精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市第十五中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

哈密市第十五中学2025-2026学年第一学期月考试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】因为，即小于3的元素符合题意，，符合题意，A、C错误，B正确；对于D，属于的符合只能用于集合于元素的关系，故D错. 故选：B 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论． 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：，， 故选：C. 3. 下列函数中与函数相等的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简各函数的解析式，根据函数的定义域、值域逐项判断可得答案.. 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数，定义域为，故B正确； 对于C，函数的值域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误. 故选：B. 4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】运用图象得到，再由对应关系得到即可 【详解】由图可知， 所以. 故选：D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，时，取得最小值4， 由有解，则，解得或． 故实数m的取值范围是或. 故选：D 8. 定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，，，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴，， ，， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知集合，.若，则实数的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】由集合间的关系与运算，结合集合元素的互异性求解. 【详解】∵，∴． ∵，∴且 ∵， ∴或 ①当时，，满足题意； ②当时，解得或， 若，集合与均不满足集合元素的互异性； 若时，，满足题意； 综上所述，或. 故选：BD. 10. 已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则有最小值 B. 若，则 C. 若，则有最大值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其成立的条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，，，， ， 当且仅当，即时取等号， 有最小值，故A正确． 对于B，，，，， ， 当且仅当，即时取等号，故B错误． 对于C，，，， ． ， 当且仅当，即时取等号， 有最大值，故C正确． 对于D，，当且仅当，即，时取得等号，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“”为假命题 D. 若的解集为，则⫋ 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可得选项A错误；利用二次函数对称轴可得选项B正确；根据关系化简不等式可得选项C正确；利用两不等式的关系可得选项D错误. 【详解】由题意得，，且是关于的方程的根， 所以，即，故A错误. 因为的图象的对称轴是直线，开口向下，且， 所以，故B正确. ，故C正确. 由得，由必可得到，所以⫋，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可得答案. 【详解】因为，，则， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 13. 已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 14. 已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________. 【答案】2x－－ (x≠0) 【解析】 【分析】由可得，联立即可求出答案 【详解】已知，① 以代替①式中的，得 ，② ①②得 故 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解及其常用方法，掌握解方程组法来求解函数解析式是解题的关键，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，代入值，利用交并补运算法则计算即得； （2）就集合分和两种情形考虑，依题列出不等式组，解之即得. 【小问1详解】 由题意得，． 若，则， 故， 又， 则或． 【小问2详解】 当时，，解得． 当时，由，得，解得． 综上，的取值范围是． 16. 已知，，，求证： （1）； （2）. 【答案】（1）因为且，（当且仅当时取等号）， 即，所以， 又， 所以； （2）因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）由且，得，再把两边平方整理即可证明； （2）由再结合基本不等式，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案； （2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案. 【小问1详解】 解：当时，， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为：； 【小问2详解】 因为，且在上恒成立， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递增，则， 又在上恒成立，转化为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 18. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 任取且， 则， 因为且，所以，所以，则， 所以，即，所以函数在上是减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）通过给赋值可得结果. （2）利用定义法可证明函数在上是减函数. （3）通过题目条件把不等式转化为，利用函数定义域和单调性可得，分离参数即可得到的取值范围. 【小问1详解】 令，有，得． 令，有，又，所以． 令，得， 令，得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，则． 因为函数的定义域为，且在上是减函数， 所以由，得，则． 对勾函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是． 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）设函数，求集合和； （2）求证：； （3）设函数，且，求证：． 【答案】（1） （2） 当，则成立， 若，对任意的，，则，所以，， 因此，. 综上所述，. （3） 因为，则关于的方程无实解， 即方程无实解，则， 构造函数， ①当时，函数的图象恒在轴上方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即； ②当时，函数的图象恒在轴下方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即. 综上所述，当时，. 【解析】 【分析】（1）当时，直接解方程、，可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取，由“稳定点”和“不动点”的定义证得，即可得出结论； （3）分、两种情况讨论，在第一种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出；在第二种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出.综合可证得结论成立. 【小问1详解】 解：由，可得，即， 由，解得，即. 故当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分、两种情况分析，确定与之间的大小关系，进而可得出与的大小，从而证出结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第十五中学2025-2026学年第一学期月考试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中与函数相等的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知集合，.若，则实数的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则有最小值 B. 若，则 C. 若，则有最大值 D. 11. 已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“”为假命题 D. 若的解集为，则⫋ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围是__________． 13. 已知，则的最小值是_______． 14. 已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知，，，求证： （1）； （2）. 17. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求的取值范围； 18. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）设函数，求集合和； （2）求证：； （3）设函数，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $