精品解析：四川省巴中中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

巴中中学高三一轮复习12月质量检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 8. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. 在方向上的投影向量为 D. 11. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，且满足，当，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为8 B. C. 函数在区间上的最大值为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则_____． 13. 如图是函数的部分图象，则的解析式为_____． 14. 已知在长方形中，，点为的中点，沿直线进行翻折，形成四棱锥如图．则下列说法正确是_____． ①存在点使得；②三棱锥可以四个侧面都是直角三角形；③点在翻折过程中，存在三棱锥的表面积不变；④点在翻折过程中，存在三棱锥的体积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在长方体中，，点为的中点，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 16. 已知数列的前项和为． （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为边的中点，，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形．，且平面平面． （1）若是直角三角形，且，求证：． （2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． （3）若是等腰直角三角形，，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中中学高三一轮复习12月质量检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题否定结构即可求解. 【详解】的否定为：， 故选：D 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B，根据交集和补集的运算可得答案. 【详解】因为，所以或， 所以. 故选：D 3. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以，故， 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后将代入求解即可. 【详解】已知，则， 因此可得：. 故选：B 5. 如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系先求，进而将弦化为切即可求解. 【详解】由，解得， 所以， 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得. 所以. 故选：B. 8. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，即与有三个交点，作出的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由，得，由已知与有三个交点， 由， 令，得， 由在单调递减，又在单调递增， 所以在单调递减， 作出的函数图象： 由图象可知：， 所以， 所以， 故选：D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由作商法判断A；由作差法判断B；举反例判断C；由指数函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 不妨取， 则， 因为， 即，故C错误； 对于D，因为， 所以为单调递增函数， 又因为， 所以，故D错误. 故选：AB. 10. 《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. 在方向上的投影向量为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正八边形的性质和平面向量的共线、数量积、投影向量等知识逐项判断计算即可. 【详解】对于A： 与的夹角为与的夹角，即，A错误； 对于B： ，B正确； 对于C： 在方向上的投影向量为，C正确； 对于D： 因为正八边形的中心角为，所以，所以， 因为，所以，又， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，且满足，当，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为8 B. C. 函数在区间上的最大值为4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题中所给的两个条件分别可得函数关于点成中心对称，关于直线对称，进而可得函数的一个周期判断A选项；再由周期性可得BD选项的值；再由周期性将函数在区间上最大值转化为区间上最大值可判断C选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数是奇函数， 所以，令，则， 即 ①，所以函数关于点成中心对称. 又因为，用替换得 ②，所以函数关于对称. 联立①②得，用替换得，即. 所以，所以8是函数的一个周期，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为8是函数的一个周期，所以函数在区间上与在区间上的图象完全相同， 当，， 所以函数在上单调递减，，所以C正确； 对于D：由，所以，， 又因为函数关于点成中心对称，且函数的定义域为，所以. 再由，得，，， ，， 所以， . 所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意利用推出，结合指数以及对数的运算化简的表达式，即可求得答案. 【详解】由，得，则， 则 ， 故答案为：4 13. 如图是函数的部分图象，则的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象确定A和最小正周期，即可求出，利用点的坐标即可求出，即得答案. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，故， 则，将点代入得， 故，即，结合，得， 故， 故答案为： 14. 已知在长方形中，，点为的中点，沿直线进行翻折，形成四棱锥如图．则下列说法正确是_____． ①存在点使得；②三棱锥可以四个侧面都是直角三角形；③点在翻折过程中，存在三棱锥的表面积不变；④点在翻折过程中，存在三棱锥的体积为． 【答案】 【解析】 【分析】对于①：利用线面垂直的判定定理和性质，推出矛盾；对于②：存在一种情况符合条件即可；对于③：当翻折至到的距离等于原到的距离时，即和面积与原面积相等，三棱锥表面积不变．；对于④：通过讨论三棱锥体积的最大值可判断正确与否． 【详解】由于在长方形中，，，为中点， 则，可得为等腰直角三角形， 且，，， 故 所以．则： 对于：已知，若， 又，且平面，平面， 则平面，又平面，故． 但翻折后，而与的夹角为，即不成立．故错误； 对于：由条件得，，， 在中，显然不成立， 故若是直角三角形，分以下两种情况： 第一种：，则， 而，，显然不存在； 第二种：，则 而，，则，即， 即是直角三角形． 而，，，即，即， 故为等腰直角三角形， 又已求得，即为直角三角形， 存在这样的满足条件．故正确； 对于：三棱锥表面积= + +  +．  ； ； 当翻折至到的距离等于原到的距离时，和面积与原面积相等， 故三棱锥表面积不变．故正确．  对于：设 为点到平面的距离， 三棱锥体积 = ． 而=4，则． 翻折时的最大值为到的距离（即等腰的高），即，则， 此时， 故存在使得．故正确． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在长方体中，，点为的中点，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1） 证明：如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由于，则， 故, 设平面的法向量为，则, 即，令，则， 则，即， 而平面，故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，故，而， 故， 则异面直线与所成的角的余弦值为. 16. 已知数列的前项和为． （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由题意有：， 所以， 又， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求； （2）利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有：， 所以 ； 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为边的中点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，再结合余弦定理即可求得答案； （2）由题意可得，平方后可得，再利用余弦定理得到，即可求出的值，利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知在中，， 则， 即得，即, 可得，结合，得； 【小问2详解】 由题意知为边的中点，， 则,则， 可得，即 又，则，结合， 可得， 故的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形．，且平面平面． （1）若是直角三角形，且，求证：． （2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． （3）若是等腰直角三角形，，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）取中点，连接，， 且，是矩形， 且，，， ，，， ，，， ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，， ，平面，平面，平面， ； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到； （2）取中点，由是等边三角形得到，利用面面垂直的性质定理得到平面，以为原点建系，写出坐标，求平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用数量积求出，从而得解. （3）取中点，由得到，利用面面垂直的性质定理得到平面，以为原点建系，设，则，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量，设直线与平面的夹角为，利用数量积求出，计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，是等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 以为原点，过作的平行线作为轴， 分别以，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，，，， 是等边三角形，，， ，，设平面的法向量为， ，，解得，，取，则， ，，， ，，设平面的法向量为， ，， 解得，取，解得，则， ，，，，， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，，，，， 是等腰直角三角形，， ，，， 设，则，设， ，，，， ，，，， ， ，，设平面的法向量为， ，， 解得，取，解得，则， ，， ，，， 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为， ，或， ，，，是线段的中点， 即在线段上存在点，且是线段的中点， 使得直线与平面所成角的正弦值为，. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，无极值；当时，极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）时求，由点斜式求出切线的方程即可． （2）先求，再判断和的的取值范围，确定极值点即可求出极值. （3）先构造函数，再求导利用分离常数法即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ， 时，， 切线的斜率， 切线的方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，， 在单调递增，无极值． 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 在处取极小值． 【小问3详解】 当时恒成立， 即， 令，即， ， 为了使在时恒成立，， 即， 令， ， 当时，， 在时是减函数 当取最大值，， 当，，图象是连续的， ，当时，， 在上单调递增，，不符合题意， 时，在时恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $