精品解析：辽宁省沈阳市同泽高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

沈阳市同泽高中2028届高一上12月月考数学试题 命题人：隋丹 校对：周艳晖 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的定义域可直接求得答案. 【详解】由题意可知，解得， 因此函数的定义域为， 故选：B. 2. 函数（且）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求． 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 3. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 4. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项. 【详解】因为在R上递减，且，所以 .又因为 在R上递增，且，所以 .所以. 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题. 5. 已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性求出函数在时的解析式，即可得到在定义域上的解析式，画出函数图象，即可得到函数在定义域上单调递增，则原不等式等价于对任意实数恒成立，对分两种情况讨论，当时，则，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为定义在上的奇函数满足：当时，，设，则，所以，即，函数图象如下所示： 由函数图象可知函数在定义域上单调递增，若不等式对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，即恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则，解得； 综上可得 故选：C 6. 已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（ ） A. B. C. D. 方程有两个解 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的基本性质，求出函数解析式，作出函数图像，判断各选项正误. 【详解】设，且， 则，可得，则， ，因为且，解得，所以，， 对于A选项，，即所以A错误； 对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图像如下图所示： 由图可知，当时，；当时，. 所以，B错误； ，C正确； 函数、的图像有三个公共点，即方程有三个解，D错误. 故选：C. 7. 如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合矩形性质与对数函数、指数函数与幂函数的运算法则逐步计算、、即可得. 【详解】由，则，即，即， 又，则，即，则， 即有，即，即. 故选：A. 8. 已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得出，令，设函数的两个零点分别为、，分三种情况讨论：（i），；（ii），；（iii），.前两种情况直接求出的值，检验即可，在第三种情况中，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，， 设，则，令， 设函数的两个零点分别为、， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象交点个数为、、、， 因为关于的方程只有个不相等的实数根，分以下几种情况讨论： （i），，则，可得， 则关于的方程为，解得，，不合乎题意； （ii），，则，解得， 由韦达定理可得，解得，不合乎题意； （iii），，由二次函数的零点分布可得， 解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 乙同学阅读时间更加稳定 B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的分位数为25 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定折线图，计算百分位数、极差、平均数、方差即可判断作答. 【详解】对于B，甲同学在一周内每天阅读时间依次为， 则甲同学阅读时间的平均数为， 乙同学在一周内每天阅读时间依次为， 则乙同学阅读时间的平均数为， 则甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，故B正确； 对于A，甲同学阅读时间的方差为 ， 乙同学阅读时间的方差为 ， 则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时间的方差，故乙同学阅读时间更加稳定，故A正确； 对于C，乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 对于D，将甲同学阅读时间从小到大排列为，因为， 所以甲同学阅读时间的分位数为25分钟，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】原式， A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，若，则a的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值，即可求解； 【详解】函数定义域为， 设则在上为增函数，且， 当时，，则， 当时，，则，即在上的唯一一个零点， 则，即， 此时函数与满足如图所示： 此时， 则满足函数，所以， 故可以为、0或1. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若样本数据的标准差为6，则数据的方差为______ 【答案】144 【解析】 【分析】利用方差和标准差的关系结合方差的性质求解即可. 【详解】由样本数据的标准差为6，即方差为36， 则数据的方差为. 故答案为：144 13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】易知在定义域上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以解得，且，解得， 综上可知，a的取值范围为. 故答案为： 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可得单调递增，由“和谐函数”的定义可得有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，令，则有两个不相等的正实数根，结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意，因为 是“和谐函数”， 当时，单调递减，单调递减， 所以单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 所以单调递增； 综上，在其定义域内为增函数，且在上的值域是， 所以， 所以有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 令，则， 所以有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 即 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：g）都在区间，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这200个脐橙中质量不低于的个数是多少. （2）求这200个脐橙质量的中位数约为多少.（保留两位小数） （3）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 【答案】（1）110 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案. （2）根据频率分布直方图中中位数的求法求得正确答案. （3）根据频率分布直方图中平均数的求法求得正确答案. 【小问1详解】 由题意，不低于的频率为， 所以这200个脐橙中质量不低于的个数是. 【小问2详解】 前两组的频率为， 前三组的频率为， 所以中位数，则， 得，即中位数约为； 【小问3详解】 估计平均数为. 16. 已知函数是定义在的奇函数. （1）若集合，，求； （2）设，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出； （2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； . 所以 【小问2详解】 令，因为和在上递增， 所以在上递增， 所以时，， 可化为 ，， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以或, 又，所以合题意. 当时，在上为增函数, ，解得不合题意，舍去, 综上可知. 17. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2）函数在上为增函数． 证明：设，，且， ， 由，可得，所以， 由，可得，, 所以，则，所以， 即， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论； （2）在上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤； （3）由的奇偶性和单调性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范围． 【小问1详解】 由解得， 函数的定义域为， ， 可得是定义域为的奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 不等式化为， 因为在上为增函数，所以， 解得：或， ，解得： ，解得：, 综上：实数的取值范围 18. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】（1）选择模型①，，2028年 （2）（i）选择模型②，；（ii）2027年 【解析】 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【小问1详解】 由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. 【小问2详解】 （i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 19. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 【答案】（1）； （2） 因为与均为增函数， 所以在上单调递增， 当时，， ， 所以存在唯一的，使得， 即函数有唯一零点， 所以，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当与时等号成立. 当时，由知，即，所以等号不成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）由对数型函数的单调性直接求解即可； （2）由在上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的， 由化简后可得，利用均值不等式及等号成立条件即可得证. 【小问1详解】 当时，，由可得， 解得，即， 故不等式的解为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市同泽高中2028届高一上12月月考数学试题 命题人：隋丹 校对：周艳晖 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 函数（且）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（ ） A. B. C. D. 方程有两个解 7. 如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 乙同学阅读时间更加稳定 B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的分位数为25 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知函数，若，则a的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若样本数据的标准差为6，则数据的方差为______ 13. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为______ 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：g）都在区间，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这200个脐橙中质量不低于的个数是多少. （2）求这200个脐橙质量的中位数约为多少.（保留两位小数） （3）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 16. 已知函数是定义在的奇函数. （1）若集合，，求； （2）设，且在上的最小值为，求实数的值. 17. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 18. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 19. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $