精品解析：山东省泰安英雄山中学2025-2026学年高一上学期第三次学情调研数学试题

泰安英雄山中学2025级高一上学期第三次学情调研 数学试题 全卷满分150分 考试用时120分钟 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合，再应用交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：B. 2. 已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合函数单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为当时，，所以函数在上单调递增； 又函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称，在上单调递减. 所以. 故选：A 3. 函数的单调性为（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 在上单调递减，在上单调递增 C. 在上单调递增，在上单调递减 D. 在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的定义域为，结合二次函数的单调性与复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，则满足， 即，解得，即函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，且对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为在定义域上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 4. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为偶函数，图象关于y轴对称，可得其单调性，且，根据示意图，结合或，分析即可得答案. 【详解】因为为偶函数，图象关于y轴对称，且在区间上单调递减， 所以在上单调递增，且， 由，得或， 示意图如下 所以或，即解集为. 故选：D 5. 已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 6. 已知函数，若在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】由题意，函数在上单调递减， 则. 故选：D 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是构造函数法，先结合函数单调性来推导变量关系，再利用指数函数、对数函数的性质判断选项即可. 【详解】因为，即：， 设，因为是上的增函数，是上的减函数， 则是增函数，所以在上单调递增， 由，结合单调性可得：，即； 选项AB： 由，得， 因为在时函数值大于0，故A正确，B错误； 选项C： 由，但不一定大于1（比如时，），故C错误； 选项D： 由，是增函数，故，故D错误. 故选： A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为5 B. 若，，则 C. 若为实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，可得判定A错误；根据作差比较法，可判定B错误；根据不等式的基本性质和充分、必要条件的判定方法，可判定C正确；根据不等式的基本性质，可判定D错误. 【详解】对于A，当时，， 当且仅当时，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数无最小值，所以A错误； 对于B，由， 因为，且，可得， 当时，，此时； 当时，，此时，所以B错误； 对于C，由，当时，可得；当时，可得，所以充分性不成立； 反之：由，当时，可得；当时，可得，所以必要性不成立， 所以若为实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C正确； 对于D，由若，可得， 所以，即，所以D错误. 故选：ABD. 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 是R上的增函数 C. 是偶函数 D. 存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断AC；根据图象判断BD. 【详解】当时，， 则当时，，则， 因是奇函数，则，故A错误； ， 则的图象如图： 故B正确； ，故是偶函数，故C正确； 画出的图象如图： 故D错误. 故选：BC 10. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ） A. B. ，且，恒有 C. 对，恒有成立的必要不充分条件是 D. 函数在上的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数，可得m值，利用定义检验，即可判断A的正误；利用定义法，按照取值、作差、整理、定号、得结论步骤，可得的单调性，即可判断B的正误；根据的单调性，结合不等式的性质，可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，可判断C的正误；根据x的范围，可得的范围，结合不等式的性质，分析整理，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为为奇函数，且， 所以，解得， 此时， 则，满足题意，故A正确； 选项B：因为，任取，且， 则， 因为在上单调递增，且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增， 则当时，，当时，， 所以，且，恒有，故B正确； 选项C：因为在上单调递增，且， 所以，即，， 当时，不符合题意； 所以，解得， 因为是的必要不充分条件， 所以对，恒有成立的必要不充分条件是，故C正确； 选项D：由，得，则， 所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知，则用表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式及对数运算计算. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知函数（，且）恒过定点，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】令，可得，，由此可求，再求结论. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以. 故答案为： 13. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，因为或， 所以， 故； 【小问2详解】 由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 15. 已知函数 （1）若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； （2）试求在区间上的最大值 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性结合函数在区间上是单调函数求出实数的取值范围； （2）根据二次函数的性质，结合函数单调性对对称轴与区间位置关系分情况讨论得出． 【小问1详解】 图象开口向上，对称轴为，在区间上是单调函数， 或，即或， 实数m的取值范围为或． 【小问2详解】 ，函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，最大值为； 当，即时，在区间上单调递减，最大值为； 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，，故函数最大值为， 若，即时，，故函数最大值为， 综上所述，． 16. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【解析】 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【小问1详解】 由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. 【小问2详解】 当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 17. 已知函数，，且. （1）证明：是奇函数； （2）解不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再结合奇函数定义即可求解； （2）确定函数单调性，再结合奇偶性，去求解不等式. 【小问1详解】 由， ， 得，又， 解得， 即，由可得， 即函数定义域为， 又， 即是奇函数； 【小问2详解】 因为的定义域为， 设，则， 因为在单调递减，在单调递增， 故在单调递减. 因为为奇函数且在单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数a的取值范围； （3）是否存在正实数k，使得在上的取值范围是？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上单调递增，证明见详解. （2） （3）存在实数满足题意，且. 【解析】 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立，通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【小问1详解】 在上单调递增，理由如下； 任取，且， 那么 ， ，，可得，又， ，即， 在上单调递增. 【小问2详解】 ， ， ， 由（1）可知在上单调递增，， ，即对恒成立， 令，，只需， 令，则，， 在上单调递增， 当时，， . 【小问3详解】 由（1）可知在上单调递增， ， 为方程的两个实数根，即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， ，即，且，解得且， 存在实数满足题意，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安英雄山中学2025级高一上学期第三次学情调研 数学试题 全卷满分150分 考试用时120分钟 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调性为（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 在上单调递减，在上单调递增 C. 在上单调递增，在上单调递减 D. 在上单调递增，在上单调递减 4. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为5 B. 若，，则 C. 若为实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件 D. 若，，则 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 是R上的增函数 C. 是偶函数 D. 存在最大值 10. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ） A. B. ，且，恒有 C. 对，恒有成立的必要不充分条件是 D. 函数在上的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知，则用表示为______． 12. 已知函数（，且）恒过定点，则______. 13. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 15. 已知函数 （1）若在区间上是单调函数，求实数m的取值范围； （2）试求在区间上的最大值 16. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数，，且. （1）证明：是奇函数； （2）解不等式. 18. 已知函数. （1）判断的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若对，都有成立，求实数a的取值范围； （3）是否存在正实数k，使得在上的取值范围是？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $