精品解析：黑龙江省绥化市明水县明水县第二中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

明水县第二中学2025—2026学年度第一学期 九年级数学月考试卷 一、单选题（30分） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 若，且与的相似比为，则为（ ） A B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 函数图象关于轴对称 C. 其图象位于第二、第四象限 D. 当时，随的增大而减小 5. 在一次文艺汇演中，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名同学担任主持人，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，， 直线 与 分别相交于 和 ． 若 ， ， 则 的长为（ ） A. B. C. 14 D. 7. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 若是反比例函数y＝图象上的点，且，则的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 正比例函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 二．填空题（30分） 11. 若是反比例函数，那么的值是_____． 12. 小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为______． 13. 小勇的身高是，他的影长为，若同一时刻测得古塔的影长是；则古塔的高度是______m． 14. 如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为______． 15. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.16米，则王老师镜片的度数为______度． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，．请根据图象写出不等式的解集 _____． 17. 图，在中，，平分交于点，则的面积与的面积之比为__________． 18. 如图，点分别在的边、上，且，，，若使与相似，则的长为______． 19. 已知：如图，在中，，，垂足是，，．则______． 20. 如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ______． 三、解答题（60分） 21. （用树状图）有两个白球、一个红球，三个球除颜色不同外其他都相同，从中摸出一球，放回后搅匀再摸出一个，问： （1）两次都摸出白球概率是多少？ （2）两次摸出一红一白的概率是多少？ 22. 已知是正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 23. 已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）． （1）求值和一次函数的解析式； （2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集． 25. 国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图； （2）若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____； （3）旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 26. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题： （1）当t为何值时，PQ∥BO； （2）设△AQP的面积为S， ①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标． 27. 如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图②中等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明水县第二中学2025—2026学年度第一学期 九年级数学月考试卷 一、单选题（30分） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数．需逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：选项A：，符合的形式，其中，是反比例函数，故本选项符合题意． 选项B：，可化简为，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，故本选项不符合题意． 选项C：，是正比例函数，不符合反比例函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，分母为，而非单独，属于分式函数，但不是标准形式的反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A 2. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意； C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，随机事件，不符合题意； 故选：C． 3. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是对相似三角形知识的考查，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵，且与的相似比为， ∴与的边之比为， ∴与的面积比是， 故选：B． 4. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 函数图象关于轴对称 C. 其图象位于第二、第四象限 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的图象和性质进行分析得出答案． 详解】解：反比例函数，当时，， A、图象经过点，故该选项不正确，不符合题意； B、函数图象关于原点对称，故该选项不正确，不符合题意； C、图象位于第一、第三象限，故该选项不正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 在一次文艺汇演中，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名同学担任主持人，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法和树状图法的不同应用场合是解题的关键．利用列表法或者树状图法分析出所有等可能的结果数及所求的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种， 则甲、乙两名同学同时被选中的概率， 故选：A． 6. 如图，， 直线 与 分别相交于 和 ． 若 ， ， 则 的长为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，因为 ，则可求，进而题目可解． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴ ∴， ． 故选：C． 7. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由轴于点，，则有，再结合反比例函数的图象在第二象限即可求出的值，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 8. 若是反比例函数y＝图象上的点，且，则的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数y＝的比例系数+1＞0，判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数y＝的比例系数+1＞0， ∴该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，y随x的增大而减小．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系． 9. 正比例函数与反比例函数在同一直角坐标系内大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是熟练掌握相关函数图象． 根据值不同，正比例函数图象、反比例函数图象经过的象限不同对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图象中正比例函数经过一、三象限， ，则，此时反比例函数图象应经过二、四象限，跟图象不符，选项错误； 选项，该图象中正比例函数经过二、四象限， ，则，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象不符，选项错误； 选项，该图象中正比例函数经过二、四象限， ，则，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象相符，选项正确； 选项，该图象中不存在正比例函数，不符合题意，选项错误． 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二．填空题（30分） 11. 若是反比例函数，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； 故答案为：． 12. 小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是掌握概率公式． 直接根据概率公式求解． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， ∴当他抛第次时，正面朝上的概率为， 故答案为：． 13. 小勇的身高是，他的影长为，若同一时刻测得古塔的影长是；则古塔的高度是______m． 【答案】12.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟悉掌握比值关系是解题的关键． 设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质列式运算即可． 【详解】解：设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键. 【详解】解：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 梯形的面积为． 故答案为：9． 15. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.16米，则王老师镜片的度数为______度． 【答案】625 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值，反比例函数的应用， 首先求出反比例函数解析式，然后把代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴反比例函数解析式为 把代入，得度． 故答案为：625． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，．请根据图象写出不等式的解集 _____． 【答案】和 【解析】 【分析】从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，从而求解． 【详解】解：从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为和． 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象所给条件应用反比例函数与一次函数的交点问题进行求解是解决本题的关键． 17. 图，在中，，平分交于点，则的面积与的面积之比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积与的面积之比为． 故答案为：． 18. 如图，点分别在的边、上，且，，，若使与相似，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是在于分类讨论对应角的两种情况．分两种情况进行讨论：①对应，②对应，再利用相似三角形对应边成比例，列比例式求解． 【详解】解：①若对应时， ，即， 解得，； ②当对应时，，即， 解得，， 故答案为：或． 19. 已知：如图，在中，，，垂足是，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据勾股定理可求出的长，由，，可证明，即可证明，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 20. 如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数，掌握相关知识是解决问题的关键．因为点坐标为，点为中点，根据矩形的性质，可得点坐标，则反比例函数解析式可求，进而求出点坐标，由勾股定理可求的长度． 【详解】解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点， ，点的纵坐标是4， 将点坐标代入，得， 反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（60分） 21. （用树状图）有两个白球、一个红球，三个球除颜色不同外其他都相同，从中摸出一球，放回后搅匀再摸出一个，问： （1）两次都摸出白球的概率是多少？ （2）两次摸出一红一白的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）通过画树状图罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解； （2）结合（1）中树状图，找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：画树状图如下： ∴共有9种可能结果，其中两次都摸出白球的结果有4种， ∴两次都摸出白球的概率为； 【小问2详解】 解：由（1）知：共有9种可能结果，其中两次摸出一红一白的结果有4种， ∴两次摸出一红一白的概率为． 22. 已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 23. 已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）． （1）求的值和一次函数的解析式； （2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集． 【答案】（1）m=2，y=x-1；（2）x＞2． 【解析】 【分析】（1）将B的坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，将A和B的坐标分别代入一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解集得到k与b的值，确定出一次函数解析式； （2）由B的横坐标为2，将x轴正半轴分为两部分，找出一次函数在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求不等式的解集． 【详解】解：（1）把点B（2，1）代入y＝，得1＝， ∴m＝2． 把A（1，0）和B（2，1）代入y＝，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为y＝． （2）x＞2． 25. 国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图； （2）若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____； （3）旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 【答案】（1）600人，统计图见解析 （2）3200人 （3） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图． （1）由景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，然后求得的人数，补全统计图即可； （2）由某批次游客的人数乘以景点所占的百分比即可； （3）列表，共有20种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则B景点的人数为：（人）， ∴C景点的人数为：（人）， 故答案为：600人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人） 故答案为：3200人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3 女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2 那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为． 26. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题： （1）当t为何值时，PQ∥BO； （2）设△AQP的面积为S， ①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标． 【答案】（1）当t=秒时，PQ∥BO（2）①S=（0＜t＜），5②（，﹣3） 【解析】 【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值． （2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值． ②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解． 【详解】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8． ∴． 如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t． ∵PQ∥BO，∴，即，解得t=． ∴当t=秒时，PQ∥BO． （2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10． ①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D， 则PD∥BO． ∴△APD∽△ABO． ∴，即，解得PD=6﹣t． ∴． ∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）． ∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）． ②如图②所示，当S取最大值时，t=， ∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO． 又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4．∴P（4，3）． 又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）． 依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）． ∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）． 27. 如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）PM=kPN；理由见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN． 【详解】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD， ∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， ∴PM=BD，PN=AE， ∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN； （2）成立， 证明：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°． ∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PM//BD； PN=AE，PN//AE． ∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE． ∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $