精品解析：甘肃省张掖市第二中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性考试数学试卷

2025年秋学期12月阶段性考试 高二数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 直线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 不存在 3. 直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 已知数列满足，则（ ） A. 18 B. C. 45 D. 5. 直线：，：，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B. 直线过定点 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 11. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. ，曲线都不表示圆 B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆 C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线的焦距为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=______. 13. 已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为______. 14. 设，是双曲线的两个焦点，是上一点. 若，且的最小内角为，则的渐近线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 16. 已知的三个顶点分别是，，，为中点 （1）求中线和线段分别所在的直线方程； （2）求的面积. 17. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 18. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，证明：数列的前项和． 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1． （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期12月阶段性考试 高二数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求出的值. 【详解】由题意，， 在等差数列中，， ∴，解得：， 故选：A. 2. 直线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】结合方程的形式可判断倾斜角. 【详解】直线与垂直，故其倾斜角为. 故选：A. 3. 直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得求所围成三角形的面积. 【详解】令，则；令，则； 所以两坐标轴所围成三角形的面积为. 故选：D 4. 已知数列满足，则（ ） A. 18 B. C. 45 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、可得答案. 【详解】依题意，，所以，， . 故选：D. 5. 直线：，：，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义 【详解】当时，直线：，：，两直线倾斜角分别为和，； 当时，直线的斜率为，的斜率为9，，. 充分性成立， 直线：，：，若， 则有，解得或. 必要性成立. 所以“或”是“”的充要条件. 故选：C 6. 在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式列方程组求解即可. 【详解】由题意可知， 因为，， 所以，， 两式相除得，即， 因为，所以. 故选：B 7. 设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 8. 已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程求出，根据可得答案. 【详解】设，则，解得，即，， 因为，所以，可得， ，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的前项和求出通项，再逐项判断得解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 满足上式，因此， 对于A，，即，因此是递减数列，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，数列前4项都为正，从第5项起都为负， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：ABD 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B. 直线过定点 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以直线的斜率，截距. 故点在第二象限，所以A中说法错误. 由整理得. 所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确. 由点斜式方程可知， 过点且斜率为的直线的方程为. 所以C中说法正确. 由斜截式方程可知， 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为. 所以D中说法错误. 故选：BC 11. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. ，曲线都不表示圆 B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆 C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线的焦距为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由求解判断；D.由当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线求解判断. 【详解】解：若方程表示圆，则，无解， 所以，曲线都不表示圆，故A正确； 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，无解， 所以不存在m，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，无解， 所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； D. 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则，故曲线的焦距为定值，故D正确， 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k=______. 【答案】18 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，即， 由等差数列的性质可得，所以. 故答案为：18. 方法二：设等差数列的公差为. 由，得. 整理得. 因为，所以. 故答案为：18. 13. 已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据互相垂直直线之间的斜率关系，求出直线的斜率，由点斜式得出直线的方程，求截距即可. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 令，解得，所以直线在轴上的截距为. 方法二：由，得. 所以直线在轴上的截距为. 故答案为：. 14. 设，是双曲线的两个焦点，是上一点. 若，且的最小内角为，则的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设点在第一象限，由已知结合双曲线的定义可得，，.在中，由余弦定理整理可推得，进而得到，即可得出渐近线方程. 【详解】 不妨设点在第一象限，如图所示.则由双曲线的定义可知， 又，所以，，又， 所以的最小内角为. 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得， 所以，，. 所以的渐近线方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以． 即， 即，又，且，解得 所以． 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 即． 16. 已知的三个顶点分别是，，，为中点 （1）求中线和线段分别所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】(1)利用两点式直线方程即可求解； (2)利用点到直线的距离公式即可求面积. 【小问1详解】 由，，为中点，可得， 再由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 再由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 【小问2详解】 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为： ， 再由两点间的距离公式可得，两点间距离： ， 所以的面积为. 17. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 18. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，证明：数列的前项和． 【答案】（1） 证明：由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2） 证明：由（1），故， ， 故 ，即得证. 【解析】 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式，根据裂项相消求和证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1． （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值； 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）根据分析，可得到轨迹为抛物线，根据抛物线的定义写出方程即可； （2）分类讨论直线是否与y轴平行.当不平行时，设斜率为k，联立方程，根据韦达定理，表示出坐标关系，代入数量积公式即可. 【小问1详解】 依题意知，动点P到定点的距离等于P到直线的距离， 曲线C是以原点为顶点，为焦点的抛物线 ∵， ∴ ∴曲线C方程是 【小问2详解】 当l平行于y轴时，即斜率不存在时，其方程为， 由解得，，则可设， 此时 当l不平行于y轴时，设其斜率为k(k不为0)， 则由得 恒成立. 设，则有，， ∴． 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $