第三章 函数的概念与性质 单元检测卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 一、单选题 1．下列图象中，表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的取值范围是 （    ） A．， B．， C．，， D．，， 5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．设函数是奇函数，若，，则（    ） A． B． C．2 D．5 7．已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入成本为G（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（    ） A．1150万元 B．1000万元 C．950万元 D．900万元 二、多选题 9．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域R上为增函数 C．当时， D．不等式的解集为 11．若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数，的值域为 ． 13．已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 14．对于函数，若在其定义域内存在两个实数a，b（），使当时，的值域也是，则称函数为“保值”函数，区间称为函数的“等域区间”. （1）是“保值”函数，它的“等域区间”是 . （2）若函数是上的“保值”函数，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 15．求下列函数的值域： (1) (2) 16．已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)在给定的坐标系中画出函数在上的图象（不用列表）； (3)若关于的方程有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)当时，求函数在上的解析式； (2)若函数为R上的单调递减函数， ①求实数的取值范围； ②若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围， 18．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时. (1)求及的值； (2)求证:是偶函数； (3)解不等式：. 19．随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 2．A 3．C 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 9．CD 10．ABD 11．BC 12． 13． 14． 15．（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 16．（1）当时，则，可得， 又因为函数是定义在上的偶函数， 当时，则， 所以函数的解析式为：. （2）当时，； 当时，； 所以，大致图象如下： （3）根据（2）中大致图象，可知： ①当或时，直线与的图象有2个交点； ②当时，直线与的图象有3个交点； ③当时，直线与的图象有4个交点； ④当时，直线与的图象没有交点； 若关于的方程有4个不同的实数解，所以实数的取值范围为. 17．（1）设，则，又因为且为奇函数， 所以． （2）当时，开口向下，对称轴为， ①当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意； 当时，易知在上单调递减， 由奇函数的性质知在上也单调递减， 故时，函数为R上的单调递减函数． 综上所述，的范围为． ②由得， 又为奇函数，故， 又函数为R上的单调递减函数，故对任意的成立， 即对任意的成立， 其中， 故，实数的取值范围为． 18． (1)在中,令,可得,解得. 令,可得:,解得:. (2) 中,令,可得, 所以函数 是偶函数. (3)当时, ,由题意得: , 所以在上是增函数, 又由(2)知是偶函数, 所以 等价于,等价于, 又在上是增函数,所以,且, 解得:且, 所以不等式的解集为 19．（1）每百台高级设备售价为90万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 ，. 所以年利润，. （2）由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 当时，， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为1200万元万元， 所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1200万元. 学科网（北京）股份有限公司 $