精品解析：云南省景东彝族自治县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

云南省景东彝族自治县第一中学2025-2026学年上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟；满分100分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则k的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再根据集合关系得，进而求得答案. 【详解】由，即， 因为，， 所以，解得，故k的取值范围为， 所以k的最大值是. 故选：C 2. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定的关系，利用表示，化简不等式求其解集. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以，且为方程的解， 所以， 所以，， 所以不等式可化为，又， 所以，故， 所以或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 3. 已知为实数，函数在区间和上单调递增，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论的符号，研究的性质，再结合题设列不等式求参数范围. 【详解】令， 当时有，在定义域上单调； 当时有，此时对称轴为且在上递减，在上递增； 要使在和上单调递增，则，可得. 故选：A. 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知平分求和可得的值，结合角度范围可得所求. 【详解】因为 平方求和得：所以 由得所以或， 又，则，所以， 所以 故选：B. 5. △ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c+bc-a=0.则 A. - B. C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的大小，然后表示出B的大小，将原式利用正弦定理和两角差的正弦公式即可求出结果． 【详解】∵， ∴． 在△ABC中，由余弦定理的推论得， 又， ∴． 由题意及正弦定理得 ． 故选B． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是进行合理的角的变换和对式子的变形，考查变换能力和计算能力． 6. 已知为纯虚数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数的概念求出，再由复数的模的公式计算可得. 【详解】因为为纯虚数， 所以，且不等于0，解得，所以， 所以. 故选：A 7. 如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得平面，设的中点为，连接，，，，作图分析可得点的轨迹为线段，当时，与侧面所成角的正切值最大，计算即得解. 【详解】解：存在，，使，， 平面， 设的中点为，连接，，，， 则，平面，不在平面内， 所以平面，同理平面，，平面， 平面平面， 点为侧面正方形内（含边界）动点，且平面， 点的轨迹为线段， 正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点， , 由题得就是与侧面所成角， 所以最大，则最小，即. 由等面积法得, 所以最大值为. 故选：D 8. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递增，在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项. 【详解】函数的定义域满足 ，即， 即函数的定义域是， ∵， 设，则函数在单调递增，在单调递减， 又函数单调递增， 由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确； 因为,, 所以，即函数图象关于直线对称，故C正确； 又，， 所以，所以D错误． 故选：BC． 10. 已知圆，直线．则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为直线， 可得，令，解得， 所以直线恒过点点，所以A正确； 对于B中，由圆，可得圆心，半径为， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足， 当时，直线， 可得圆心到直线的距离为，所以B错误； 对于C中，因为直线恒过点点，设为点， 可得，所以点在圆内部， 所以直线圆圆有两个交点，所以C错误； 对于D中，因为圆，可得， 要使得圆与圆恰有三条公切线， 可得，即，解得，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知曲线C：3，以下判断正确的是（ ） A. 曲线C与y轴交点为(0，±2) B. 曲线C关于y轴对称 C. 曲线C上的点的横坐标的取值范围是[－2，2] D. 曲线C上点到原点的距离最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A、令，代入求即可确定与y轴交点；B、以替换x，代入方程验证方程是否不变即可；C、由放缩原方程有，即可求横坐标的取值范围；D、利用基本不等式可得，即可知曲线C上点到原点的距离最小值. 【详解】A：令，得，即， 解得，即曲线C与y轴交点为，错误； B：在中，以替换x， 可得， 即为，则曲线C关于y轴对称，正确； C：由，则， 即，所以，解得， 即曲线C上的点的横坐标的取值范围是，正确； D：由，根据基本不等式得， 则，则曲线C上点到原点的距离，正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。 【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴， 以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 13. 一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为______m． 【答案】 【解析】 【分析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可. 【详解】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 设圆心为，半径为，则圆的方程为：， 拱顶距离水面时，水面宽为，可知点在圆上， 把点的坐标代入圆方程中得：，解得， 所以圆的方程为：， 当水面下降时，设， 代入圆方程得：，解得，即， 该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为m. 故答案为：. 14. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 【小问1详解】 因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； 【小问2详解】 因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 16. 如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. （1）求证：是的中点； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）添加辅助线，由平面平面，得到，由为的中点，所以是的中点； （2）由题意证明出平面，进而证出，由且得出，最后由线面垂直的判定定理证明出结论即可. 【小问1详解】 证明：如图连接，与交于点，为的中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又在中，为的中点，所以是的中点. 【小问2详解】 因为底面，平面，所以， 又为棱的中点，，所以 因为，、平面，所以平面， 平面，所以， 因为，所以，又， 和中，， 所以， 即，所以， 又，、平面，所以平面. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E． （1）求证：平面ABCD． （2）若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由底面ABCD是正方形，可得，进而可得平面PBC．然后由线面平行性质可得，即可完成证明； （2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后由，结合题意可得，对应坐标，即可得答案. 【小问1详解】 因为底面ABCD是正方形，所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 又因为平面ADFE，平面平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD． 【小问2详解】 因为平面平面ABCD，平面平面，，平面PAD， 所以平面ABCD，又由四边形ABCD为正方形，得． 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 由可得， 又，则，即， 又由（1），则，得 则，因 所以，所以，． 设异面直线PB与DF所成的角为， ， 故异面直线PB与DF所成角的余弦值为． 18. 已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； （3）直线与圆心轨迹位于轴右侧的部分相交于两点，且，证明直线必过一定点，并求出该定点. 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，，根据圆心到直线求出半径，即可得解； （2）根据抛物线的定义即可得解； （3）设，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据求出，即可得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 由圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得， 可得圆的方程为； 【小问2详解】 设的坐标为，由动圆与圆相外切，又与轴相切， ， 当；当， 故可得动圆圆心轨迹方程为或； 【小问3详解】 设代入抛物线，消去得， 设，，则，， ∴ ， 令，∴，∴， ∴直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知，动点满足为线段上一点，为线段上一点，且，，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）设点，且的最小值为2． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若为的左，右顶点，过的直线与交于不同雨的两点，直线与交于点，则是否存在点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】（1）由题及图形可得垂直平分，进而可得为定值，从而可得轨迹方程； （2）（ⅰ）设，由（1）及题意可得关于的关系式，然后讨论的取值情况结合二次函数单调性可得答案；（ⅱ）假设存在点，满足，则， 设直线方程为：，然后利用韦达定理，求根公式，可得关于m的方程，解方程可得答案. 【小问1详解】 如图，点P在以为圆心，半径为6圆上，因，又，即平分，可知垂直平分， 则， 即点Q轨迹为以为焦点，长轴为的椭圆. 又，则，故曲线C方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）设， 则， 故. 因，若，则，与假设矛盾， 则，此时函数在上递增， 则； （ⅱ）由题可得，假设存在点，满足， 则. 设直线EF方程为：，其中. 将直线方程与椭圆方程联立，可得. 则判别式为，令其大于0，可得. 设，如图，此时，则由韦达定理及求根公式可得： ，. 则 ， 则， 化简可得：，两边平方可得： . 当时，此时，由对称性可得也满足条件. 综上，直线EF方程为：或. 【点睛】关键点睛：在题目（ⅱ）解析中出现的为非对称式，无法直接通过韦达定理处理，故可采取套用求根公式，探究与关系，构造对称式等方法来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省景东彝族自治县第一中学2025-2026学年上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟；满分100分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则k的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 3. 已知为实数，函数在区间和上单调递增，则的取值范围为 A. B. C. D. 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 5. △ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c+bc-a=0.则 A. - B. C. - D. 6. 已知为纯虚数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（ ） A B. C. D. 8. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 9 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递增，在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 已知圆，直线．则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 11. 已知曲线C：3，以下判断正确的是（ ） A. 曲线C与y轴交点为(0，±2) B 曲线C关于y轴对称 C. 曲线C上的点的横坐标的取值范围是[－2，2] D. 曲线C上点到原点的距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为________． 13. 一座圆拱形桥（圆一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为______m． 14. 已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. （1）求证：是的中点； （2）求证：平面； 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E． （1）求证：平面ABCD． （2）若，且平面平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值． 18. 已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； （3）直线与圆心轨迹位于轴右侧的部分相交于两点，且，证明直线必过一定点，并求出该定点. 19. 已知，动点满足为线段上一点，为线段上一点，且，，记点轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）设点，且的最小值为2． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若为的左，右顶点，过的直线与交于不同雨的两点，直线与交于点，则是否存在点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $