24.4　一元二次方程的应用（第1课时） 课件-2025--2026学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的应用——几何图形问题”，核心内容为运用一元二次方程解决面积及动态几何问题。课堂导入通过复习列方程解应用题步骤、梳理常见图形面积公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于结合封面设计、存车处规划等生活实例，运用图形平移聚零为整等方法，培养学生用数学眼光观察现实（几何直观、空间观念）、用数学思维推理（推理意识、运算能力）、用数学语言建模（模型意识、应用意识）的核心素养。学生能学会从实际情境抽象问题，教师可借助清晰例题与训练提升教学效率。

第二十四章 一元二次方程 24.4　一元二次方程的应用 第1课时　几何图形问题 1 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 学 习 目 标 1 2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二 次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点） 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识 方程模型的重要性.（难点）. 新课导入 复习交流 （1）列方程解应用题有哪些步骤？ ①审题； ②设出未知数； ③列方程；④解方程； ⑤检验方程的解是否符合实际意义； ⑥答. （2）列方程解应用题应该注意些什么？ ①设未知数时必须写清单位； ②列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致； ③解完方程后要检验方程的解是否符合实际意义. 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 常见几何图形面积表示 新课导入 知识讲解 几何图形与一元二次方程 探 究 问题：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm） 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： . 9 7 9 7 设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬宽度之比为： 9 7 知识讲解 解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm.依题意,得 解方程得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: 答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm. 知识讲解 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意,得 解得 故上、下边衬的宽度为: 故左、右边衬的宽度为: 答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm. 知识讲解 如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m）,另外三面用90 m 长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700,求这个长方形存车处的长和宽. 例1 解：设长方形靠墙一边的长为x m， 得方程90x+1400＝0. 解得x1＝70，x2＝20. 由于墙长22 m， x1＝70不合题意，所以舍去． 当x＝20时，＝． 答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20 m. x =700 知识讲解 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 已知一本数学书的长为26 cm,宽为18.5 cm,厚为1 cm.一张长方形包书纸如图所示,它的面积为1260 cm2,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长. 例2 思考: (1)本题中有哪些数量关系? 包书纸的长×宽=1260. (2)包装纸的长和宽如何用正方形的边长表示? 包装纸的长=书宽+厚1 cm+2，包装纸的宽=书长+2 . 知识讲解 解这个方程,得(不合题意,舍去). 答:正方形的边长是2 cm. 解:设正方形的边长为 cm, 根据题意,得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260. 整理,得x2+32x-68=0. 知识讲解 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144 m2，求甬路的宽度. 例3 解法1 ：设甬路的宽为x m， 根据题意，得40×26-（40x+2×26x-2x2）＝ 144×6， 整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2. 因为甬路的宽必须小于m，即小于20 m， 所以x＝ 44 不符合题意，舍去，所以x＝ 2. 答：甬路的宽为2 m. 知识讲解 解法2 ：设甬路的宽为x m，根据题意， 得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ， 整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2. 因为甬路的宽必须小于 m，即小于20 m， 所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2. 答：甬路的宽为2 m. 分析：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x m，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝ 144×6. 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些. 知识讲解 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 随堂训练 C B 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A． x(x－10)＝900 B． x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B． x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 ． 4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 ． 　　 x2＋40x－75＝0 2 cm，7 cm 随堂训练 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 5．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？ 解：设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m．根据题意，得 (x－2)(2x－4)＝288. 解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14. 所以2x＝2×14＝28. 答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2. 随堂训练 6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方程,得 （20-x)(32-x)=540， 整理,得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图1 图2 随堂训练 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 7．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由． 随堂训练 解：(1)设秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得(5－ )＝4. 解得1＝1， 2＝4. ∵当＝4时，2 ＝8>7，不合题意，舍去． ∴ ＝1. 答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2. (2)设秒后，PQ＝5 cm，则(5－ )2＋(2 )2＝25. 解得1＝0(舍去)，2＝2. ∴ ＝2. 答：2 s后，PQ的长度等于5 cm. (3)设秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得(5－ )＝7. 此方程无解． ∴△PBQ的面积不能等于7 cm2. 随堂训练 通过方程思想的学习，可以培养学生的非标准化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过时钟问题的学习，可以培养学生的一般化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习等腰三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解矩阵解法时，通常会强调选择的重要性。 课堂小结 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 面积问题 常采用图形平移聚零为整，列方程 动态几何问题 $