精品解析：四川省自贡市2026届高三第一次诊断性考试数学试题

自贡市普高2026届第一次诊断性考试 数学试题 本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 4. 等比数列中，，，则（ ） A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 5. 如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 若函数满足，且在没有零点，则 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则（ ） A. 的最小正周期是 B. C. 在单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（ ） A. 某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B. 在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C. 在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D. 指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 11. 定义域为的函数 ，以下说法正确的是（ ） A. 使得恒成立的函数 存在且有无穷多个 B. 使得恒成立的函数 存在且有无穷多个 C. 存在在上单调递增的函数 使得恒成立 D. 存在在上单调递减的函数 使得恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若非零向量、的夹角为，且，则________． 13. 若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为，则该圆柱的高为________． 14. 若函数有3个零点，则实数k的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若 的面积为，求AB上的高CD． 16. 从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． （1）估计甲队队员投中的概率p； （2）从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设X为这2名队员中投中的人数，估计X的数学期望； （3）设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较与的大小． 17. 三棱锥中，， ，，， ，． （1）求三棱锥的体积； （2）若M是PC的中点，求证：； （3）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值． 18. 设数列的前n项和为． （1）求； （2）若，求数列的前n项和； （3）设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由． 19. 设定义在 上的函数，导函数 的图象关于y轴对称，当时， 的极大值为． （1）求 的解析式； （2）点M在直线 上，过点M作曲线 的两条相互垂直的切线，求M的坐标； （3）当 时都有直线 （a，b为实数），使得曲线与曲线分别在直线l的上下方恒成立，求b的取值范围及a，b满足的不等关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市普高2026届第一次诊断性考试 数学试题 本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合 ，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出 ，再利用复数模的定义求解. 【详解】由，得，所以. 故选：D 3. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和同角的三角函数基本关系式结合齐次化可求三角函数的值. 【详解】因为，故 ， 故选：C. 4. 等比数列中，，，则（ ） A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式转化成与 的关系式，两式作比求出公比，再由等比数列基本量运算即得答案. 【详解】设等比数列的公比为 ， ，， 两式作比可得， 又 故选：B 5. 如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件 不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有 种， 元件 正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 6. 已知，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解. 【详解】由，得，由，得， 则，即，又，因此，即，解得， 所以. 故选：A 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 8. 若函数满足，且在没有零点，则 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数 ，再利用指定区间上无零点及周期情况列式求解. 【详解】函数，当时，， 由函数 在没有零点，得，解得， 由，得 是函数 的周期，则， 解得，所以当 时， 取得最大值4. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则（ ） A. 的最小正周期是 B. C. 在单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用图象平移变换求出 ，再结合正弦函数的图象性质逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A， 的最小正周期是，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，因此函数 在取得最大值1， 在上不单调递增，C错误； 对于D，由，得 的图象关于点不对称，D错误. 故选：AB 10. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（ ） A. 某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B. 在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C. 在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D. 指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据临界值的定义，判断选项A的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数的求法，判断选项B的正误；根据频率分布直方图的第 百分位数的算法，判断选项C的正误；根据患病和未患病的该指标的频率分布直方图，判断选项D的正误； 【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确； 在患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知，， 则中位数为， 平均数为， 所以B正确； 在未患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知，， 即第25百分位数为76.5，所以C正确； 当时，患病者该指标为， 则的患病者为漏诊，的未患病者为误诊， 根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D错误； 故选：ABC. 11. 定义域为的函数 ，以下说法正确的是（ ） A. 使得恒成立的函数 存在且有无穷多个 B. 使得恒成立的函数 存在且有无穷多个 C. 存在在上单调递增的函数 使得恒成立 D. 存在在上单调递减的函数 使得恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】利用反证法可判断BC错误，假设成立，找到矛盾；构造函数，，可判断AD选项正确. 【详解】A．设，则，则恒成立，所以 存在且有无穷多个，A选项正确； B．使得成立，令 ，则，因为 矛盾，B选项错误； C．若存在 上单调递增的函数 使得恒成立，则，即 故当时，，故，故，所以，矛盾，故C选项错误； D．假设，则在 上单调递减，使得恒成立，D选项正确； 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若非零向量、的夹角为，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质化简即可得解. 【详解】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 故答案为：. 13. 若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为，则该圆柱的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积公式及圆锥的体积公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径、高分别为，则该圆锥的母线， 依题意，，则，解得， 由该圆锥体积为，得，则，， 所以该圆柱的高为. 故答案为： 14. 若函数有3个零点，则实数k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点和方程的解的关系，以及函数单调性和函数导数的关系，构造函数，判断函数单调性，求出方程有三个解时，参数的范围即可. 【详解】当函数有3个零点时，即方程有三个解； 当时，方程无解， 即当时，方程有三个解； 设函数且， ， 令，即，解得或， 当 时，，则，即，函数在上单调递增， 当时，，则，即 ，函数在上单调递减， 当时，，则，即，函数在上单调递增， 可知 时，， 时，， 因为，所以当有三个解时，，即实数k的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若 的面积为，求AB上的高CD． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系解得，再使用正弦定理即可求解； （2）根据面积求解 ，再利用余弦定理求得 ，再次使用面积即可求解. 【小问1详解】 根据,，可知： 因为，即， 所以，即; 【小问2详解】 ，解得， 则，解得， 则，代入，解得 16. 从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． （1）估计甲队队员投中的概率p； （2）从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设X为这2名队员中投中的人数，估计X的数学期望； （3）设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率求解. （2）求出的可能取值及对应的概率，进而求出其期望. （3）利用全概率公式列式分别求出即可. 【小问1详解】 由从甲篮球队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得， 所以甲队队员投中的概率为. 【小问2详解】 记从甲队抽取的队员投中为事件 ，乙队抽取的队员投中为事件， 则，的可能取值为 ， ，， ， 所以X的数学期望. 【小问3详解】 记事件 为“甲队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为， 事件 为“乙队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为， 由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 所以. 17. 三棱锥中，， ，，， ，． （1）求三棱锥的体积； （2）若M是PC的中点，求证：； （3）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）证明如下： 由（1）知，直线两两垂直，以点 为原点，直线分别为 轴建立空间直角坐标系， ， ，， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）补形成四棱锥，根据给定条件可得 平面 ，再利用等体积法求出体积. （2）由（1）中信息建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求出平面PAC与平面PBC的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 过点 作 ，使 ，连接，则四边形 是平行四边形， 而，则 是矩形， ，由，得， 而平面，则 平面，又 平面， 则，由 ，，，得， 而，则，而， 于是，即，平面 ， 因此平面 ，， 所以三棱锥的体积为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 设平面PAC与平面PBC的法向量分别为， 则，令，得， ，令，得， 因此， 所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为. 18. 设数列的前n项和为． （1）求； （2）若，求数列的前n项和； （3）设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，正整数为 【解析】 【分析】（1）利用,求得数列的通项公式； （2）根据已知写出，利用错位相减法求和即可； （3）设，由题意可得，构造函数，求导得其单调性，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 ，当 时， 当 时， 两式作差可得： ，， 时，符合上式， 故综上：； 【小问2详解】 由（1）可知，则， 两式相减得： 数列的前n项和 【小问3详解】 存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形 由题意得： 不妨设，故三点均在第一象限内， 由可知，,故点 恒在线段 上， 则由， 即对任意得，恒成立 令，构造函数 则，由单调递增，又 存在使得 即当时， ，故函数在区间上单调递减， 当时， ，故函数在区间上单调递增； 故至多2个零点，又由，可知存在2个零点， 不妨设，且，. ①若，，此时 或，则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，时，此时，则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得或5； 综上可知，正整数为4，5，6. 19. 设定义在 上的函数，导函数 的图象关于y轴对称，当时， 的极大值为． （1）求 的解析式； （2）点M在直线 上，过点M作曲线 的两条相互垂直的切线，求M的坐标； （3）当 时都有直线 （a，b为实数），使得曲线与曲线分别在直线l的上下方恒成立，求b的取值范围及a，b满足的不等关系． 【答案】（1） （2） （3）因为 ， ， 所以 ，， 则在 函数图像如下图所示， 由图像可知 ， 当 时都有直线 （a，b为实数），使得曲线 与曲线分别在直线l的上下方恒成立， 即在 ， 恒成立， 恒成立； 设函数 ，可知二次函数开口向上，对称轴为， 则函数 在 上的最小值为 ，则 恒成立，解得 ， 设函数 ，则 ， 令 ，即 ，解得， 则当时， ，函数 在 上单调递减， 当时， ，函数 在 单调递增， 所以函数 在 的最小值为 ，则 ，解得 ， 可知， 令 ，画出函数函数图像，如下图所示， 令，解得或， 当时，，当时， 所以， 综上所述，b的取值范围为 ；a，b满足的不等关系为； 【解析】 【分析】（1）根据函数导数的零点和函数极值点之间的关系，以及二次函数对称轴的性质，求出函数导数，列出方程组，求出函数解析式； （2）根据导函数的几何意义，求出函数的切线方程，根据直线垂直的性质，列出方程，求出参数值，求出结果； （3）根据不等式恒成立的概念，构造函数，根据二次函数性质求出函数最小值，根据函数导数求出函数最小值，列出不等式组，求出结果. 【小问1详解】 由 ，得， 因为 的图象关于y轴对称，则 ， 可得 ，， 当时， 的极大值为，可知 ， 即，解得， 所以函数 . 【小问2详解】 由（1）可知 ，则 ， 令 ，则 ， 设过点 的两条切线切点分别为 ，则切线斜率分别为， 可知切线方程为 ， 点 代入得 ，化简得 ， 同理 ， 当过点M作曲线 的两条切线相互垂直时，可知 ，即， 当 时，，解得， 所以点 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $