24.4 一元二次方程的应用 课件 2025-2026学年冀教版九年级数学上册

第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 课时1 边长面积问题 22002 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性. 2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性. 学习目标 22002 学习重点：列一元二次方程解决与面积有关的应用题. 学习难点：在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意. 22002 问题1：三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么? 问题2：解一元二次方程的方法有哪些? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 探究新知 22002 问题3：列方程解应用题的一般步骤是什么? 审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程---解方程--- 检验---答 22002 例1：如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2，求这个长方形存车处的长和宽． 分析：设长方形靠墙一边的长为x m，则长方 形另一边的长为________，根据长方形的面积建立方程． 典例精析 22002 当x=20时， =35. 答：这个长方形存车处的长和宽分别为35 m和20 m. 审清题意 找出已知量、未知量 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 设未知数 设长方形靠墙一边长为x m，则另一边的长为 m. 列方程 依据题意得： . 解方程 解得：x1=70，x2=20. 验根 由于墙长22 m, x1=70不合题意，应舍去. 作 答 归纳总结 22002 问题：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设长方形的长为x m，则它的宽为（90-2x）m. 依题意，得 x（90-2x）=700 解方程，得 x1=35，x2=10. 当x=35时，90-2x=20；当x=10时，90-2x=70， 由于墙长22 m,所以x=10不合题意，应舍去. 答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m. 探究新知 22002 本章第一节“做一做”：一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗? 请解这个方程x2+12x-15=0， 并给出问题的答案. 练一练 22002 例2：已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长. 典例精析 22002 解：设正方形的边长为x cm， 根据题意，得 （26+2x）（18.5×2+2x+1）=1260. 解得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去）. 答：正方形的边长是2cm. 22002 几何图形的面积问题： 这类问题的__________是等量关系. 如果图形不规则应____或____成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程. 面积公式 割 补 22002 如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度. 方法： (32-x)(20-x)=540 变式： 五条 (32-3x)(20-2x)=540 练一练 22002 几何图形与一元二次方程问题 常见分析策略 常见类型 列方程依据 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 一边靠墙围成的区域面积 常见几何图形面积是等量关系. 常采用图形平移能化零为整， 方便列方程. 课堂总结 22002 有一块长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样大小的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长. 80 60 解：设小正方形的边长为xcm， (60-2x) (80-2x) =1500 x2-70x+825=0 (x-15) (x-55)=0 x1=15，x2=55(舍去) 答：剪去的小正方形的边长为15cm 当堂检测 22002 第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 课时2 增长率、百分率问题 22002 1.会根据具体问题,找到变化率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解. 2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性. 3.提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强应用数学的意识. 学习目标 22002 学习重点：列一元二次方程解变化率问题的实际应用. 学习难点：在实际问题中找等量关系列方程. 22002 问题1：解一元二次方程的方法有哪些? 问题2：列方程解应用题的一般步骤是什么? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程 ---解方程--- 检验---答 新课导入 22002 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率. 探究新知 22002 设年增长率为x,请思考并解决下面的问题: (1)2011年底比2010年底增加了　　　万辆汽车,达到了　 　　万辆.  (2)2012年底比2011年底增加了　 　　万辆汽车,达到了　 　　万辆.  (3)根据题意,列出的方程是　　 　　.  15(1+x) 15(1+x)2 15(1+x) x 15(1+x)2=21.6 15x (4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程. 解:设年增长率为x,根据题意得: 15(1+x)2=21.6, 解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去). 答:这个增长率为20%. 22002 如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则 第一次增长后的数量为a(1＋x)， 第二次增长后的数量为a(1＋x)2， … … 第n次增长后的数量为a(1＋x)n. 降低率 a(1 - x) 降低率 22002 某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少? (1)题目中的已知量和未知量分别是什么? 练一练 思考 (工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减少的百分率) 22002 (2)未知量之间的数量关系是什么? 第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍. (3)如何设未知数? 设第一年废气减少的百分率是x，第二年废弃减少的百分率是2x. 22002 300（1-x）（1-2x）=144 (4)题目中的等量关系是什么? 工业废气年排放量300万立方米减少两次=144万立方米. (5)如何根据等量关系列出方程? 22002 例2 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x (公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用) 典例精析 22002 分析：(1)建设费用与+2成正比例,比例系数为0.6,则建设费用可表示成　　 ;  (2)内部设备费用与2成正比例,比例系数为2,则内部设备费用可表示成　　 ;  (3)题目中的等量关系是　 ;  (4)根据题意列方程得　　 　　.  0.6(x +2)+2 x2=4.8 2 x2 总费用=建设费用+内部设备费用 0.6（x+2） 22002 答:该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷. 解:依题意,得0.6(x +2)+2 x2=4.8. 整理,得10 x 2+3 x -18=0. 解方程,得x 1=1.2, x 2=-1.5(不合题意,舍去). 例2 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x (公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用) 22002 平均变化率问题 增长率问题 降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量 注意：下降率不能超过1 注意：增长率不可为负，但可以超过1 课堂总结 22002 1．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( ) A．16(1＋2x)＝25 B．25(1－2x)＝16 C．16(1＋x)2＝25 D．25(1－x)2＝16 D 当堂检测 22002 2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么 ( ) A．50(1＋x2)＝196　 B．50＋50(1＋x2)＝196x C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 C 22002 第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 课时3 比赛、销售问题 22002 1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题和其他问题. 2.进一步培养化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 学习目标 22002 学习重点：会分析实际问题（销售问题、握手问题）中的 数量关系列一元二次方程. 学习难点：分析实际问题（销售问题、握手问题）中的数量关系. 22002 某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢? 典例精析 分析：设应邀请x支球队参加比赛. (1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛 　 　场.  (2)用含x的代数式表示比赛的总场数为　　　　， 于是可得方程　　 　 　.  (3)解这个方程并检验结果. (x-1) 22002 解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x -1) 支球队各赛一场. 根据题意可得=28, 化简得x 2- x =56, 解得x 1=8, x 2=-7(不合题意,舍去), 答:应邀请8支球队参加比赛 22002 如果赛制为双循环比赛，应该怎样列？ （x- 1）x =28 练一练 22002 某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元,则该顾客实际购买了多少个路灯? 典例精析 22002 思路： (1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为　 　　元.  (2)若顾客一次性购买路灯用去516 000元,则所买路灯数量　　　　80个.  (3)设该顾客购买这种路灯x(x )个,路灯数超出80个的数量是　　　　 个,每个路灯可降价　 　　 元,则每个路灯的单价是　　 　 　元.  320 000 大于 4 000-8(x-80) (x-80) 8(x-80) 22002 (4)题目中的等量关系是 　 　 　　.  (5)根据等量关系可列方程 　 .  (6)解方程,并检验根是否都符合题意. 路灯的单价×数量=总花费 4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200 22002 解:因为4 000×80=320 000<516 000,所以该顾客购买路灯数量超过80个. 设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4 000-8(x-80)]元/个. 根据题意,得x [4 000-8(x-80)]=516 000. 整理,得x2-580x+64 500=0. 解这个方程,得x1=150, x2=430. 当x=430时,4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200(元),低于3 200元， 不合题意,舍去. 答:该顾客实际购买了150个路灯. 22002 利润问题常见关系式 基本关系： （1）利润＝售价-进价； （2）利润率＝ ×100%； （3）总利润＝单个利润×销量. 课堂总结 22002 1.单循环赛问题中的等量关系: 比赛总场数=x(x-1)÷2(x为球队个数). 易错点是列方程时忽略除以2. 2.利润问题中的等量关系: 利润= (售价-进价)×销售量. 3.解决较为复杂的应用题时,要认真读懂题意,正确找到等量关系并准确表达,建立方程模型,并检验解出的根是否符合题意. 22002 52页练习：经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋.如果售价为“a元/双， 那么可以卖出这种运动鞋(350－10a)双. 物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%. 如果该商店卖完这批鞋赚得400元，那么该商店每双鞋的售价是多少元？这批鞋有多少双？ 当堂检测 22002 解：根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400, 化简可得：a2-56a+775=0, 解得：a=25或a=31, 因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元), 所以a=25, 共卖出350-10×25=100(双). 答：该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双. 22002 $