精品解析：吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验高新学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

吉林省第二实验学校教育集团 2025-2026学年度上学期八（2）年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分；共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 7. 下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 8. 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设______． 11. 计算：__________． 12. 设的小数部分是m，的整数部分是n，则的值是_______． 13. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 14. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下面四个结论： ①是的平分线； ②； ③； ④点在线段的垂直平分线上． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题 15. 计算： （1） （2） （3） （4） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的周长． 18. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合． （1）分别求AB、EB的长； （2）求CD的长． 19. （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图3对应公式___________． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，求的值； ②已知，求的值． 20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； （2）应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 21. 为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 22. 阅读下面计算过程： 试求： （1）的值为___________． （2）试比较：___________． （3）求的值． 23. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． （1）_____，______． （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校教育集团 2025-2026学年度上学期八（2）年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题3分；共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根，如果一个数满足，则叫做的平方根．据此进行解答即可． 【详解】解；∵， ∴ 16的平方根是， 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3. 在，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，无理数是无限不循环小数；根据定义逐个判断各数即可． 【详解】解：∵， ∴在，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）；共4个； 故选：C． 4. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该项正确，符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选：D． 7. 下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用不等式的性质、全等三角形的性质及绝对值的意义、对顶角，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若，则的逆命题为：若，则；错误，正确结论为，故该选项为假命题． B、对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，“如两直线平行，内错角相等”，故该选项为假命题； C、全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的两个是全等三角形，根据可判断出该命题正确，故该选项为真命题； D、，则的逆命题为：若，则，错误，如当时，，，故该选项为假命题； 故选C． 8. 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等”可知，由A到B的最短距离的走法有下面三种： （1）由A→C→D→B；（2）由A→F→E→B；（3）由A→F→D→B. 故选C. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设______． 【答案】是有理数 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，无理数，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】我们用反证法证明命题“是无理数”时，应先假设是有理数． 故答案为：是有理数． 11. 计算：__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 设的小数部分是m，的整数部分是n，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了实数的估算与计算能力，关键是能准确理解并运用相关知识．先确定出，的值，再通过计算求解此题． 【详解】解：的整数部分是1， 的小数部分是， 即， 的整数部分是2， 即， ， 故答案为：2 13. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 【答案】45 【解析】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下面四个结论： ①是的平分线； ②； ③； ④点在线段的垂直平分线上． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的做法，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据角平分线的做法可得①正确；根据直角三角形两锐角互余可判断②正确；根据不是的中线可判断③不正确；根据等角对等边可得，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得④正确． 【详解】根据作图的过程可知是的平分线，故正确； 是的平分线， ， 在中，，， ， ， ，故正确； ∵，， ∴， ∴不是的中线， ∴，故不正确； ， ， 点在的垂直平分线上，故正确， 故答案为：①②④． 三、解答题 15. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）9 （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的混合运算． （1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可； （2）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （3）利用平方差公式计算即可； （4）先根据二次根式的性质和二次根式的除法法则计算，再算加减． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 【小问3详解】 原式 ． 【小问4详解】 原式 ． 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，由三角形内角和定理得到的度数，再由即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，由三角形的周长得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ． 18. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合． （1）分别求AB、EB的长； （2）求CD的长． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得的长，根据折叠的性质可得，根据即可求解 （2）由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm， 由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm， （2） 由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°， ∴∠DEB=90°， 设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm， 在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2， 即42+x2=（8-x）2， 解得：x=3， cm 【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． 19. （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图3对应公式___________． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）①，④；（2）①；②12． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解； ②利用（1）中的公式③和公式④即可得解． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①，④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②把两边平方得：， ∴，即， ∴． 20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； （2）应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【小问1详解】 解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 21. 为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点即为中转站． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】略 22. 阅读下面计算过程： 试求： （1）的值为___________． （2）试比较：___________． （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）比较两个根式倒数的大小即可得到答案； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 23. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． （1）_____，______． （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 【答案】（1），； （2）①能，；②或． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握非负数的性质、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得，，得到，，，结合题意可得当为直角三角形时，只能是，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案；②分、、三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算． 【小问1详解】 解：， ，， 解得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①能， 由题意得，， ，， ，，， ，点在上，， 只能是， ，即， 解得， 在移动的过程中，能使为直角三角形，此时； ②当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为或时，为等腰三角形， 故答案为：或． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ， ∴， ∴， ∴； （2）6 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法即可求解； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $