第三章 函数的概念与性质 单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质 (考查范围：第三章　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y＝＋的定义域为(　　) A．[0，3] B．[1，3] C．[3，＋∞) D．(1，3] 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x与y＝ B．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1 C．y＝()2与y＝3|x| D．y＝·与y＝ 3．已知函数f(x)＝x2－mx＋1在区间(－∞，－2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)<6 B．f(1)≤6 C．f(－1)>－2 D．f(－1)≤－2 4．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　) A． B． C． D．1 5．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－1，2) D．[1，2] 6．已知函数f(x)＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(0，2) D．(0，2] 7．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，且x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2成立，则关于x的不等式f(1＋x2)＋f(1－3x)<x2－3x＋2的解集为(　　) A．(1，2) B．(1，3) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数为(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝ D．y＝|x| 10．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值3 D．有最小值－3 11．给出定义：若m－<x≤m＋(m∈Z)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}＝m.下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的结论正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域为R，值域为 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称 C．函数y＝f(x)是偶函数 D．函数y＝f(x)在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　. 13．设函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 025的值为　　　　. 14．已知a∈R，函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则a＝　　　　；若不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)的部分图象如图所示，函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－4x. (1)求函数f(x)的解析式，补全函数f(x)的图象，并求不等式xf(x)>0的解集； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递减，求实数a的取值范围． 16．(15分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，函数定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间． 17．(15分)函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 18．(17分)经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元．在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 19．(17分)已知函数f(x)＝x＋(k∈R，k<0)． (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性，并加以证明； (2)设函数F(x)＝x2＋－2a，x∈[1，2]，a∈R，利用(1)中的结论求函数F(x)的最小值g(a)． 第三章函数的概念与性质 (考查范围：第三章　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y＝＋的定义域为(　　) A．[0，3] B．[1，3] C．[3，＋∞) D．(1，3] D　解析：由题意，得解得1<x≤3.故选D． 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x与y＝ B．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1 C．y＝()2与y＝3|x| D．y＝·与y＝ B　解析：对于A，函数y＝x的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A不符合；对于B，两函数的定义域均为R，且对应关系相同，故B符合；对于C，函数y＝()2的定义域为[0，＋∞)，y＝3|x|的定义域为R，故C不符合；对于D，函数y＝·的定义域为[2，＋∞)，y＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故D不符合．故选B． 3．已知函数f(x)＝x2－mx＋1在区间(－∞，－2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)<6 B．f(1)≤6 C．f(－1)>－2 D．f(－1)≤－2 B　解析：因为函数f(x)＝x2－mx＋1在区间(－∞，－2]上单调递减，所以≥ －2，即m≥－4， 所以f(1)＝2－m≤6，f(－1)＝2＋m≥－2. 故选B． 4．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　) A． B． C． D．1 A　解析：由函数f(x)＝为奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，所以＝－，所以－x(2x－1)(x＋a)＝－x·(－2x－1)(－x＋a)，化简得2(2a－1)x2＝0恒成立，所以2a－1＝0，即a＝.故选A． 5．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－1，2) D．[1，2] D　解析：令－x2＋4x－3≥0，解得1≤x≤3， 所以函数f(x)＝的定义域为[1，3]，值域为[0，1]． 因为函数y＝－x2＋4x－3在[1，2]上单调递增，在(2，3]上单调递减，函数y＝在定义域内为增函数， 所以，根据复合函数的单调性得f(x)＝在[1，2]上单调递增，在(2，3]上单调递减． 故选D． 6．已知函数f(x)＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(0，2) D．(0，2] B　解析：因为函数f(x)＝在R上是减函数，所以解得0<a≤1.故选B． 7．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 A　解析：因为f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，所以m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－6>0，故m＝3，所以f(x)＝x3为奇函数且为R上的增函数．若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0.故选A． 8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，且x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2成立，则关于x的不等式f(1＋x2)＋f(1－3x)<x2－3x＋2的解集为(　　) A．(1，2) B．(1，3) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) A　解析：因为对任意x1，x2∈R，若x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2成立，即f(x1)－x1<f(x2)－x2成立，所以g(x)＝f(x)－x在R上是增函数． 因为f(1＋x2)＋f(1－3x)<x2－3x＋2，所以f(1＋x2)－(1＋x2)<－f(1－3x)－(3x－1)． 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以－f(1－3x)＝f(3x－1)， 所以f(1＋x2)－(1＋x2)<f(3x－1)－(3x－1)． 由g(x)在R上单调递增可知，1＋x2<3x－1，解得1<x<2. 故选A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数为(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝ D．y＝|x| AD　解析：y＝x2是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故A满足； y＝x是奇函数，故B不满足； y＝是偶函数，但在区间(0，＋∞)上单调递减，故C不满足； y＝|x|是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故D满足． 故选AD． 10．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值3 D．有最小值－3 BC　解析：(方法一)根据题意可知f(x)在(－∞，0)上也单调递减，作出函数y＝f(x)的简图如图所示，由图知，故选BC． (方法二)由题可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递减． 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 则有f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3. 故在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3. 11．给出定义：若m－<x≤m＋(m∈Z)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}＝m.下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的结论正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域为R，值域为 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称 C．函数y＝f(x)是偶函数 D．函数y＝f(x)在上单调递增 ABC　解析：根据{x}的定义知函数y＝f(x)的定义域为R，{x}－<x≤{x}＋，即－<x－{x}≤，所以0≤|x－{x}|≤，函数y＝f(x)的值域为，A正确； 函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，B正确； 由图象知函数y＝f(x)是偶函数，C正确； 由图象知D不正确． 故选ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　. f(x)＝(x≠1)　解析：令＝t，则x＝，t≠1，所以f(t)＝，t≠1，所以f(x)＝(x≠1). 13．设函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 025的值为　　　　. 1　解析：由题意知，f(x)＝＋1，设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．所以g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，故M＋N＝2，(M＋N－1)2 025＝(2－1)2 025＝1. 14．已知a∈R，函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则a＝　　　　；若不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. ±1　[1，2]　解析：当a<1时，f(a)＝a2－a2＝0，所以f(f(a))＝f(0)＝a2＝1，所以a＝－1；当a≥1时，f(a)＝a2－a2＝0，所以f(f(a))＝f(0)＝a2＝1，所以a＝1.故a＝±1. 因为不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立，所以当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，所以解得1≤a≤2. 所以a的取值范围是[1，2]． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)的部分图象如图所示，函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－4x. (1)求函数f(x)的解析式，补全函数f(x)的图象，并求不等式xf(x)>0的解集； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递减，求实数a的取值范围． 解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝2x2＋4x. 由f(x)是奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－2x2－4x(x<0)． 所以f(x)＝ 根据奇函数的图象关于原点对称这一性质即可补全函数f(x)的图象，如图所示． 对于不等式xf(x)>0，当x>0时，f(x)>0，由图可知x>2； 当x<0时，f(x)<0，由图可知x<－2. 综上，不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由(1)中图象可知，函数f(x)的单调递减区间是[－1，1]， 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递减， 则解得1<a≤3. 所以实数a的取值范围是(1，3]. 16．(15分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，函数定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间． 解：设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，所以f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，所以g(x)＝x－1. 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象(图略)． 由题意及图，可知h(x)＝ 作出函数h(x)的图象如图所示． 由图可知函数h(x)的最大值为1， h(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(－∞，0)和(1，＋∞). 17．(15分)函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，所以f(0)＝－＝0，解得b＝0. 又f(1)＝，即＝，解得a＝1，所以f(x)＝. 又因为对∀x∈(－2，2)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数， 所以函数f(x)的解析式是f(x)＝，x∈(－2，2)． (2)任取x1，x2∈(－2，2)，x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝. 因为－2<x1<x2<2，所以x2－x1>0，4＋x1x2>0，4－x>0，4－x>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(－2，2)上单调递增． 由(1)知，不等式f(t－1)＋f(t)<0⇔f(t－1)<－f(t)⇔f(t－1)<f(－t)， 从而－2<t－1<－t<2，解得－1<t<， 所以所求不等式的解集为. 18．(17分)经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元．在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 解：(1)由题可知，L(x)＝6x－3－W(x)， 所以L(x)＝ ＝ (2)当0<x<6时，L(x)＝－x2＋5x－3＝－(x－5)2＋. 由二次函数的性质知，图象的对称轴为直线x＝5，开口向下， 所以当x＝5时，L(x)取得最大值为； 当x≥6时，L(x)＝－x－＋34≤－2＋34＝16，当且仅当x＝，即x＝9时，等号成立． 因为16>， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元. 19．(17分)已知函数f(x)＝x＋(k∈R，k<0)． (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性，并加以证明； (2)设函数F(x)＝x2＋－2a，x∈[1，2]，a∈R，利用(1)中的结论求函数F(x)的最小值g(a)． 解：(1)函数f(x)为奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． 证明如下： 由题意知函数f(x)＝x＋(k∈R，k<0)的定义域为{x|x≠0}， 又f(－x)＝－x＋＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝. 因为0<x1<x2，k<0，所以x1－x2<0，－k>0， x1x2>0，x1x2－k>0， 所以<0，所以f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上也单调递增． 综上，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． (2)F(x)＝x2＋－2a＝2－2a＋4， 设t＝x－，x∈[1，2]，由(1)知t＝x－在[1，2]上单调递增，则t∈[－1，1]， 所以F(x)即为h(t)＝t2－2at＋4，t∈[－1，1]，其图象的对称轴为直线t＝a. 当a≤－1时，h(t)在[－1，1]上单调递增，则g(a)＝h(－1)＝5＋2a； 当－1<a<1时，h(t)在(－1，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增， 则g(a)＝h(a)＝－a2＋4； 当a≥1时，h(t)在[－1，1]上单调递减，则g(a)＝h(1)＝5－2a. 综上，g(a)＝ 1/16 学科网（北京）股份有限公司 $