精品解析：广东省深圳市南山区第二外国语学校(集团)同泽学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

深圳市南山区第二外国语学校（集团）同泽学校中学部 2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （卷面总分：100分考试时长：90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点在轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 8. 如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点作交于点，则（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若一个正方体的体积为64，则它的棱长为______． 10. 已知点与点关于x轴对称，那么的值为_____． 11. 若是一个二元一次方程，那么的值是___________． 12. 如图所示，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，每本课本厚度相同：若有一摞课本的顶部距离地面的高度为，那么这摞课本有___________本． 13. 如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4）求解二元一次方程组： ① ② 15. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）作出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）直接写出边上的高：___________． 16. 如图，在中， ，点D是外一点，连接，且． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 17. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是___________；化简___________； （2）比较与的大小，并说明理由． 18. 在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． （1）从地到地的距离为______； （2）求出段的函数表达式： （3）求小明距地时所用的时间． 19. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． _______ 2 0 ________ ．．． ①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象： ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________． 20. 【建立模型】 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 （1）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（）的条件下，求直线的表达式； （3）如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山区第二外国语学校（集团）同泽学校中学部 2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （卷面总分：100分考试时长：90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可． 【详解】解：3.14为有限小数，不是无理数，故A不符合题意； 是分数，不是无理数，故B不符合题意； 是无理数，故C符合题意； ，为整数，不是无理数，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的概念．解题的关键是掌握无理数的概念，注意初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算结果错误； B、，故本选项的计算结果错误； C、与的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算结果错误； D、，故本选项的计算结果正确． 故选：D 4. 点在轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．轴上的点纵坐标为0，据此解答即可． 【详解】解：点在轴上， 则， ， ． 故选：D． 5. 已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数，函数值随自变量的增大而增大，可以得到，再根据图像可以得到，即可得出，然后根据正比例函数的性质，即可得到函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：一次函数，函数值随自变量的增大而增大， ， 交y轴负半轴， ， ∴ 函数的图象经过二、四象限， 故选：B． 6. 如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论点M在上、半圆上、以及上时，y随x的变化情况即可． 【详解】解：由题意：当点M在上时，y随x的增大而增大； 当点M在半圆上时，y不变，等于半径； 当点M在上时，y随x的增大而减小． ∴选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，准确分析出各部分情况下y随x的变化情况是解题关键． 7. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质、求算术平方根，根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】∵， 且， ∴， ， ∴， . 故选：B. 8. 如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点作交于点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，属于基础题，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．根据题意，可知通过求出的长，已知正方形的面积，可求出边长的长，由勾股定理求得的长，利用面积法求出的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 以为边在外作正方形，其面积为，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4， ∴ ∴， ∴ ∵ ， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若一个正方体的体积为64，则它的棱长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：∵正方体的体积为64， ∴它的棱长为：， 故答案为：4． 10. 已知点与点关于x轴对称，那么的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于轴对称点的特征分析得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的特征，正确掌握横、纵坐标的关系是解题关键． 11. 若是一个二元一次方程，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须为1，且y的系数不能为零． 【详解】解：∵是一个二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 12. 如图所示，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，每本课本厚度相同：若有一摞课本的顶部距离地面的高度为，那么这摞课本有___________本． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，这摞课本有x本，根据题意可求出一本课本的高度为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：这摞课本有x本， 由题意得，， 解得， ∴这摞课本有20本， 故答案为：20． 13. 如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠，点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、勾股定理，学会利用勾股定理表示线段长度是解题的关键．利用直线求出点和的坐标，得到的长，再由翻折性质得到，推出，设，用表示出的长，最后在中利用勾股定理列方程求解的值即可解答． 【详解】解：代入到得，，即， 代入到得，， 解得：，即， ，， 在中，， 由翻折性质得，， ，， ， ， 设，则，， ， 在中，， 即， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4）求解二元一次方程组： ① ② 【答案】（1） （2）5 （3） （4）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组． （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先计算乘法和立方根，再化简二次根式，最后计算加法即可； （3）先计算平方差公式、二次根式的除法，再化简二次根式，最后计算减法即可； （4）①根据代入消元法求解即可； ②根据加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 ①解： 由①可得：③ 将③代入②得： 将代入③得： 原方程组的解为：． ②解： 解：得： 将代入①得： 解得： 原方程组的解为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）作出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）直接写出边上的高：___________． 【答案】（1） 如图，即为所作，顶点的坐标分别为； （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，分割法求面积，勾股定理等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据轴对称图象的性质作图即可； （2）运用分割法计算即可； （3）运用勾股定理得到，结合（2）中的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 的面积为7． 【小问3详解】 解：根据题意，，设边上的高为， ∴， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，在中， ，点D是外一点，连接，且． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出的长； （2）由，，的长，可得出，进而可证出是直角三角形且，利用三角形的面积公式可求出及的值，将其代入中即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵，，∴． 由（1）知， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 由（1）知在中，，，， ∴． ∴． 17. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是___________；化简___________； （2）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ， ， ， ， 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 18. 在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． （1）从地到地的距离为______； （2）求出段的函数表达式： （3）求小明距地时所用的时间． 【答案】（1）1500 （2）段的函数表达式为； （3）小明距地时所用的时间为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出从地到地的距离； （2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从地到地用的时间，从而可以写出点的坐标，再根据点的坐标，即可得到段的函数表达式； （3）令（2）中的值为750，求出相应的的值，即可得到小明距地时所用的时间． 【小问1详解】 解：由图象可得， 从地到地的距离为：， 故答案为：1500； 【小问2详解】 解：由图象可得， 小明的跑步速度为：， 小明从地到地用的时间为：， 点的坐标为， 设段的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段的函数表达式为； 【小问3详解】 解：令，， 解得， 即小明距地时所用的时间为． 19. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． _______ 2 0 ________ ．．． ①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象： ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________． 【答案】（1）； （2）①补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②或； （3）或者 【解析】 【分析】此题是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式． （1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据图象即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点， ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或； （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 轴右侧部分与有交点时：当经过时，，此时有一个交点； 当经过时，，此时有两个交点； 即； 当伴随函数顶点经过时，； 综上所述，伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 20. 【建立模型】 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 （1）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（）的条件下，求直线的表达式； （3）如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （）由待定系数法可求解； （）由 “”可证 ，可得，，即可求解； 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； 【小问2详解】 设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； 【小问3详解】 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $