3.2从有理数到实数 讲义 2025-2026学年浙教版数学七年级上册

3.2从有理数到实数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】无理数的定义与识别 4 【题型2】无理数的估算 4 【题型3】无理数的估算的实际应用 5 【题型4】实数的概念与分类 6 【题型5】实数的性质 7 【题型6】实数与数轴 7 【题型7】利用估算比较实数的大小 8 【题型8】利用数轴比较实数的大小 8 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春•麒麟区校级月考）下列实数是无理数的是（　　） A． B．cos30° C．4. D． 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 1.（2025春•路北区期中）在实数，，，中，有理数是（　　） A． B． C． D． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025•宁波模拟）有理数-2025是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 2.（2025春•铁东区期中）-2的相反数是（　　） A．--2 B．+2 C．2- D．-2 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（　　） A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•福清市期末）下列实数中，最小的是（　　） A．-π B．-1 C．0 D． 【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春•蚌山区校级月考）设n为正整数，且，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型1】无理数的定义与识别 【典型例题】下列各实数中，无理数是（　　） A. B.π C. D.3.3 【举一反三1】下列各数中，无理数是（　　） A.﹣2 B. C. D.0 【举一反三2】以下正方形的边长是无理数的是（　　） A.面积为100的正方形 B.面积为25的正方形 C.面积为49的正方形 D.面积为45的正方形 【举一反三3】如果a是无理数，则a2　　是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【举一反三4】如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长． 【题型2】无理数的估算 【典型例题】无理数的大小在（　　） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【举一反三1】下列整数中，与最接近的是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三2】已知a，b，n均为正整数． （1）若nn+1，则n＝　　； （2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　　个． 【举一反三3】观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： （1）按此规定　　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求[a+b]的值． 【题型3】无理数的估算的实际应用 【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三1】小陈打算用一张长为，宽为的长方形纸片裁出边长为的正方形纸片，她能裁出符合要求的正方形纸片的张数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】有一块面积为79cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：　　（填能或不能）． 【举一反三3】小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）求此长方形信封的长和宽． （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【题型4】实数的概念与分类 【典型例题】下列各数中，为负数的是（   ） A. B. C.0 D. 【举一反三1】如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A.m为有理数，n为无理数 B.m为无理数，n为有理数 C.m，n都为有理数 D.m，n都为无理数 【举一反三2】下列说法正确的有        ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【举一反三3】将下列各数填入相应的集合中：，0，，，4.020020002…，，2，. 无理数集合：{____________________________}； 分数集合：{____________________________}； 正数集合：{____________________________}； 负整数集合：{____________________________}． 【举一反三4】将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②3，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩． （1）正数集合：{______…}； （2）无理数集合：{______…}； （3）非负数集合：{______…}； （4）非正整数集合：{______…}． 【题型5】实数的性质 【典型例题】π的倒数是（　　） A.﹣π B. C. D. 【举一反三1】的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】的相反数是 　　． 【举一反三3】若|a|，则的相反数是　　． 【举一反三4】已知|x﹣1|，求出x的值． 【举一反三5】计算：． 【题型6】实数与数轴 【典型例题】如图，在数轴上表示的点可能是（　　） A.P B.Q C.M D.N 【举一反三1】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A.点M B.点N C.点P D.点Q 【举一反三3】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　　． 【举一反三4】如图，实数π，对应数轴上A，B，C，D四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题： （1）实数π对应的点是 　　；实数对应的点是 　　； （2）计算：． 【题型7】利用估算比较实数的大小 【典型例题】下列关于的判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】手机通用的信号强度单位是dBm（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（　　） A.﹣π B. C. D. 【举一反三2】已知a＝﹣3，b＝﹣π，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　） A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 【举一反三3】比较大小： 　　． 【举一反三4】比较两个数的大小：﹣2和﹣3． 【题型8】利用数轴比较实数的大小 【典型例题】如图，比点A表示的数小的数是（　　） A.﹣2.1 B.﹣1 C.0 D. 【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（　　） A.a B.b C.c D.d 【举一反三2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A.a＜﹣2 B.b＜1 C.b＜﹣a D.a＞﹣b 【举一反三3】如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b 　　0．（用“＞”“＜”或“＝”填空） 【举一反三4】在解答题目“在数轴上标出﹣π，，，﹣1，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了﹣π和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小． 【举一反三5】请把实数﹣π，，﹣2，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2从有理数到实数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】无理数的定义与识别 6 【题型2】无理数的估算 8 【题型3】无理数的估算的实际应用 9 【题型4】实数的概念与分类 11 【题型5】实数的性质 12 【题型6】实数与数轴 13 【题型7】利用估算比较实数的大小 15 【题型8】利用数轴比较实数的大小 16 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春•麒麟区校级月考）下列实数是无理数的是（　　） A． B．cos30° C．4. D． 【答案】B 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解：=2是整数，4.是无限循环小数，是分数，它们不是无理数， cos30°=是无限不循环小数，它是无理数， 故选：B． 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 1.（2025春•路北区期中）在实数，，，中，有理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这几个数中，能化去根号的数即是有理数，据此判断． 【解答】解：∵=2，∴是有理数， ，，都不能化去根号，∴是无理数， ∴有理数有． 故选：B． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025•宁波模拟）有理数-2025是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【答案】B 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项判断即可． 【解答】解：根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项分析判断如下： A、∵-2025×2025≠1， ∴-2025不是2025的倒数，故此选项不符合题意； B、∵-2025与2025互为相反数， ∴-2025是2025的相反数，故此选项符合题意； C、∵2025的绝对值是2025， ∴-2025不是2025的绝对值故此选项不符合题意； D、∵2025的平方根是±45， ∴-2025不是2025的平方根，故此选项不符合题意； 故选：B． 2.（2025春•铁东区期中）-2的相反数是（　　） A．--2 B．+2 C．2- D．-2 【答案】C 【分析】本题需先根据相反数的定义即可求出-2的相反数的正确答案． 【解答】解：根据相反数的定义得： -2的相反数是：2-， 故选：C． 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（　　） A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2 【答案】B 【分析】设点A′所对应的数为m,依题意得点A到A′的距离为硬币的周长，由此可得AA′=|2-m|=π，据此可求出m. 【解答】解：设点A′所对应的数为m, ∵硬币的直径为1个单位长度， ∴硬币的周长为1×π=π个单位长度， 又∵点A所对应的数2， 依题意得：AA′=|2-m|=π， ∵m＜2， ∴2-m=π， ∴m=2-π， ∴点A′所对应的数为2-π． 故选：B． 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春•福清市期末）下列实数中，最小的是（　　） A．-π B．-1 C．0 D． 【答案】A． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-π＜-1＜0＜， ∴最小的数是：-π． 故选：A． 【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春•蚌山区校级月考）设n为正整数，且，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵42=16，52=25， ∴， ∵n为正整数，且， ∴n=4 故选：B． 【题型1】无理数的定义与识别 【典型例题】下列各实数中，无理数是（　　） A. B.π C. D.3.3 【答案】B 【解析】A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、π是无理数，故此选项符合题意； C、3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、3.3是理有数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【举一反三1】下列各数中，无理数是（　　） A.﹣2 B. C. D.0 【答案】C 【解析】﹣2，，0是有理数，是无理数. 故选：C． 【举一反三2】以下正方形的边长是无理数的是（　　） A.面积为100的正方形 B.面积为25的正方形 C.面积为49的正方形 D.面积为45的正方形 【答案】D 【解析】A．面积为100的正方形的正方形的边长为10，10是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．面积为25的正方形的正方形的正方形的边长为5，5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．面积为49的正方形的正方形的正方形的边长为7，7是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．面积为45的正方形的正方形的正方形的边长为，是整数，属于无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三3】如果a是无理数，则a2　　是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【解析】如果a是无理数，则a2不一定是无理数． 如是无理数，但2，是有理数；π是无理数，π2是无理数． 【举一反三4】如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长． 【答案】解：如图所示. 【题型2】无理数的估算 【典型例题】无理数的大小在（　　） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【答案】B 【解析】∵9＜12＜16，∴34． 故选：B． 【举一反三1】下列整数中，与最接近的是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】∵4＜7＜9，∴23， ∵2.52＝6.25，∴2.53，∴更接近3． 故选：B． 【举一反三2】已知a，b，n均为正整数． （1）若nn+1，则n＝　　； （2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　　个． 【答案】（1）3；（2）2 【解析】（1）∵，∴， ∵nn+1，n为正整数，∴n＝3； （2）∵n﹣1＜＜n，∴（n﹣1）2＜a＜n2， ∴a的个数为n2﹣（n﹣1）2﹣1＝n2﹣n2+2n﹣1﹣1＝2n﹣2， ∵n＜＜n+1，∴n2＜b＜（n+1）2， ∴b的个数为（n+1）2﹣n2﹣1＝n2+2n+1﹣n2﹣1＝2n， ∵2n﹣（2n﹣2）＝2，∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个. 【举一反三3】观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： （1）按此规定　　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求[a+b]的值． 【答案】解：（1）∵，即34，∴52＜6， 即2的整数部分是5，∴5. （2）∵，即23， ∴的整数部分是2，小数部分是2，即a2， ∵，即45，∴的整数部分是4，即b＝4， ∴a+b2+42， ∵23，∴42＜5， 即2的整数部分是4，∴[a+b]＝4． 【题型3】无理数的估算的实际应用 【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】由题意可得t， ∵82＝64，8.52＝72.25，∴88.5，即该物体所经过的时间秒数与8接近. 故选：C． 【举一反三1】小陈打算用一张长为，宽为的长方形纸片裁出边长为的正方形纸片，她能裁出符合要求的正方形纸片的张数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，，∴她能裁出符合要求的正方形纸片的张数是张. 故选：． 【举一反三2】有一块面积为79cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：　　（填能或不能）． 【答案】不能 【解析】设长方形的长宽分别为3x，2x，由题意可得：3x•2x＝54， 解得x＝3或﹣3（舍去），长为3x＝9， ∵9，∴不能． 【举一反三3】小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）求此长方形信封的长和宽． （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】解：（1）∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意得3x·2x=300，∴x=5（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为. （2）小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 正方形贺卡的边长是， ∵，∴，∴，即信封的宽小于正方形贺卡的边长， ∴小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【题型4】实数的概念与分类 【典型例题】下列各数中，为负数的是（   ） A. B. C.0 D. 【答案】D 【解析】，，0不是负数；是负数. 故选：D． 【举一反三1】如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A.m为有理数，n为无理数 B.m为无理数，n为有理数 C.m，n都为有理数 D.m，n都为无理数 【答案】A 【解析】由题意，，，∴，， ∴m为有理数，n为无理数. 故选：A． 【举一反三2】下列说法正确的有        ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥ 【解析】实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故说法正确的有：①⑥． 【举一反三3】将下列各数填入相应的集合中：，0，，，4.020020002…，，2，. 无理数集合：{____________________________}； 分数集合：{____________________________}； 正数集合：{____________________________}； 负整数集合：{____________________________}． 【答案】解：无理数集合：{4.020020002…，}； 分数集合：； 正数集合：； 负整数集合：. 【举一反三4】将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②3，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩． （1）正数集合：{______…}； （2）无理数集合：{______…}； （3）非负数集合：{______…}； （4）非正整数集合：{______…}． 【答案】解：⑧，⑩． （1）正数集合：{②⑤⑧⑨}； （2）无理数集合：{⑤⑨}； （3）非负数集合：{②⑤⑦⑧⑨}； （4）非正整数集合：{③⑦⑩}. 【题型5】实数的性质 【典型例题】π的倒数是（　　） A.﹣π B. C. D. 【答案】C 【解析】π的倒数是. 故选：C． 【举一反三1】的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】||. 故选：A． 【举一反三2】的相反数是 　　． 【答案】2 【解析】的相反数是：2. 【举一反三3】若|a|，则的相反数是　　． 【答案】2 【解析】∵|a|，∴a2＝6，∴2， ﹣2的相反数是2． 【举一反三4】已知|x﹣1|，求出x的值． 【答案】解：∵||，||， ∴x﹣1或x﹣1． 解得：x1，x21． 【举一反三5】计算：． 【答案】解：|1|． 【题型6】实数与数轴 【典型例题】如图，在数轴上表示的点可能是（　　） A.P B.Q C.M D.N 【答案】D 【解析】∵，∴，∴在数字4和5之间. 故选：D． 【举一反三1】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵正方形ABCD的面积为7，∴AB2＝7，∴AB，∴AE＝AB， ∵点A表示的数为1，∴点E表示的数为1． 故选：A． 【举一反三2】如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A.点M B.点N C.点P D.点Q 【答案】B 【解析】因为9＜10＜16，所以34，所以﹣43． 所以这四点中所表示的数最接近的是点N． 故选：B． 【举一反三3】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　　． 【答案】 【解析】∵4＜5＜9，∴，不符合题意； ∵4＜7＜9，∴，不符合题意； ∵9＜11＜16，∴，符合题意； ∵16＜24＜25，∴，不符合题意； 故覆盖住的无理数是：． 【举一反三4】如图，实数π，对应数轴上A，B，C，D四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题： （1）实数π对应的点是 　　；实数对应的点是 　　； （2）计算：． 【答案】解：（1）实数π对应的点是D；实数对应的点是C. （2）由数轴可知，∴， ∴． 【题型7】利用估算比较实数的大小 【典型例题】下列关于的判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵4＜7＜9，∴，故选项D正确，符合题意； ∴，故选项A错误，不符合题意； ∴，故选项B错误，不符合题意； ∴，故选项C错误，不符合题意. 故选：D． 【举一反三1】手机通用的信号强度单位是dBm（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（　　） A.﹣π B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得各数的绝对值分别为π，，，， ∵π，∴信号最强的是． 故选：D． 【举一反三2】已知a＝﹣3，b＝﹣π，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　） A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 【答案】C 【解析】|﹣3|＝3，|﹣π|＝π，||， ∵π＞3，∴b＜a＜c． 故选：C． 【举一反三3】比较大小： 　　． 【答案】> 【解析】∵（）2，（）2，∴． 【举一反三4】比较两个数的大小：﹣2和﹣3． 【答案】解：因为，所以． 【题型8】利用数轴比较实数的大小 【典型例题】如图，比点A表示的数小的数是（　　） A.﹣2.1 B.﹣1 C.0 D. 【答案】A 【解析】由数轴得点A表示的数为﹣1，∵，∴， ∵，∴比点A表示的数小的数是﹣2.1. 故选：A． 【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（　　） A.a B.b C.c D.d 【答案】A 【解析】根据题意可得：a＜b＜0＜c＜d，∴四个数种最小的数为a． 故选：A． 【举一反三2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A.a＜﹣2 B.b＜1 C.b＜﹣a D.a＞﹣b 【答案】C 【解析】由题意得，﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，且|b|＜|a|，∴b＜﹣a，a＜﹣b，∴四个选项中，只有C选项正确，符合题意. 故选：C． 【举一反三3】如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b 　　0．（用“＞”“＜”或“＝”填空） 【答案】＜ 【解析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，则a+b＜0. 【举一反三4】在解答题目“在数轴上标出﹣π，，，﹣1，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了﹣π和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小． 【答案】解：∵，∴，结合﹣4＜﹣π＜﹣3，，可知，﹣1在数轴上如下图所示： 由﹣π，，，﹣1在数轴上的位置可知：． 【举一反三5】请把实数﹣π，，﹣2，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）． 【答案】解：所给的四个实数在数轴上表示如下： 由四个实数数轴上表示的位置可知：﹣π＜﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $