山西省吕梁市汾阳市部分学校2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2025-2026学年初三第一学期学业质量评估卷（三） 数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪组中的图形是相似图形（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数．当时，随的增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 6. 由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（ ）． A. B. C. D. 7. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示的是中国象棋棋盘的一部分（设各个小正方形的边长均为1），根据“马走日”的规则“马”落在位置________（从①②③④中选择合适的序号填写）处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点连接成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点连接成的三角形相似．（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 9. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 10. 如图．在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数和的图象交于、两点，则大小的变化趋势为（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变大再变小 D. 保持不变 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. ________． 12. 如图，矩形中，，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点F落在边上时，连接，的面积为________． 13. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为___________． 14. 如图，在等腰三角形中，为边的中点，于点E，则________． 15. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高，过点C作的平行线，过点F作的平行线，两线交于点交于点H若，则的长为________． 三、解答题 16. 代数式与互为相反数，求的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请直接写出的解集； （3）点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求P点坐标． 18. 如图，在的正方形网格中每个小正方形的边长均为1．建立坐标系后，的顶点的坐标为． （1）把绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； （2）以为位似中心把各边放大，使放大前后对应边长的比为，在所给网格中画出放大后的，并写出的坐标； （3）利用相似知识，找到线段的一个三等分点． 19. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，求的长． 20. 如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，测得AB=54cm，AC、BC与AB的夹角分别为45°与60°， （1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）． （2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm（坐垫E可按轴线BC上下伸缩调节），茜茜根据自己身高比例，坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适，茜茜坐上该自行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该如何调节坐垫E的位置？（结果保留一位小数）（参考数据：≈1.4，≈1.7） 21. 阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对． 如图1，在中，，顶角A的正对记作，这时容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）计算：_______． （2）对于的正对值的取值范围是________． （3）如图2，已知中，试求的值． 22. 如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成，矩形的边米，米，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点M正好在抛物线上，支撑轴，米．某工人师傅能刷到的最大垂直高度是米． ①若他站在木板上的点Q处，，问此刻他能刷到大门顶部吗？ ②求工人师傅利用木板之后，仍不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的取值范围． 23. 已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上． （1）如图，当点在上时，求证：； （2）如图，若是的中点，与相交于点，连接，求证：； （3）如图，若，，分别交于点，，求证： 2025-2026学年初三第一学期学业质量评估卷（三） 数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】#### 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】4 三、解答题 【16题答案】 【答案】 或 【17题答案】 【答案】（1）， （2）或 （3） 【18题答案】 【答案】（1）， 画图如下： （2）， 画图如下： （3） 解：构造，，连接交于点， 则点N是线段的一个三等分点． 理由如下：∵，，，， 则，，， ∴， ∴， ∴点N是线段的一个三等分点． 【19题答案】 【答案】15 【20题答案】 【答案】（1）约为cm. （2）将约调长cm最舒适. 【21题答案】 【答案】（1）1 （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1） （2）①他不能刷到大门顶部；② 【23题答案】 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2） 证明：如图，延长，相交于， ， 由知，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ； （3） 证明：如图，过点作交的延长线于， ， 同的方法得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $