【例题2】线段向两端无限延长后，就变成了一条( )，它有( )个端点。 【例题3】如图，点，，，，在同一条直线上。从探照灯（点）射出一条光线，当光线穿过点后，一定不能穿过（    ）点。 A． B． C． D． 典例二：两点间线段最短与两点间的距离 【例题1】两点之间（    ）最短。 A．直线 B．线段 C．射线 D．垂线 【例题2】如图，从游乐园到图书馆有四条路可以走，哪条路最近？为什么？ 【例题3】地王大厦到深圳市民中心有三条路可以走，它们的长度分别是6.8km，7.3km和8km，若从地王大厦沿深南大道到市民中心如图所示，那么从地王大厦沿深南大道到市民中心走的路程大约是（    ）。 A．6.8km B．7.3km C．8km 典例三：垂直的特征 【例题1】将一张圆形纸片对折再对折，展开后得到一组（    ）。 A．锐角 B．互相垂直的线段 C．互相平行的线段 D．钝角 【例题2】如图，A点处是一颗钉子，从A点向墙面拉了，，，四条绳子，这四条绳子中，最短的是。( ) 【例题3】下面每组中的两条直线，相交但不垂直的画“×”，垂直的画“＋”。 ( )               ( )               ( )          ( ) 典例四：画垂线 【例题1】（1）画出射线AB。 （2）过点C画出射线AB的垂线。 【例题2】如图是某小区和河的位置，为了方便小区的人到河边散步，请你帮助设计一条从小区到河边最近的路，在图中画出来，并说明理由。 【例题3】过C点，作直线AB的垂线。 典例五：点到直线的距离 【例题1】请你画出从少年宫大楼到马路最近的路线。 【例题2】如图，明明要走到人行道，怎样走最近？请你画出来。 【例题3】画出乐乐去上学的最短路线，要从乐乐家接一段自来水管到自来水的总水管上，怎样接才最节省材料？请你在图中画出来。 典例六：平行的特征及性质 【例题1】生活中处处有数学：仔细观察，你的这份试卷的左右两条边是互相( )的，相邻的两条边是互相( )的。 【例题2】奇奇把一张正方形纸连续对折两次，打开后他发现折痕的位置关系是（    ）。 A．折痕互相平行 B．折痕互相垂直 C．折痕互相重合 D．折痕可能互相平行，也可能互相垂直 【例题3】设计师在绘制平面图纸时，画了两条直线。他检查后发现，这两条直线在图纸这个平面里始终没有交点。那么这两条直线互相平行。( ) 典例七：画平行线 【例题1】过A、B两点任意画一组平行线。 【例题2】过点P画直线AB的垂线，过点O画CD的平行线。 【例题3】过点A画直线L的垂线，过点B画直线L的平行线。 典例八：平角、周角的认识及特征 【例题1】如图，把一张长方形纸片，沿着一条直线剪掉一部分。已知，那么( )°，这是一个( )角。 【例题2】一天有( )小时，( )时整分针和时针在钟面上成平角。( )时整分针和时针在钟面上成周角。 【例题3】如图，如果∠1＝110°请你分别填写∠2、∠3、∠4的度数。 ∠4＝ ，∠3＝ ，∠2＝ 。 典例九：角的大小比较 【例题1】用一个放大10倍的放大镜看一个35°的角，看到的角的度数是( )。 【例题2】在15°，64°，92°，178°中，锐角有( )个，钝角有( )个。 【例题3】一个角比直角大25°，它的度数是( )，它是( )角；一个角比直角小32°，它的度数是( )，它是( )角。 典例十：角的度量 【例题1】量出下面各角的大小。 ∠1＝( )°           ∠2＝( )°              ∠3＝( )° 【例题2】看量角器上的刻度，填出每个角的度数。               【例题3】量一量下面的角各是多少度。 (1) ∠1＝     ∠2＝ (2) ∠1＝     ∠2＝ 典例十一：用量角器画角 【例题1】用量角器画出下列各角。 50°        85°       100°         135° 【例题2】用量角器画出下面各角。 45°    105°    160°    38° 【例题3】用量角器画一个75°的角，并标出角的各部分名称。 典例十二：用三角尺画角 【例题1】请用量角器画一个比直角小35°的角，再用一副三角板画一个150°的角，保留作图痕迹。 【例题2】用一副三角尺画一个150°的角，并保留作图痕迹。 【例题3】用一副三角尺画出下列各角。 （1）60° （2）120° 典例十三：角度的计算 【例题1】∠2＝40°，计算∠3、∠4、∠5分别是多少度？ 【例题2】如下图所示的是一张被折角的试卷，已知∠1＝65°，求∠2的度数。 【例题3】如图所示，∠1＝55°，∠2是多少？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $