精品解析：甘肃省张掖市第一中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋学期期中考试试卷 九年级数学 满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. -5的相反数是（ ） A. -5 B. 5 C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名，全球影史票房榜第6位．其中数据14900000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算： （ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 6. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分且相等的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，相似比为：，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 如图，在正方形中，为的中点，为上的一个动点，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：________________． 12. 已知，则________________． 13. 点是线段的黄金分割点，，则______． 14. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为_______. 15. 已知，且满足，，那么的值为______________． 16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 三、解答题（17题5分，18题10分，19题7分，20、21、22题各8分，23、24、25题各9分，26题11分，27题12分，共96分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 20. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）． （1）画出向下平移5个单位得到的，并写出点的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为，直接写出的面积． 21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数． 22. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 23. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，求树高． 25. 在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． 求： （1）当时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 26. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴， ∴，∴的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在中，，高，矩形的一边在边上，两点分别在上，交于点．设． （1）用含的代数式表示的长； （2）求矩形的面积最大值． 27. 点在的延长线上，且， （1）如图（1），若，求证：； （2）如图（1），求证： （3）如图（2），若，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中考试试卷 九年级数学 满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. -5的相反数是（ ） A. -5 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】-5的相反数是5， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对相反数知识点的掌握． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 截至3月12日，《哪吒2》全球总票房已突破14900000000元，位居全球动画电影票房榜第1名，全球影史票房榜第6位．其中数据14900000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表示为，其中，n为整数．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 计算： （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 5. 下列方程中，属于一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：选项A： 中，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 选项B：不是方程，缺少等号． 选项C： 中，分母含未知数，不是整式方程． 选项D： 中含两个未知数x和y，不是一元方程． 故选A． 6. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分且相等的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， A. ，符合： B. ，不符合： C. ，不符合： D. ，不符合： 故选：A． 8. 已知，相似比为：，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【详解】解：∽，相似比为：， 的周长：的周长：， 的周长为， 的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 10. 如图，在正方形中，为的中点，为上的一个动点，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点C关于AB的对称点F，连接EF，交AB与P，作EH⊥BC，交BC于H，由轴对称的性质可得PF=PC，即可得PE+PC=EF，根据两点之间线段最短可知EF为PE+PF的最小值，由正方形的性质可知EH=AB，BH=AE=AB，利用勾股定理求出EF的长即可. 【详解】作点C关于AB的对称点F，连接EF，交AB与P，作EH⊥BC，交BC于H， ∵点C、点F关于AB对称，P在AB上， ∴PF=PC， ∴PE+PC=PE+PF=EF， ∴PE+PF的最小值为EF的长， ∵ABCD为正方形，E是AD中点， ∴EH=AB=2，BH=AE=1， ∴FH=3， ∴EF==. 故选D. 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式5，再利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将 拆分为，再利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入， 得， 故答案为：． 13. 点是线段的黄金分割点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，由于点C是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ， ， 故答案为： 14. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为_______. 【答案】9.6 【解析】 【详解】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解. 设树的高度为x米，由题意得 解得 则树的高度为9.6米． 考点：本题考查的是比例式的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式. 15. 已知，且满足，，那么的值为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，由已知条件，和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系，可得，，所求可化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 三、解答题（17题5分，18题10分，19题7分，20、21、22题各8分，23、24、25题各9分，26题11分，27题12分，共96分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，， ， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 19. 如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答． 【详解】解：， ， ∴， ， ∴， ． 20. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）． （1）画出向下平移5个单位得到的，并写出点的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为，直接写出的面积． 【答案】（1）见详解， （2）见详解， 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和位似变换作图． （1）将的三个顶点A、B、C依次向下平移5个单位，即可得，再顺次连接即可得，写出点的坐标即可； （2）将的三个顶点A、B、C 的横纵坐标分别乘以 即可得到 ，再顺次连接即可得，利用割补法解即可求出的面积． 平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数k，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是．正确的求出的坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形，且 【小问2详解】 如图，即为所求作的三角形， ． 21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数． 【答案】( 1）证明见解析；（2）30°． 【解析】 【分析】（1）由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，DC=DE，∠BAE=150°，∠CDE=150°，可证ΔBAE≌ΔCDE，即可证出BE=CE； （2）由（1）知：∠AEB=∠CED=15°，从而可求∠BEC的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ ADC=90° ∵△ADE为等边三角形 ∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60° ∴∠BAE=∠CDE=150° ∴ΔBAE≌ΔCDE ∴BE=CE 解：（2）∵AB=AD， AD=AE， ∴AB=AE ∴∠ABE=∠AEB 又 ∵∠BAE=150° ∴∠ABE=∠AEB=15° 同理：∠CED=15° ∴∠BEC=600－15°×2=30° 【点睛】本题考查等边三角形及全等三角形的判定和性质，也考查了等腰三角形等边对等角的性质，熟记相关性质定理是本题的解题关键． 22. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 23. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 24. 如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】树高长为 【解析】 【分析】本题考查利用三角形相似求线段长，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先统一单位，再根据有两角对应相等的两个三角形相似，可得，，进而求得，再根据，即可解决问题． 【详解】解：，， ∵， ∴ ∴， 即 ∴ ∴ 答：树高长为． 25. 在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． 求： （1）当时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）根据题意得出，，再根据勾股定理，即可解答； （2）根据题意得出，，则，根据相似三角形的判定定理得出当时或当时，点C，P，Q为顶点的三角形与相似，然后进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴P，Q两点之间的距离是； 【小问2详解】 解：根据题意可得：，， ∴， ∵， ∴当时或当时，点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：． 综上：当或时，点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 26. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴， ∴，∴的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在中，，高，矩形的一边在边上，两点分别在上，交于点．设． （1）用含的代数式表示的长； （2）求矩形的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形，矩形的性质，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用矩形的性质可证明，利用相似三角形的性质即可求解． （2）由（1）可得矩形的面积为，令，利用根的判别式即可得，故矩形的面积最大值为． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴矩形的面积为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，即矩形的面积最大值为． 27. 点在的延长线上，且， （1）如图（1），若，求证：； （2）如图（1），求证： （3）如图（2），若，，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 证明：由（1）已证：， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作，交于点，先根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后将代入化简即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）已得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $