微专题05 离散型随机变量分布列，数学期望与决策问题 讲义-2025届高三数学二轮专题

该高中数学讲义聚焦概率与统计核心考点，系统梳理离散型随机变量分布列、数学期望、方差的定义性质及二项分布、超几何分布等特殊模型，通过知识梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建从定义到应用的解题体系。 资料以高考真题为载体，如2016年全国Ⅰ卷决策问题，引导学生通过数据分析构建分布列模型，培养数据观念和模型意识。设置例题变式分层训练，结合性质公式简化运算，助力教师高效把控复习节奏，提升学生应考能力。

2025届福州市高三数学微专题系列 第三章 概率与统计 微专题05 离散型随机变量分布列，数学期望与决策问题 （师大附中供稿） 一、基础知识： 1、知识梳理 （1）均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则(xi－E(X))2描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． （3）特殊分布的均值与方差 分布 均值 方差 两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) 二项分布 X~B（n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p) 超几何分布 E(X)＝np=n （*） （4）均值和方差的常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 （1）E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； （2）D(X)=E(X2)－[E(X)]2． 2、解题路径： （1）离散型随机变量分布列的求解步骤 （2）求离散型随机变量X的均值与方差的步骤： ①写出X的分布列； ②由均值的定义求E(X)； ③由方差的定义求D(X)． 3、常用方法： 求离散型随机变量X的均值的常用方法： （1）由分布列根据定义求均值； （2）特殊类型分布列（二项分布、超几何分布）用公式求均值； （3）利用线性关系转化求均值． 二、典型例题： 例1：小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0．5，记小智投篮三次后的得分为随机变量，求的分布列、数学期望和方差． 【分析】先求出分布列，再求期望和方差即可． 【解析】由题意可得，3，，1，其中， ， 故随机变量的分布列为： 1 3 P 故E， ． 变式1：小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中得0分，已知小智投篮命中率为0．5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，求E（ξ）和D（ξ）． 【分析】可求出分布列，再求期望和方差；或者利用投中次数X~B（3，0．5）， 求出X的期望和方差，再根据线性关系ξ=X出ξ的期望和方差． 【解析】由题意可知投中次数X~B（3，0．5），则E(X)=3×0．5=1．5，D(X)=3×0．5×0．5=0．75， 由ξ=X可知，E（ξ）=E(X)=1．5，D（ξ）=D(X)=0．75． 变式2：小智参加三分投篮比赛，投中1次得2分，投不中得0分，已知小智投篮命中率为0．5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，求E（ξ）和D（ξ）． 【分析】可求出分布列，再求期望和方差；或者利用投中次数X~B（3，0．5）， 求出X的期望和方差，再根据线性关系ξ=2X出ξ的期望和方差． 【解析】由题意可知投中次数X~B（3，0．5），则E(X)=3×0．5=1．5，D(X)=3×0．5×0．5=0．75， 由ξ=2X可知，E（ξ）=2E(X)=3，D（ξ）=4D(X)=3． 【方法总结】本例题先列出随机变量的分布列，再利用均值和方差的定义求出均值和方差．变式1和2也可由分布列根据定义求均值和方差，若注意到投中次数X服从二项分布以及它和得分ξ之间的线性关系，便可直接利用公式求解． 例2：10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中抽出3个芯片作为样本，用表示样本中不合格芯片的个数． （1）计算样本中含不合格芯片数的分布列； （2）求的期望与方差． 【分析】（1）由题意可知，的所有可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解．（2）根据分布列，结合期望和方差公式，即可求解． 【解析】（1）由题意可知，的所有可能的取值为0，1，2， ，，， 故的分布列为： X 0 1 2 P （2）期望， 方差． 或利用D(X)=E（X2）－[E(X)]2求解： 2的分布列为： X2 0 1 4 P 可求出E（X2）=，则D(X)=． 变式1 ：10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中依次不放回地抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数．求X的数学期望与方差． 【解析】由题可知，X服从超几何分布，由例2可知E(X)=，D(X)=． 变式2：10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中依次有放回地抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数．求X的数学期望与方差． 【解析】由题可知，X~B（3，），有公式可知E(X)=，D(X)=． 【方法总结】在利用公式求均值和方差时，先要判定随机变量服从哪类分布，再选择相应的公式． 例3：（2016全国高考Ⅰ卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【解析】（1）X的可能取值16，17，18，19，20，21，22， X的分布列： （2）由（1）可知，故n最小值为19． （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用． 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0．2+1000×0．08+1500×0．04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0．08+1000×0．04=4080． 可知n=19当时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19． 其他方法 n=19时，购买2台机器易损零件费用Y的分布列为 n=19时，加购易损零件费用Z的分布列为 由Y=3800+Z，E（Y）=3800+E（Z）=4040； n=19时，加购易损零件数ξ的分布列为 由Y=3800+500ξ，E（Y）=3800+500E（ξ）=4040． 【方法总结】在计算随机变量的均值时，可以通过线性关系的转化，减少计算量． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $