精品解析：甘肃省武威市凉州区永丰乡中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025～2026学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 3. 在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.95 D. 0.90 4. 如图，直线，直线和分别与直线相交于点和点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线相交于点，，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为______________． 10. 如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 11. 某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为________________． 12. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是______． 13. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___． 14. 如图，在矩形中，连接，，点是边上的动点，过点作于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 在一个不透明的布袋中，有红球、白球共40个，这些小球除颜色不同外其他完全相同，摇匀后，从布袋中随机摸出一个小球并记录颜色，记为一次试验，通过多次重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，估计布袋中白球的个数． 17. 如图，四边形，都是正方形，点，分别在，上，连接，过点作交于点．若，，试求的长． 18. 如图，在中，，点在边上，连接，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 20. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 21. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 22. 如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 如图，在四边形中，，，对角线相交于点，过点作于点，延长交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 25. 【问题探究】 （1）如图1，点是正方形的边上一点，连接交于点，与的延长线交于点．若，，求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，是一片商业区，中线将分为两部分．其中区域为零售购物区，区域为休闲娱乐区，长廊横跨两个功能区，点在上，交于点，为更好服务于大众，现计划扩建区域为餐饮美食区，根据规划，，点在的延长线上，，商业区外面的广场上有三条步道，顾客可以通过三条步道根据自己的需求快速进入目标区域，点在的延长线上，请帮助工作人员探究与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 2. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程后，通过移项直接求出代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴； 故选：A． 3. 在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.95 D. 0.90 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由频率估算概率，解题的关键是理解题意；通过频率估计概率，合格品的频率即为概率的估计值． 【详解】解：∵总检测次数为100次，其中不合格品5次， ∴合格品的次数为次， ∴合格品的概率估计值为； 故选C． 4. 如图，直线，直线和分别与直线相交于点和点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系； 由平行可得成比例线段，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 故选：B ． 5. 如图，的对角线相交于点，，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形中求线段长，涉及平行四边形性质、相似三角形的性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的性质是解决问题的关键． 先由平行四边形性质得到，再由相似三角形性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：的对角线相交于点，， ， ， ， 则， ， 解得， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 8. 已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义求出，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论． 【详解】解：∵是关于x的方程的实数根， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴，即； ①， ∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确； ②∵， ∴当时，一定有，故②说法错误； ③∵是关于x的方程的实数根．且， ∴也是关于x的方程的实数根．故③说法正确； ④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误； 所以，正确的结论是①③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：5． 10. 如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 11. 某生物兴趣小组中每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，已知全组共赠送了210件标本，设该生物兴趣小组共有名同学，则根据题意，可列方程为________________． 【答案】（其他形式正确也可） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．设小组有名同学，则每位同学向其他成员赠送件标本，总赠送标本数为与的乘积，据此列出方程． 【详解】解：由题意，每位同学赠送的标本数量为件，小组共有名同学， ∴总赠送标本数为件， ∵总赠送标本数为210件， ∴可列方程为． 故答案为：． 12. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出表格展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 13. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___． 【答案】﹣1或4 【解析】 【详解】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 14. 如图，在矩形中，连接，，点是边上的动点，过点作于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质及三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】解：在矩形中，，，垂足为， 如图，延长，使得，连接，， ，，， 平分， ∵， ， ， ∴点在定直线上， 是的中点， 是三角形的中位线， ， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 因式分解得， ∴，， ∴，． 16. 在一个不透明的布袋中，有红球、白球共40个，这些小球除颜色不同外其他完全相同，摇匀后，从布袋中随机摸出一个小球并记录颜色，记为一次试验，通过多次重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，估计布袋中白球的个数． 【答案】30个 【解析】 【分析】本题考查了频数、频率与数据总数的关系，掌握这一关系是关键；根据频数、频率与数据总数三者的关系即可求解． 【详解】解：（个） ∴估计布袋中白球的个数为：（个）． 17. 如图，四边形，都是正方形，点，分别在，上，连接，过点作交于点．若，，试求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定；根据正方形的性质得到各边的数量关系和位置关系是解题的关键．已知和的长，根据图中的隐含条件可以求出；根据正方形的性质并结合已知条件易得四边形是平行四边形，于是有；再根据四边形和四边形都是正方形推出多组相等的边，则有，进而得到的长． 【详解】解：，， ． 四边形，四边形都是正方形， ． ，， 四边形平行四边形， ． 四边形，四边形都是正方形， ，， ， ． 18. 如图，在中，，点在边上，连接，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，连接，作交于点，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等边对等角，相似三角形的判定，根据题意作，结合，即可证明． 【详解】 又∵， ∴， 又， ∴． 19. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 【答案】 ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 20. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】3.6m． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质得，，再说明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案． 【详解】解：由题易得：四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：木杆的高度为． 21. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 22. 如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形，， ， ， ． （2）10 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是正方形， ． 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 23. 如图，在四边形中，，，对角线相交于点，过点作于点，延长交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，进而得到，再由两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，结合题中，即可判定四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形，则，再由相似三角形的判定定理得到，得到相似比，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是矩形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟记矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 24. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】任务1：20%；任务2：4条． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． （1）根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； （2）根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务1：设第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为20%； 任务2：设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度． 根据题意得：， 解得：（舍） 答：应该再增加4条生产线． 25. 【问题探究】 （1）如图1，点是正方形的边上一点，连接交于点，与的延长线交于点．若，，求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，是一片商业区，中线将分为两部分．其中区域为零售购物区，区域为休闲娱乐区，长廊横跨两个功能区，点在上，交于点，为更好服务于大众，现计划扩建区域为餐饮美食区，根据规划，，点在的延长线上，，商业区外面的广场上有三条步道，顾客可以通过三条步道根据自己的需求快速进入目标区域，点在的延长线上，请帮助工作人员探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）12； （2）解：，理由如下： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴，即，（负值已舍） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质，构造相似三角形． （1）根据正方形的性质，得到，进而得到，推出，据此求解即可； （2）同法利用相似三角形的判定和性质得到，推出，证明，得到即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $