3.2 从有理数到实数 重难点突破 2025-2026学年浙教版 七年级数学上册

3.2 从有理数到实数 【热考题型】 【重难点突破】 考查题型一 无理数的识别 典例1 实数，0，，中，属于无理数的是（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】 解：在实数，0，，中， 无理数是，有理数是，0，， 故选：D． 【名师点拨】 本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数，无理数是指无限不循环小数． 变式1-1．实数－2，0.3，，，中，无理数的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可． 【详解】 因为-2是整数，0.3是有限小数，所以-2、0.3都是有理数； 因为是分数，可化为循环小数，所以是有理数； 因为，1.414…，3.14159265…都是无限不循环小数，所以，都是无理数，所以无理数的个数是2个：，． 故选：B． 【名师点拨】 本题主要考查了无理数和有理数的特征与区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数． 变式1-2．下列说法正确的是（　　） A．带有根号的数是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数 【答案】C 【详解】 A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如是有理数，故此选项错误； B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限循环小数是有理数，故此选项错误； C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的； D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无是无理数，但它不是开方产生的数，故选项错误． 故选C． 考查题型二 理解实数的概念 典例2下面说法错误的个数是（ ） ①一定是负数；②若，则；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】 ①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可. 【详解】 ①当a≤0时，-a≥0，故-a一定是负数错误； ②当a=2，b=-2时，  ,但是a≠b，故②的说法错误； ③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确； ④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误. 所以错误的个数是3个. 故答案为C 【名师点拨】 本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键. 变式2-1．下列说法中，正确的个数有（ ） ①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示； ③无限小数都是无理数； ④是17的平方根； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可． 【详解】 解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；  ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确； ③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；  ④是17的平方根，正确； 故选：B． 【名师点拨】 此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答． 变式2-2．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有（ ） A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④ 【答案】A 【分析】 根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案． 【详解】 ①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如＝2； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的； ⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误； ⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确． 故选：A． 【名师点拨】 此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 变式2-3．若，均为整数，且，则不可能是（　　　） A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数 【答案】C 【分析】 根据有理数和无理数的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】 解：∵，均为整数，且， 则可能是正数、负数、有理数，但是不可能是无理数； 故选：C． 【名师点拨】 本题考查了有理数和无理数的定义进行判断，解题的关键是熟记定义进行判断． 考查题型三 实数的分类 典例3．将下列各数填入相应的集合内-7，0.32，，0，，，，，0.1010010001… ①有理数集合{ … } ②无理数集合{ … } ③负实数集合{ … } 【答案】答案见解析 【分析】 根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【详解】 解：， ①有理数集合{- 7，0.32，，0，,…} ②无理数集合{，，π，0.1010010001…，…}　 ③负实数集合{- 7，…} 变式3-1．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①﹣17；②π；③﹣|﹣|；④；⑤；⑥﹣0.92；⑦ ；⑧﹣0.；⑨1.2020020002； （1）正实数{　 　} 负有理数{　 　} 无理数{　 　} （2）从以上9个数中选取2个有理数，2个无理数，用“+、﹣、×、÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得计算结果为正整数，列出式子并计算　 　． 【答案】（1）②④⑤⑨；①③⑥⑧；②④⑦；（2）详见解析. 【分析】 （1）根据实数的分类进行求解即可； （2）此问答案不唯一，只要符合条件即可． 【详解】 （1）正实数{②④⑤⑨} 负有理数{①③⑥⑧} 无理数{②④⑦} （2）[﹣1﹣（﹣2+）+（﹣17）]÷（﹣|﹣|）＝(-16) ÷(-)=10 【名师点拨】 本题主要考查了实数的分类以及实数的混合运算，实数分为：有理数和无理数．有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数． 变式3-2．把下列各数填入相应的集合内 7.5，，6，，，，﹣π， （1）有理数集合{　 　} （2）无理数集合{　 　} （3）正实数集合{　 　} （4）负实数集合{　 　} 【答案】（1）7.5，6，，， ；（2），，﹣π；（3）7.5，，6，，，；（4）﹣π， 【分析】 首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】 解：（1）有理数集合{7.5，6，，，} （2）无理数集合{，，﹣π} （3）正实数集合{7.5，，6，，，} （4）负实数集合{﹣π， } 【名师点拨】 本题主要考查实数的分类，掌握实数的分类标准是解题的关键． 考查题型四 实数的性质 典例4 的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是．故选C． 考点：相反数． 9．3﹣π的绝对值是（　　） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 【答案】B 【详解】 ∵3−π<0， ∴|3−π|=π−3. 故选B. 变式4-1．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．3和 B．﹣|﹣|和﹣（﹣） C．﹣和 D．﹣2和 【答案】B 【分析】 根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可． 【详解】 解：A、＝3，3和两数不互为相反数，故本选项错误； B、﹣|﹣|＝﹣，﹣（﹣）＝，﹣|﹣|和﹣（﹣）两数互为相反数，故本选项正确； C、﹣＝﹣2，＝﹣2，﹣和两数不互为相反数，故本选项错误； D、﹣2和两数不互为相反数，故本选项错误． 故选：B． 【名师点拨】 考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数． 变式4-2．绝对值是的实数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据绝对值的定义求解即可． 【详解】 解：∵的绝对值是， 故选：A． 【名师点拨】 本题考查绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键． 考查题型五 实数与数轴 典例5．如图，在数轴上表示的点可能是（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】 利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可． 【详解】 解：∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， 而3＜OQ＜4， ∴表示的点可能是点Q． 故选：B． 【名师点拨】 本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 变式5-1 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( ) A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1 【答案】D 【详解】 设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有 ，解得. 故选D. 14．关于的叙述，错误的是(　　) A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是 C．＝2 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】A 【详解】 试题分析：是无理数，A项错误，故答案选A. 考查题型六 无理数的估值 典例6 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（　　） A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间 【答案】B 【分析】 根据4.84<5<5.29，可得答案． 【详解】 ∵4.84<5<5.29， ∴2.2<<2.3， ∴1.2<-1<1.3， 故选B． 【名师点拨】 本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键． 变式6-1．已知m=，则以下对m的估算正确的（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 【答案】B 【分析】 直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】 ∵m==2+， 1＜＜2， ∴3＜m＜4， 故选B． 【名师点拨】 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 变式6-2．估计的值在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】 利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围. 【详解】 ∵4 ＜ 6 ＜ 9 ， ∴，即， ∴， 故选B. 变式6-3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【详解】 解：∵一个正方形的面积是15， ∴该正方形的边长为， ∵9＜15＜16， ∴3＜＜4． 故选B． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 从有理数到实数 【热考题型】 【重难点突破】 考查题型一 无理数的识别 典例1 实数，0，，中，属于无理数的是（ ） A． B．0 C． D． 变式1-1．实数－2，0.3，，，中，无理数的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-2．下列说法正确的是（　　） A．带有根号的数是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数 考查题型二 理解实数的概念 典例2下面说法错误的个数是（ ） ①一定是负数；②若，则；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数. A．个 B．个 C．个 D．个 变式2-1．下列说法中，正确的个数有（ ） ①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示； ③无限小数都是无理数； ④是17的平方根； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-2．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有（ ） A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④ 变式2-3．若，均为整数，且，则不可能是（　　　） A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数 考查题型三 实数的分类 典例3．将下列各数填入相应的集合内-7，0.32，，0，，，，，0.1010010001… ①有理数集合{ … } ②无理数集合{ … } ③负实数集合{ … } 变式3-1．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①﹣17；②π；③﹣|﹣|；④；⑤；⑥﹣0.92；⑦ ；⑧﹣0.；⑨1.2020020002； （1）正实数{　 　} 负有理数{　 　} 无理数{　 　} （2）从以上9个数中选取2个有理数，2个无理数，用“+、﹣、×、÷”中的3种不同的运算符号将选出的4个数进行运算（可以用括号），使得计算结果为正整数，列出式子并计算　 　． 变式3-2．把下列各数填入相应的集合内 7.5，，6，，，，﹣π， （1）有理数集合{　 　} （2）无理数集合{　 　} （3）正实数集合{　 　} （4）负实数集合{　 　} 考查题型四 实数的性质 典例4 的相反数是（ ） A． B． C． D． 变式4-1．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．3和 B．﹣|﹣|和﹣（﹣） C．﹣和 D．﹣2和 变式4-2．绝对值是的实数是（ ） A． B． C． D． 变式4-3．3﹣π的绝对值是（　　） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 考查题型五 实数与数轴 典例5．如图，在数轴上表示的点可能是（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 变式5-1 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( ) A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1 考查题型六 无理数的估值 典例6 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（　　） A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间 变式6-1．已知m=，则以下对m的估算正确的（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 变式6-2．估计的值在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 变式6-3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $