精品解析：四川省成都市玉林中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

2025—2026学年度（上期）成都玉林中学第二次学业水平质量监测九年级数学学科 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一 、选择题（每题4分，共32分） 1. cos30°=（ ） A. B. C. D. 2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 矩形的对角线互相垂直 5. 在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ） A. 3 B. 12 C. 18 D. 27 6. 如图，与位似，点O为位似中心，且B为的中点，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰三角形，底边，高，正方形，使其一边在边上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 若，则＝_______． 10. 已知是方程的一个根，则的值是________． 11. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为_____． 12. 如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则_____． 13. 如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交圆弧于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为________． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：（篮球），（羽毛球），（乒乓球），（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． （1）本次统计的总份数为_____份，补全条形统计图； （2）扇形统计图中类所对应的圆心角度数为_____°； （3）本次调查比较喜爱的球类运动（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 17. 如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 18. 如图，在中，，，D为边上一点，连接，过点C作交于点E，交于点F，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_________． 20. 已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝_____． 21. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，且两个根的平方和为7，则______． 22. 如果三角形的两个内角∠α与∠β满足，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在中，已知，，，点D在边上，连接．如果为“准互余三角形”，那么线段的长为___________． 23. 如图，在菱形中，，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则__________． 二、解答题（共30分） 24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交y轴、x轴于点A和点B，点在x轴上，点D在y轴正半轴上，使得，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点E为直线上一点，直线与直线交于点F，若，求点E的坐标； （3）若点P、Q分别是直线和直线上的点，满足，且使得与相似，请求出点P的坐标． 26. 如图1，在矩形中，点E为射线上一点，点B关于直线的对称点为点F，射线交直线于点M． （1）已知，． ①如图2，若点C与点M重合，求的长； ②若，求的长； （2）延长交直线于点N，连接，当为直角三角形，（）时，求的值．（用含m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上期）成都玉林中学第二次学业水平质量监测九年级数学学科 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一 、选择题（每题4分，共32分） 1. cos30°=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可. 【详解】 故选C. 【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成. 2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得到答案． 【详解】解：从上面看得到的是， 故选：D． 3. 已知，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 矩形的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形、平行四边形的判定以及矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法错误，不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，说法正确，符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C说法错误，不符合题意； D、矩形的对角线相等，故D说法错误，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形的判定以及矩形的性质，掌握菱形、平行四边形的判定定理以及矩形的性质是解题关键． 5. 在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ） A. 3 B. 12 C. 18 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】设黑球个数为，根据概率公式可知白球个数除以总球数等于摸到白球的概率，建立方程求解即可. 【详解】设黑球个数为，由题意得 解得： 故选C. 【点睛】本题考查根据概率求数量，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键. 6. 如图，与位似，点O为位似中心，且B为的中点，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由位似比可推出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可选择． 【详解】解：与位似， ， B为的中点， ， 与的位似比为， 与的相似比为， 与的周长比为． 故选B． 【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，掌握位似图形的位似比等于相似比、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 7. 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 8. 如图，等腰三角形，底边，高，正方形，使其一边在边上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应高的比等于对应边的比是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴ 设正方形的边长为x， 则， ∵， ∴， ∴即，解得：， ∴这个正方形的边长为． 故选：C． 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 若，则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，根据已知比例关系，利用分式运算性质，将所求表达式进行化简． 【详解】解：由，可得． 则． 故答案为：． 10. 已知是方程的一个根，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：4． 11. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可判断△ABC与△GEC相似，且面积比为2:1，根据相似三角形的性质可知BC与EC的比，已知BC=2，可算出EC，最终算出BE的长，即得到△ABC平移的距离． 【详解】 解：∵根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， ∴AB∥EG，故△ABC∽△GEC， 又∵ △ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半， ∴,故BC∶EC=， ∵BC=2， ∴EC=， ∴△ABC平移的距离为BE=BC－EC=2－， 故答案为2－． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相似三角形的判定和性质、平移的性质是解答本题的关键． 12. 如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交圆弧于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 连接，，证明，得到，得到，列出比例式计算即可． 【详解】解：连接，， 在与中， 由题意，可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的实数运算，涉及二次根式的运算、负整数幂的运算，熟练掌握相关运算法则并正确运算是解答的关键． （1）利用二次根式的性质、负整数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别求解即可； （2）原方程化为，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：将方程化为， ， 或， 解得：． 15. 2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：（篮球），（羽毛球），（乒乓球），（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． （1）本次统计的总份数为_____份，补全条形统计图； （2）扇形统计图中类所对应的圆心角度数为_____°； （3）本次调查比较喜爱的球类运动（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1）； 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的份数除以扇形统计图中的百分比可得本次统计的总份数；用本次统计的总份数分别减去，，类的份数，可得条形统计图中类的份数，补全条形统计图即可； （2）用乘以类的份数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名性别相同的学生的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【小问1详解】 解：本次统计的总份数为（份）； 条形统计图中类为（份）； 【小问2详解】 解：扇形统计图中类所对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图为： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中两名性别相同的学生结果数为， 所以恰好抽到两名性别相同的学生的概率为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、位似图形的绘制以及相似比的计算，熟练掌握轴对称的坐标特征、位似的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、的坐标，再连接三点得到三角形． （2）根据位似中心和点的坐标，确定位似比，进而求出、的坐标，再连接三点得到三角形． （3）通过对应点的坐标求出相似比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可得，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 17. 如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 【答案】（1）1.5米 （2）12米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． （1）证明，利用对应边成比例可得长； （2）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； ∴王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴路灯A的高度为12米． 18. 如图，在中，，，D为边上一点，连接，过点C作交于点E，交于点F，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴， 又， ， ， ， ， ∴． （2） 证明：中，， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）由推得，结合即可证明，再根据相似三角形的性质证明即可； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）、（2）得：， ， ， 即， ， ， ， 中，， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】49 【解析】 【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：49． 【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 20. 已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝_____． 【答案】﹣1或3﹣ 【解析】 【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】点C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC时，ACAB1；当AC＜BC时，AC=ABAB=3． 故答案为1或3． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 21. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，且两个根的平方和为7，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，根据一元二次方程根与系数之间的关系，结合两个根的平方和为7，得到关于的一元二次方程，求出的值，再根据方程有实数根，选择合适的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴或， 当时，原方程化为：，，满足题意； 当时，原方程化为：，，不满足题意； ∴； 故答案为：． 22. 如果三角形的两个内角∠α与∠β满足，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在中，已知，，，点D在边上，连接．如果为“准互余三角形”，那么线段的长为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】作于M．设．分两种情形：当时；当时，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【详解】解：过点D作于M．设． 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得． 即； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 23. 如图，在菱形中，，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，由菱形的性质及，可证，进而可得，设菱形的边长，，则，，由旋转可知：，，进而可证得，得，，易知，可得，则，再证，可得，进而得，在中，，则，据此可得，整理得，可得，，即可求解． 【详解】解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于， ∵四边形是菱形，， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，则， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， 则， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ， 在中，，则 即：， 整理得：， 即：，亦即， 则，（舍去） ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造与，再利用勾股定理及相似三角形的性质建立等式是解决问题的关键． 二、解答题（共30分） 24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是； （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交y轴、x轴于点A和点B，点在x轴上，点D在y轴正半轴上，使得，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点E为直线上一点，直线与直线交于点F，若，求点E的坐标； （3）若点P、Q分别是直线和直线上的点，满足，且使得与相似，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点P坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出点A，B的坐标，并得到，的长度，利用相似三角形的判定得出，进而得到点D的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式； （2）根据分情况讨论线段关系： ①当点E在A，B之间时，点F也在B，D之间，过点F作交于点H，过点E作交于点G，根据已知条件得出的比值，利用相似三角形的判定得出，从而得出，设点E坐标为，点F坐标为，得出相关线段的表达式，利用解二元一次方程组得出a，b的值，从而求得点E的坐标； ②当点E在直线之外时，点F也在直线之外，过点F作交于点H，过点E作交于点G，同理得出的比值，证明出，从而得到，设点E坐标为，点F坐标为，得出相关线段的表达式，利用解二元一次方程组得出a，b的值，从而求得点E的坐标； （3）先根据已知条件利用勾股定理求出，，的长度，再利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意需满足或或或，此时分情况讨论： ①当时，作，过点Q作交于点P，此时，点Q与点C重合，同时满足，过点P作，证明，从而求得此时点P的坐标； ②当或时，过点B作交直线于点Q，作，，设直线与y轴的交点为E，证明出，得到，进而利用勾股定理求得点E的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线求得点Q的坐标，通过勾股定理求出的长度，结合相似三角形的线段比，设点P坐标为，求出长度的表达式，列出方程解出n的值，此时点，的坐标即可求得； ③当时，在延长线上取一点Q作，过点Q作交延长线于点P，与y轴交点E，再过点P作轴交y轴于点F，先证得，得出，设点P坐标为，求出，的表达式，再证明，继而求得，的表达式，从而求出点E的坐标表达式，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求得点Q的坐标表达式，结合的长度表达式利用勾股定理列出关于n的方程，并解得n的值，点P坐标即可求出． 【小问1详解】 解：∵直线交x、y轴于B、A两点， 当时，，解得， ∴点B坐标为，即， 当时，， ∴点A坐标为，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点D坐标为， 设直线解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴需分类讨论，的情况： ①当点E在A，B之间时，点F也在B，D之间， 如图，过点F作交于点H，过点E作交于点G， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点C为， ∴， 设点E坐标为，点F坐标为， ∴，，，， ∴， ∴，解得， ∴点E坐标为； ②当点E在直线之外时，点F也在直线之外， 如图，过点F作交于点H，过点E作交于点G， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点C为， ∴， 设点E坐标为，点F坐标为， ∴，，，， ∴， ∴，解得， ∴点E坐标为， 综上所述，点E的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 在中，， 又∵， ∴， 在中，， ∵， ∴为直角三角形，即， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵，且， ∴或或或， ①当时， 如图，作，过点Q作交于点P， 此时，点Q与点C重合，同时满足， ∴，， 过点P作， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴点P坐标为； ②当或时， 如图，过点B作交直线于点Q，作，， 设直线与y轴的交点为E， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴由线段垂直平分线的性质可知，，与关于点B对称， ∴， 设点P坐标为， ∴， ∴，解得或， 当时，，当时，， ∴为，为； ③当时， 如图，在延长线上取一点Q作，过点Q作交延长线于点P，与y轴交点E，再过点P作轴交y轴于点F， ∵，， ∴， ∴， 设点P为， 由②可知，，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得，解得， ∴点Q坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得，（和情况①重复，舍去）， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用及一次函数与几何综合． 26. 如图1，在矩形中，点E为射线上一点，点B关于直线的对称点为点F，射线交直线于点M． （1）已知，． ①如图2，若点C与点M重合，求的长； ②若，求的长； （2）延长交直线于点N，连接，当为直角三角形，（）时，求的值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①，②4或5 （2）或 【解析】 【分析】1）①设长度为x，根据对称，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解； ②当点E在点C左侧时，通过条件，可证四边形是正方形，则M点和D点重合，即可求解；当点E在点C右侧时，先证是等腰三角形，通过勾股定理列方程求出的长度，再证，用边的比例关系即可求解． （2）当时，点M和点C重合，通过设元，再利用勾股定理列方程，把用含m的式子表示出来，即可求解；当时，先证是等腰三角形，得到，在通过全等得到，即可求解． 【小问1详解】 解：①设长度为x， 四边形是矩形， ， 又，， 由勾股定理， 由对称可知， ， 则， 解得， 故的长为． ②当点E在点C左侧时， ， ， 如图， ，即是等腰直角三角形 ， ， 四边形是正方形， 此时，M点和D点重合，可得； 当点E在点C右侧时， ， ， 如图，与相交于点N， 四边形是矩形， ， ， 根据对称可知， ， ， 设长度为y，则， 根据勾股定理可知，解得，即长度为， ， ， ， ． 综上所述，的长为4或5． 【小问2详解】 ， ， 点E为射线上，点M、N在直线上， 当时，点M和点C重合， 如图， 四边形是矩形， ， ， 根据对称可知， ， ， 设长度为t，长度为1， 则， ， 解得， ； 当时，如图， 四边形是矩形， ， ， 根据对称可知， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或者． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $