3.1 平方根 重难点突破 2025-2026学年浙教版七年级数学上册

3.1 平方根 【热考题型】 【重难点突破】 考查题型一 求一个数的算术平方根 典例1．的算术平方根是（ ） A． B．3 C． D．9 变式1-1．计算：的平方根等于（ ） A． B． C． D． 变式1-2．下列四个数中，是负数的是（ ） A． B． C． D． 考查题型二 算术平方根的实际应用 典例2．学校食堂有一张面积为10平方米的正方形大桌，它的边长是（ ） A．10的平方根 B．10开平方的结果 C．10的算术平方根 D．10的立方根 变式2-1．以下对的描述错误的是（ ） A．面积为12的正方形边长为 B．是无理数 C．是介于3与4之间的数 D．数轴上没有与对应的点 变式2-2．如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( ) A．2 B．3 C． D． 考查题型三 求一个数的平方根 典例3．的平方根是（ ） A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3 变式3-1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式3-2．下列说法错误的是（ ） A．0的平方根是0 B．的平方根是 C．算术平方根等于它本身的数是1 D．立方根等于它本身的数是0， 考查题型四 已知一个数的平方根，求这个数 典例4．已知一个数的平方根是，这个数是（ ） A． B．9 C．81 D． 变式4-1．一个数的平方根是和，则这个数为　　 A．0 B．-1 C．2 D．4 变式4-2．若一个正数的平方根是和，n的立方根是，则的算术平方根是（ ） A．0 B．4 C． D． 考查题型五 平方根的应用 典例5．若，，且，则的值为(　　) A． B． C．5 D． 变式5-1．若a2=25，|b|=3，且ab>0，则a+b的值为（ ） A．8 B．-8 C．8或-8 D．8或-2 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 平方根 【热考题型】 【重难点突破】 考查题型一 求一个数的算术平方根 典例1．的算术平方根是（ ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】 先求出=9，再根据算术平方根的定义求出即可． 【详解】 解：∵=9， ∴的算术平方根是=3， 故选：B． 变式1-1．计算：的平方根等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数计算即可. 【详解】 解：∵=，的平方根是 ， ∴的平方根是， 故选D. 【名师点拨】 本题考查平方根的性质，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根还是0，熟练掌握相关知识是解题关键. 变式1-2．下列四个数中，是负数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先根据有理数的乘方的运算方法，相反数、绝对值的含义和求法，求出每个选项的值各是多少；然后根据负数小于0，判断出四个数中是负数的是哪个即可． 【详解】 解：A. ∵-|-2|=-2＜0， ∴-|-2|是负数，∴选项A符合题意； B. ∵（-2）2=4＞0， ∴（-2）2是正数，∴选项B不符合题意； C. ∵-（-）=＞0， ∴-（-）是正数，∴选项C不符合题意； D.∵=2>0， ∴是正数，∴选项D不符合题意， 故选：A． 【名师点拨】 此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，相反数、绝对值的含义和求法，以及正数、负数的含义和判断，要熟练掌握． 考查题型二 算术平方根的实际应用 典例2．学校食堂有一张面积为10平方米的正方形大桌，它的边长是（ ） A．10的平方根 B．10开平方的结果 C．10的算术平方根 D．10的立方根 【答案】C 【分析】 分别根据正方形的面积公式和算术平方根的定义判断即可． 【详解】 解：面积为10平方米的正方形大桌的边长为， 即为10的算术平方根， 故选C． 【名师点拨】 此题主要考查了无理数和算术平方根的定义，掌握正方形的面积公式是解题的关键． 变式2-1．以下对的描述错误的是（ ） A．面积为12的正方形边长为 B．是无理数 C．是介于3与4之间的数 D．数轴上没有与对应的点 【答案】D 【分析】 根据无理数的定义与算术平方根的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】 A. 面积为12的正方形边长为，正确，不符合题意， B. 是无理数，正确，不符合题意， C. 是介于3与4之间的数，正确，不符合题意， D. 数轴上有与对应的点，符合题意， 故选D． 【名师点拨】 本题主要考查无理数的定义与算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． 变式2-2．如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( ) A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】 把阴影部分，分割成3个三角形，分别算出面积后，求和，就可得到正方形的面积，进一步求出正方形的边长. 【详解】 ∵阴影部分的面积=，∴正方形的面积是6，所以新正方形的边长是，故选D. 【名师点拨】 求方格纸中不规则的组合图形，一般采用割补法，分成几个基本图形，再用面积公式，即可. 考查题型三 求一个数的平方根 典例3．的平方根是（ ） A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3 【答案】D 【分析】 先化简，再根据平方根的地红衣求解． 【详解】 解：∵=9， ∴的平方根是， 故选D． 【名师点拨】 本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作． 变式3-1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据算术平方根和平方根的定义分别计算，即可判断． 【详解】 解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误； 故选B． 【名师点拨】 本题考查了算术平方根和平方根，解题的关键是掌握相应的定义和求法． 变式3-2．下列说法错误的是（ ） A．0的平方根是0 B．的平方根是 C．算术平方根等于它本身的数是1 D．立方根等于它本身的数是0， 【答案】C 【分析】 根据算术平方根的意义、平方根的意义和立方根的意义，可得答案． 【详解】 解：A、0的平方根是0，故正确，本选项不符合题意； B、的平方根是，故正确，本选项不符合题意； C、算术平方根等于它本身的数是0和1，故错误，本选项符合题意； D、立方根等于它本身的数是0，，故正确，本选项不符合题意； 故选C． 【名师点拨】 本题考查了算术平方根的意义、平方根的意义和立方根的意义，掌握各自的意义和求法是解题关键． 考查题型四 已知一个数的平方根，求这个数 典例4．已知一个数的平方根是，这个数是（ ） A． B．9 C．81 D． 【答案】B 【分析】 直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】 解：∵3或-3的平方等于9， ∴这个数是9． 故选B． 【名师点拨】 此题主要考查了平方根的定义，主要利用了被开方数应等于对应平方根的平方． 变式4-1．一个数的平方根是和，则这个数为　　 A．0 B．-1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】 依据平方根的意义：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，列式计算求出a的值，再计算该数． 【详解】 解：由平方根的定义可知：a-1+a+3=0， ∴a=-1， 所以a-1=-1-1=-2， 则这个数为4， 故选：D． 【名师点拨】 本题考查了平方根，熟练掌握：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 变式4-2．若一个正数的平方根是和，n的立方根是，则的算术平方根是（ ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15， ∴m+3+2m-15=0， 解得：m=4， ∵n的立方根是-2， ∴n=-8， 把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16， 所以-n+2m的算术平方根是4． 故选：B． 【名师点拨】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n-m的算术平方根，特别是最终求值，是本题的易错点．题目整体较难，适合课后培优训练． 考查题型五 平方根的应用 典例5．若，，且，则的值为(　　) A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】 首先根据平方根的定义求出a、b的值，再由ab＜0，可知a、b异号，由此即可求出a-b的值． 【详解】 解：∵a2=4，b2=9， ∴a=±2，b=±3， 而ab＜0， ∴①当a＞0时，b＜0，即当a=2时，b=-3，a-b=5； ②a＜0时，b＞0，即a=-2时，b=3，a-b=-5． 故选：A． 【名师点拨】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 变式5-1．若a2=25，|b|=3，且ab>0，则a+b的值为（ ） A．8 B．-8 C．8或-8 D．8或-2 【答案】C 【解析】 先根据平方根的定义求出a的值，根据绝对值的性质求出b的值，再根据ab>0，确定出a+b的值即可得解. 解：∵a2=25，∴a=±5， ∵|b|=3，∴b=±3， 又∵ab>0， ∴当a=5，b=3，a= -5，b= -3， ∴a+b=5+3=8， 或a+b=-5+（-3）= -8， ∴a+b的值为8或-8. 故选C. “名师点拨”本题考查了平方根的定义以及绝对值的性质，确定出a、b的值是解题的关键. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $