6.4探索三角形相似的条件巩固练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6 .4探索三角形相似的条件(练习课) 【学习目标】 1.在较复杂的图形中，利用相似的条件发现、证明两个三角形相似，积累证明相似的经验； 2. 能利用相似三角形的性质得比例式、求边、求角. 【学习过程】 问题两个三角形相似的条件有哪些?相似三角形的角、边有何性质? 例1如图，在▱ABCD中，E 是边AD 上一点，且 CE=CD,BE=BC. (1)求证△CDE∽△BEC; (2)若AB=4,BC=9, 求 AE 的长. 例2如图，AB⊥BD,ED⊥BD,C 是BD 上一点，AC⊥CE. (1)求证△ ABC∽△CDE; (2)若AB=6,BD=7,DE=2,求 BC 、CD的长， 反思总结：满足题目条件的C点的位置为什么有两处? 例3如图，在△ ABC中，AB=AC, 点D 在BC上，AD 的延长线交△ ABC的外接圆于点E,△ABE 与△CDE 相似吗?为什么? 追问：图中还有哪几对相似三角形? 课后练习 1. 如图，在△ABC中 ，CD 是边AB上的高，且AC²=AD·AB 、求证∠ACB=90° . 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AC⊥AD,AC 平分∠BCD. 若AB=2,BC=4,求AD、CD 的 长 . 3. 如图，在△ABC中 ，D 、E 分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD. (1)求证△ ABE∽△ACD; (2)求证△AED∽△ABC. 4. 在矩形ABCD中 ，AB=4,BC=10.P是边BC 上一点，且△PAB与△PCD 相似，求BP的长 5. 如图，在△ABC中 ，AB=AC,点D在边AC上.要使△ABC△BCD,可添加的一个条件是 6.如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB、AC 上的高CE、BF 相交于点D, 写出图中的两对相似三角形. 学科网（北京）股份有限公司 7.. 如图，在△ABC中 ，AB=AC,∠A=36°,BD 、CE 分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且相交于点O, 写出与△ABC 相似的三角形. 8.. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CD 是边AB上的高，求证： (1)CD²=AD·BD; (2)BC²=AB·BD,AC²=AB·AD 9.. 如 图 ， 在 △ABC 中 ，AC<B C, 在BC 的延长线上求作一点D, 使 △ ACD∽△BAD, 并说明理由 10. 如 图 ， ▱ABCD 的对角线交于点O, 点E在边BC的延长线上，且OE=OB, 连接DE,OE⊥CD 求证：△BDE∽△DCE. 11. 如图，弦AB 、CD 相交于⊙O内一点P. 求证：PA·PB=PC·PD. 12..(1).试探究两个等腰三角形相似的条件. (2).在之前的学习中，我们知道“边边角”不能判定两个三角形全等，那是否可以判定三角形相似呢？如果是等腰、等边三角形，锐角、直角、钝角三角形呢？(可以使用反证法) 一、基础回顾（相似三角形条件与性质） - 相似条件：1. 两角分别相等；2. 两边成比例且夹角相等；3. 三边成比例。 - 相似性质：对应角相等，对应边成比例。 二、例题答案 例1 (1) 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）。 又∵ CE=CD，BE=BC， ∴ CD=CE，BC=BE， ∴ △CDE和△BEC均为等腰三角形。 ∴ ∠CDE=∠CED，∠BEC=∠BCE（等腰三角形两底角相等）。 又∵ AD∥BC ∴ ∠CED=∠BCE（内错角相等）， ∴ ∠CDE=∠CED=∠BEC=∠BCE。 ∴ △CDE∽△BEC（两角分别相等的两个三角形相似）。 (2)解： ∵ AB=4， ∴ CD=CE=AB=4（平行四边形对边相等，CE=CD）。 ∵ BC=9， ∴ BE=BC=9（BE=BC）。 由△CDE∽△BEC，得（相似三角形对应边成比例）。 代入EC=4，BC=9，得 ，解得。 ∵ AD=BC=9（平行四边形对边相等）， ∴ AE=AD-DE=。 例2 (1) 证明： ∵ AB⊥BD，ED⊥BD， ∴ ∠ABC=∠CDE=90°（垂直定义）， ∴ ∠A+∠ACB=90°。 又∵ AC⊥CE， ∴ ∠ACB+∠ECD=90°， ∴ ∠A=∠ECD（同角的余角相等）。 ∴ △ABC∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。 (2) 解： 设BC=x，则CD=BD-BC=7-x。 由△ABC∽△CDE，得 （相似三角形对应边成比例）。 代入AB=6，DE=2，得 ，交叉相乘得x(7-x)=12，整理得x²-7x+12=0。 解得x=3或x=4， ∴ BC=3，CD=4 或 BC=4，CD=3。 例3 答案：△ABE∽△CDE 理由： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）。 ∵ 四边形ABCE内接于圆， ∴ ∠ABE=∠ACE（同弧AE所对的圆周角相等）， ∴ ∠ABE=∠ACB。 又∵ ∠BAE=∠DCE（同弧BE所对的圆周角相等）， ∴ △ABE∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。 追问：图中还有△ADE∽△BCE、△ABD∽△ECB等（答案不唯一，合理即可）。 三、课后练习答案 1. 证明 ∵ CD是AB上的高， ∴ ∠ADC=90°（垂直定义）。 又∵ AC²=AD·AB， ∴ （比例基本性质）。 ∵ ∠A是△ACD和△ABC的公共角， ∴ △ACD∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴ ∠ADC=∠ACB（相似三角形对应角相等）， ∵ ∠ADC=90°，∴ ∠ACB=90°。 2. 解 ∵ ∠B=90°，AB=2，BC=4， ∴ 由勾股定理得AC=。 ∵ AC平分∠BCD， ∴ ∠ACB=∠ACD（角平分线定义）。 ∵ AC⊥AD， ∴ ∠CAD=90°=∠B， ∴ △ABC∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ （相似三角形对应边成比例）。 代入AB=2，BC=4，AC=，得 ，解得AD=； ，解得CD=10。 3. 证明 (1) ∵ ∠ABE=∠ACD（已知），∠A是△ABE和△ACD的公共角， ∴ △ABE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）。 (2) 由(1)知△ABE∽△ACD， ∴ （相似三角形对应边成比例），即 。 又∵ ∠A是△AED和△ABC的公共角， ∴ △AED∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 4. 解 设BP=x，则PC=10-x。 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=∠C=90°（矩形的角为直角）。 分两种情况： ① 当△PAB∽△PDC时，（相似三角形对应边成比例）。 ∵ AB=DC=4， ∴ ，解得x=5； ② 当△PAB∽△CPD时，（相似三角形对应边成比例）。 代入得 ，交叉相乘得x(10-x)=16，整理得x²-10x+16=0。 解得x=2或x=8。 综上，BP的长为2、5或8。 5. 答案 ∠CBD=∠A（或BC²=AC·CD，答案不唯一） 解析：∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）。若添加∠CBD=∠A，又∵ ∠C是公共角，∴ △ABC∽△BCD（两角分别相等的两个三角形相似）。 6. 答案 △BDE∽△CDF、△AEC∽△AFB（答案不唯一） 解析：∵ CE、BF是高， ∴ ∠BED=∠CFD=90° 又∵ ∠BDE=∠CDF（对顶角相等）， ∴ △BDE∽△CDF； 同理，∠AEC=∠AFB=90°，∠A是公共角， ∴ △AEC∽△AFB。 7. 答案 △ABD、△ACE、△BEO、△CDO（答案不唯一） 解析：∵ AB=AC，∠A=36°， ∴ ∠ABC=∠ACB=72°。BD、CE是角平分线， ∴ ∠ABD=∠CBD=36°，∠ACE=∠BCE=36°。 ∴ ∠ABD=∠A=36°， ∴ △ABD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），同理△ACE∽△ABC；△BEO和△CDO均为等腰三角形，角为36°、72°，也与△ABC相似。 8. 证明 (1) ∵ ∠ACB=90°，CD是AB上的高， ∴ ∠ADC=∠CDB=90°。 ∵ ∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴ ∠A=∠BCD。 ∴ △ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴ （相似三角形对应边成比例），即CD²=AD·BD。 (2) ∵ ∠B是△ABC和△CBD的公共角，∠ACB=∠CDB=90°， ∴ △ABC∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ （相似三角形对应边成比例），即BC²=AB·BD。 同理，△ABC∽△ACD，∴，即AC²=AB·AD。 作法与理由 作法：以A为顶点，在∠CAD内作∠CAD=∠B，射线AD交BC的延长线于点D，则点D即为所求。 理由：∵ ∠CAD=∠B（作图），∠D是△ACD和△BAD的公共角， ∴ △ACD∽△BAD（两角分别相等的两个三角形相似）。 10. 证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OB=OD（平行四边形对角线互相平分），AB∥CD，BC∥AD。 又∵ OE=OB， ∴ OE=OD（等量代换）， ∴ ∠ODE=∠OED（等腰三角形两底角相等）。 ∵ OE⊥CD， ∴ ∠OED+∠CDE=90°，∠EOD=90°。 ∵ OB=OE， ∴ ∠OBE=∠OEB（等腰三角形两底角相等）， 又∵ ∠BEO+∠OED+∠DEB=180°， ∴ ∠OBE+∠ODE+∠DEB=180°。 ∵ ∠EOD+∠OBE+∠BEO+∠ODE=180°，∠EOD=90°， ∴ ∠OBE+∠ODE=90°， ∴ ∠DEB=90°=∠EOD。 又∵ ∠BDE=∠EDC（公共角）， ∴ △BDE∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。 # 11. 证明 连接AC、BD。 ∵ ∠PAC和∠PDB是同弧PC所对的圆周角， ∴ ∠PAC=∠PDB（同弧所对的圆周角相等）。 又∵ ∠P是△PAC和△PDB的公共角， ∴ △PAC∽△PDB（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ （相似三角形对应边成比例），交叉相乘得PA·PB=PC·PD。 12. 解 (1) 两个等腰三角形相似的条件： ① 顶角相等（顶角相等则底角也相等，两角分别相等）； ② 底角相等（同理，底角相等则顶角也相等，两角分别相等）； ③ 腰与底的比对应相等（三边成比例）。 (2) “边边角”不能判定一般三角形相似： - 等腰三角形：不行。例如，一个等腰三角形腰长5、底3，另一个等腰三角形腰长5、底4，满足“边边角”但角不相等，不相似； - 等边三角形：都相似（无需“边边角”，三边成比例或三角均为60°）； - 直角三角形：“边边角”若为“斜边和一条直角边对应成比例”，可判定相似（HL相似），其他情况不行； - 锐角/钝角三角形：不行，无法保证角相等，不能判定相似。 $