精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区兴隆中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年兴隆中学九年级（上）期中考试数学试卷 一、选择题（共10小题每题3分，共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意买一张电影票，座位号是单号 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 任意画一个三角形，其内角和是 2. 反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在半径为2的中，半径垂直弦，为上的点，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法确定 5. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 6. 如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．为轴上的一点，连接．则的面积为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 10 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 13. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 14. 已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于_____． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 18. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，x的范围为 ． 19. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设每箱提价元． （1）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与之间的函数关系式． （2）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P，Q，连结BD． （1）求证：P是线段AQ的中点； （2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长． 21. 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 22. 如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． （1）如图2，当，且点D在线段上时，证明：； （2）如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，画出图形并求出的长． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． （1）分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． （2）设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． （3）若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年兴隆中学九年级（上）期中考试数学试卷 一、选择题（共10小题每题3分，共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意买一张电影票，座位号是单号 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号可能是单号有可能是双号，故原说法不是必然事件； B、掷一次骰子，向上一面的点数可能为中的任意值，故原说法不是必然事件； C、射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中靶心，故原说法不是必然事件； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选：D． 2. 反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 3. 如图，在半径为2的中，半径垂直弦，为上的点，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由垂径定理知，利用圆周角定理得出，最后根据进行求解． 【详解】由垂径定理知，， 所以， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 5. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 6. 如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．为轴上的一点，连接．则的面积为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先将△ABC面积转化为△AOB的面积，然后根据k的几何意义即可求得． 【详解】解：如图，将△ABC面积转化为△AOB的面积 可得 故答案选A． 【点睛】本题主要考查k的几何意义，将△ABC面积转化为△AOB的面积是解决本题的关键． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 8. 如图，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，得到，进而求出的度数，求出优弧的度数，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵、分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴优弧的度数为：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．熟练掌握切线垂直于过切点的半径，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 9. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．也考查了数形结合的思想．由抛物线的开口方向得到，由抛物线的性质得到对称轴，则利用对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得，则可对①进行判断；再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点为，即时，，则可对②进行判断；由于抛物线与轴的交点坐标为，利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点为，则利用函数图象，当时，，于是可对③进行判断；由于当，，加上，，所以，然后用表示，用表示，从而可对④进行判断；由题意可得二次函数的最小值为，所以，从而可对⑤进行判断， 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，所以①正确； 抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 即时，， ，所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为， 而点关于直线的对称点为， 当时，则，所以③正确； 当时，， ，， ， ， 而， ，所以④正确． 抛物线的顶点坐标为，， 二次函数的最小值为， ， ， ∴⑤错误． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为_____． 【答案】x=﹣1 【解析】 【分析】由根与系数的关系，设另一个根为x，再根据两根之和为，代入计算即可． 【详解】由根与系数的关系，设另一个根为x， 则3+x=2， 解得：x=−1. 故答案为x=−1. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 12. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 13. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 14. 已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了求圆周角；直径所对圆周角是直角，勾股定理求出，证得为等腰直角三角形即可解得． 【详解】解：如图, 连接， 的直径 , 根据勾股定理得 ∴ 为等腰直角三角形 ， 弦所对的圆周角的度数等于或者． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据函数解析式，求B坐标，然后求出，Q是线段的中点，O是线段的中点，故是的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，即可求解． 【详解】连接， 因为抛物线与x轴交于A、B两点， 令即， 解得或， ， ， ， ， ， Q是线段的中点，O是线段的中点， 故是的中位线， ， 最大，即最大， 即B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先变形，然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴或， 解得. 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴或， 解得：． 17. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 18. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）当时，x的范围为 ． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积． （1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式； （2）先求出点，可得，然后根据即可得出答案； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 将点代入，得：， 反比例函数的表达式为：， 将代入，得：， 点的坐标为， 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 对于，当时，， 点， ， ； 【小问3详解】 由图象可知，当时，的范围为或． 故答案为：或． 19. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设每箱提价元． （1）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与之间的函数关系式． （2）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）W=﹣3x2+60x+900（0≤x≤5）；（2）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润为1125元 【解析】 【分析】（1）根据每天的销售利润=每箱的售价×每天的销售量列出W与x之间的函数关系式； （2）根据二次函数的性质和x的取值范围求解即可． 【详解】（1）由题意可知，平均每天的销售利润W与之间的函数关系式为 W=(50﹣40+x)（90﹣3x）=﹣3x2+60x+900（0≤x≤5）； （2）W=﹣3x2+60x+900=﹣3（x﹣10）2+1200， ∵a=﹣3﹤0， ∴抛物线开口向下，且当x﹤10时，W随x的增大而增大， ∴当x=5时，W最大=1125， 又50+5=55（元） ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润为1125元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的增减性求解最大销售利润是常考题型，注意在自变量的取值范围内求最大值． 20. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P，Q，连结BD． （1）求证：P是线段AQ的中点； （2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长． 【答案】 （1）∵AB为⊙O的直径，弦CE⊥AB， ∴， ∵C是弧AD的中点， ∴, ∴， ∴∠ACP=∠CAP， ∴AP=CP， ∵AB是直径， ∴∠ACB=, ∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠AQC=, ∴∠PCQ=∠AQC， ∴CP=PQ， ∴AP=PQ， ∴P是线段AQ的中点； （2） 【解析】 【分析】(1) 首先利用等角对等边证明∠ACP= ∠CAP得到PA=PC， 然后再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点； (2) 首先证明△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长. 【详解】（1）略． （2）∵， ∴∠CAQ=∠ABC， ∵∠ACQ=∠BCA， ∴△CAQ∽△CBA， ∴， ∵AB=10， ∴AC=6，BC=8， ∵， ∴， ∴CH=， ∵CH=HE， ∴CE=2CH=. 【点睛】此题考查圆的综合知识，垂径定理及其推论，三角形的弧、弦、圆心角定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质. 21. 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，可证得，从而得到，即可求证； （2）先根据，求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． （1）如图2，当，且点D在线段上时，证明：； （2）如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，画出图形并求出的长． 【答案】（1） 证明：将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ． 在与中， ， ， ； （2） 解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： ，， ， 同（1）可证， ，， ， ， ； （3） 当D在线段上时，如图，； 当D在延长线上时，如图，． 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，根据题意证明，即可得到结论； （2）证明，根据勾股定理即可得到结论； （3）由勾股定理求出，分当D在线段上时和当D在延长线上时两种情况进行分类讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ， ①当D在线段上时，如图： ， ， 由（2）知， ， ②当D在延长线上时，如图： ， ， ． 综上所述，DE的长度为或． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． （1）分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． （2）设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． （3）若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 【答案】（1） （2）4或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义将代入方程，解方程判断即可； （2）同（1）先求得“互反点”、，得到，利用，解方程即可得到答案； （3）①把代入得，根据题意可知二次函数的图象与直线有且只有一个交点，利用，得到方程解之得到值，即可得到解析式；②将①得到的解析式化为顶点式，得到其对称轴和最小值，再求得其与轴的两个交点坐标，即可判断出的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得：， 解得： 函数的图象上“互反点”的坐标为 函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得： 解得：， 函数的图象上“互反点”的坐标为． 【小问2详解】 解：在函数中，令， 解得：（负值已舍去）， ， 在函数中，令， 解得：， ， ， ， ，解得：或；或无解． 的值为4或． 【小问3详解】 解：①根据题意，把代入得， ． 函数图象上的“互反点”必在直线上， 二次函数的图象上有且只有一个“互反点”， 也就是二次函数的图象与直线有且只有一个交点， 即，有且仅有一个解， 联立方程组整理，得：， 由， 解得：，， 该二次函数的表达式为． ②， 其图象的对称轴为直线，最小值为， 当时，，解得：或 二次函数图象与轴交点的坐标为和， 当时，二次函数的最小值为，最大值为0． 的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点，理解新定义并熟练应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $