第三章 函数的概念与性质 单元同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f（x）＝＋x0的定义域为（ ） A. B.∪（0，＋∞） C.∪（0，＋∞） D. 2．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递减的是（ ） A．y＝－x3 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ 3．已知函数f（x）＝则f（2）＝（ ） A．4 B．3 C．2 D．无意义 4．已知函数f（x）＝x2－2mx＋m在区间（－∞，3]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A．[－3，＋∞） B．[3，＋∞） C. D．（－∞，3] 5．若函数y＝的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（ ） A．（0，＋∞） B．（－∞，0] C. D. 6．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（ ） x 4 5 6 y 15 20 15 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．反比例函数模型 D．常数函数模型 7．已知函数f（x）＝（m2－m－1）xm3－1是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且a＋b<0，则f（a）＋f（b）的值（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 8．已知函数f（x）＝的最小值是－1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（ ） A．f（－3）＝4 B．f（x）＝ C．f（x）＝x2 D．f（3）＝9 10．函数f（x）＝（a≠0）的部分图象可能为（ ） 11．对于定义在R上的函数f（x），若f（x＋1）是奇函数，f（x＋2）是偶函数，且f（x）在[1，2]上单调递减，则（ ） A．f（3）＝0 B．f（0）＝f（4） C．f＝－f D．f（x）在[3，4]上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数y＝xα＋2（x>0）的图象恒过定点________． 13．函数f（x）＝|x－2|＋|2x－2|的最小值为________． 14．已知函数f（x）＝有最大值，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数f（x）＝ （1）在图中画出函数f（x）的大致图象； （2）写出函数f（x）的最大值和单调递减区间． 16．（15分）已知f（x）在R上是单调递减的一次函数，且f（f（x））＝9x－2. （1）求f（x）； （2）求函数y＝f（x）＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值． 17．（15分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两种产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． （1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？ 18．（17分）已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f＝. （1）求函数f（x）的解析式； （2）用定义证明f（x）在（－1，1）上为增函数； （3）解关于实数t的不等式f（t－1）＋f（t）<0. 19．（17分）已知函数f（x）＝－x2＋mx－m. （1）若函数f（x）的最大值为0，求实数m的值； （2）若函数f（x）在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围； （3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由． 第三章 函数的概念与性质 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f（x）＝＋x0的定义域为（ ） A. B.∪（0，＋∞） C.∪（0，＋∞） D. 解析：对于函数f（x）＝＋x0，则解得－<x<0或x>0，即函数的定义域为∪（0，＋∞）．故C正确．故选C. 答案：C 2．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递减的是（ ） A．y＝－x3 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ 解析：函数y＝－x3、y＝是奇函数，排除A、B；函数y＝|x|在（0，＋∞）上单调递增，排除C.故选D. 答案：D 3．已知函数f（x）＝则f（2）＝（ ） A．4 B．3 C．2 D．无意义 解析：∵f（x）＝∴f（2）＝f（5）＝＝2.故选C. 答案：C 4．已知函数f（x）＝x2－2mx＋m在区间（－∞，3]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A．[－3，＋∞） B．[3，＋∞） C. D．（－∞，3] 解析：二次函数f（x）＝x2－2mx＋m的图象开口向上，对称轴方程为x＝m.由函数f（x）＝x2－2mx＋m在区间（－∞，3]上单调递减，得m≥3，所以实数m的取值范围是[3，＋∞），故B正确．故选B. 答案：B 5．若函数y＝的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（ ） A．（0，＋∞） B．（－∞，0] C. D. 解析：因为函数f（x）＝的定义域为R，所以对任意的x∈R，kx2＋4kx＋3≠0恒成立．①当k＝0时，则有3≠0，符合题意；②当k≠0时，由题意可得Δ＝16k2－12k<0，解得0<k<.综上，实数k的取值范围是.故选C. 答案：C 6．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（ ） x 4 5 6 y 15 20 15 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．反比例函数模型 D．常数函数模型 解析：由题表中的数据作散点图，由散点图可知，三点分布在二次函数图象附近，故B正确．故选B. 答案：B 7．已知函数f（x）＝（m2－m－1）xm3－1是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且a＋b<0，则f（a）＋f（b）的值（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 解析：由题可知，函数f（x）＝（m2－m－1）x m3－1是幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.对任意的x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，满足>0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故m＝2.所以f（x）＝x7.又f（－x）＝－x7＝－f（x），所以f（x）为R上单调递增的奇函数．由a＋b<0，得a<－b，所以f（a）<f（－b）＝－f（b），则f（a）＋f（b）<0.故选B. 答案：B 8．已知函数f（x）＝的最小值是－1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：由已知可得x≤1时，f（x）＝x2－1，显然f（x）在（－∞，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，所以f（x）在x＝0处取得最小值，f（0）＝0－1＝－1.当x>1时，若a>0，则f（x）＝ax2－x＋2的图象开口向上，其对称轴为直线x＝，当a>0，>1，即0<a<时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以f（x）在x＝处取得最小值，f＝≥－1，解得≤a<；当a>0，0<≤1，即a≥时，f（x）＝ax2－x＋2在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在x＝1处取得最小值，f（1）＝a－1＋2≥－1，解得a≥.若a<0，则f（x）＝ax2－x＋2的图象开口向下，则f（x）在（1，＋∞）上必存在比－1小的值，不满足题意．若a＝0，则f（x）＝－x＋2，易得f（4）＝－2<－1，不满足题意．综上，实数a的取值范围是.故选A. 答案：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（ ） A．f（－3）＝4 B．f（x）＝ C．f（x）＝x2 D．f（3）＝9 解析：由f（2x＋1）＝x2，令2x＋1＝t，可得x＝，可得：f（t）＝＝，即：f（x）＝，故C不正确，B正确；可得：f（－3）＝＝4，故A正确；f（3）＝＝1，故D不正确．故选AB. 答案：AB 10．函数f（x）＝（a≠0）的部分图象可能为（ ） 解析：当a＝2时，f（x）＝，f（x）为偶函数，当x>0时，f（x）＝>0，且f（x）单调递增，A符合题意；当a＝1时，f（x）＝，f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）＝>0，且f（x）先增后减，B符合题意；当x>0时，f（x）＝>0，C不符合题意；当a＝－1时，f（x）＝，f（x）为奇函数，且x≠0，当x>0时，f（x）>0且f（x）单调递减，D符合题意．故选ABD. 答案：ABD 11．对于定义在R上的函数f（x），若f（x＋1）是奇函数，f（x＋2）是偶函数，且f（x）在[1，2]上单调递减，则（ ） A．f（3）＝0 B．f（0）＝f（4） C．f＝－f D．f（x）在[3，4]上单调递减 解析：令g（x）＝f（x＋1），因为f（x＋1）是奇函数，所以g（－x）＝f（－x＋1）＝－g（x）＝－f（x＋1），即f（－x＋1）＝－f（x＋1），f（x）的图象关于点（1，0）对称．令h（x）＝f（x＋2），因为f（x＋2）是偶函数，所以h（－x）＝f（－x＋2）＝h（x）＝f（x＋2），即f（－x＋2）＝f（x＋2），f（x）的图象关于直线x＝2对称．A选项，由f（－x＋1）＝－f（x＋1），令x＝0，可得f（1）＝－f（1）⇒f（1）＝0，由f（－x＋2）＝－f（x＋2），令x＝1，可得f（1）＝f（3）＝0，故A正确．B选项，由f（－x＋2）＝f（x＋2），令x＝2，可得f（0）＝f（4），故B正确．C选项，由f（－x＋1）＝－f（x＋1），令x＝，可得f＝－f，故C正确．D选项，由f（x）在[1，2]上单调递减，结合f（x）的图象关于点（1，0）对称，可知f（x）在[0，1]上单调递减，由f（1）＝0可知f（x）在[0，2]上单调递减，又f（x）的图象关于直线x＝2对称，则f（x）在[2，4]上单调递增，故D错误．故选ABC. 答案：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数y＝xα＋2（x>0）的图象恒过定点________． 解析：由x＝1，y＝3得图象过定点（1，3）． 答案：（1，3） 13．函数f（x）＝|x－2|＋|2x－2|的最小值为________． 解析：f（x）＝|x－2|＋|2x－2|＝由于y＝4－3x在（－∞，1）上单调递减，y＝x在[1，2]上单调递增，y＝3x－4在（2，＋∞）上单调递增，又4－3×1＝1＝f（1），3×2－4＝2＝f（2），故f（x）＝|x－2|＋|2x－2|的最小值为f（1）＝1. 答案：1 14．已知函数f（x）＝有最大值，则实数a的取值范围是________． 解析：当x≤4时，f（x）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4≤4. 当a≤0时，f（x）＝≤0，此时函数f（x）＝的最大值为4，符合题意；当a>0时，f（x）＝在（4，＋∞）上单调递减，故f（x）<，若f（x）＝有最大值，则≤4，得0<a≤16.综上可得a的取值范围是（－∞，16]． 答案：（－∞，16] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数f（x）＝ （1）在图中画出函数f（x）的大致图象； （2）写出函数f（x）的最大值和单调递减区间． 解：（1）函数f（x）的大致图象如图所示． （2）由函数f（x）的图象得出，f（x）的最大值为2，函数的单调递减区间为[2，4]． 16．（15分）已知f（x）在R上是单调递减的一次函数，且f（f（x））＝9x－2. （1）求f（x）； （2）求函数y＝f（x）＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值． 解：（1）由题意可设f（x）＝kx＋b（k<0）， 由于f（f（x））＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2， 故解得 故f（x）＝－3x＋1. （2）由（1）知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝（x－2）2－3， 故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2， 当－1<a≤5时，y的最大值是f（－1）＝6， 当a>5时，y的最大值是f（a）＝a2－4a＋1， 综上，ymax＝ 17．（15分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两种产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． （1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？ 解：（1）设投资债券类产品的收益f（x）与投资额x的函数关系式为f（x）＝k1x（x≥0），投资股票类产品的收益g（x）与投资额x的函数关系式g（x）＝k2（x≥0）， 由已知f（1）＝k1＝0.125，g（1）＝k2＝0.5， ∴f（x）＝x（x≥0），g（x）＝（x≥0）． （2）设债券类产品投资x万元，则股票类产品投资（20－x）万元，总的理财收益y＝f（x）＋g（20－x）＝＋（0≤x≤20），令t＝，则x＝20－t2，0≤t≤2. 故y＝＋t＝－（t－2）2＋3. ∴当t＝2时，即债券类产品投资16万元时收益最大，为3万元． 18．（17分）已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f＝. （1）求函数f（x）的解析式； （2）用定义证明f（x）在（－1，1）上为增函数； （3）解关于实数t的不等式f（t－1）＋f（t）<0. 解：（1）因为函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，所以f（0）＝0，可得b＝0，因为f＝，所以＝，解得a＝1，所以f（x）＝. （2）证明：设－1<x1<x2<1，则f（x2）－f（x1）＝－＝，因为－1<x1<x2<1，所以1－x1x2>0，x2－x1>0，（1＋x）（1＋x）>0，所以>0，即f（x2）－f（x1）>0，所以f（x）在（－1，1）上为增函数． （3）因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（t－1）＋f（t）<0转化成f（t－1）<－f（t）＝f（－t），则解得0<t<，所以不等式的解集为. 19．（17分）已知函数f（x）＝－x2＋mx－m. （1）若函数f（x）的最大值为0，求实数m的值； （2）若函数f（x）在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围； （3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由． 解：（1）f（x）＝－2－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4. （2）函数f（x）图象的对称轴是x＝，要使f（x）在[－1，0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2. （3）①当≤2，即m≤4时，f（x）在[2，3]上递减． 若存在实数m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，则 即此时m无解． ②当≥3，即m≥6时，f（x）在[2，3]上递增，则 即解得m＝6. ③当2<<3，即4<m<6时，f（x）在[2，3]上先递增，再递减，所以f（x）在x＝处取最大值，则 f＝－2＋m·－m＝3， 解得m＝－2或6，不符合题意，舍去． 综上可得，存在实数m＝6，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $