辽宁省沈阳市回民中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

沈阳市回民中学2027届高三上学期10月月考 数 学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，B，C满足，，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．9 7．已知函数，满足，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，则x，y，z的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得部分分，有选错得得0分． 9．已知a，，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知在中，，，，，点P为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，，，且M，N，D三点共线，则 11．已知数列满足（），且，为数列的前n项和，为数列的前n项积，则下列说法正确的是（ ） A．当时，数列是递减数列 B．存在，使得，，成等差数列 C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足，且，则的值为__________． 13．已知数列满足，，则数列的前n项和等于__________． 14．已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（13分）已知，，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求的值域； （3）若锐角，满足，，求． 16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且， （1）求的值； （2）若，且的面积为，求三角形的周长． 17．（15分）设函数， （1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该点坐标； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 18．（17分）记为等差数列的前n项和．已知且． （1）求的通项公式； （2）设函数，，求数列的前n项和． 19．（17分）已知是定义在I上的函数，若对任意，恒成立，则称为I上的非负函数． （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由； （2）已知n为正整数，（）为上的非负函数，记a的最大值为，证明：为等差数列； （3）已知且，函数（），若为上的非负函数，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $1-4 ABCA 5-8 ABDA 9.BCD 10.BC 11.AB n 12.513.n+114.元 2[2 66 15.(1)元 (3)65 解：(1)由题意 f(冈=m-i=2 2cO-君5sm2x+sin.xcos =3 cos2x+cosxsinx-3 sin2x+sin xcosx=3cos2x+sin 2x 2 所以函数f()的最小正周期T=元. 2)[-2,v3] 【详解】略 a 8 八26 =2sina= 4 sina= (3)因为 5,得 5. 3 osa= 又因为C是锐角，所以 图为，是角，所以+BE0 coS+B, 所以si加(a+A)- 13 f=a-月-q]-oaa+小aa+sna+p小sma=景号号号器. 则 t(2+8}-2sn0+}-2osA=2x2g 6565 cos A,cos B sin C 16.(1)因为ab cos A cos B sinC 所以由正弦定理得sin A sin B sin C, sin(4+B)=1 所以sin Asin B,即sinC=sin Asin B. 因为8eQ到nms& 2, sin B=v1-cosB=2 所 2 a-sinA-1。=2 所以c sinC sin B (2)因为3AD=2AB+AC 所以2AD-2AB=AC-AD,即2BD=DC, 3 AABC=亏S△ACD=2 所以 2 -a· 又 -gacsin B-1a.aa 22“224, a2 =2 所以4-，则a=2V2. 6=a2+c2ac8=a+2a2g.20 由余弦定理，得 222 b= 2 a=2 即 所以△ABC的周长为a+b+c=2+2V2+2=4+2√2， 17.(1)证明：因为 00 所以f'0=2a-2,又f0)=a-l, 所以曲线y=f()在点么f0》处的切线方程为：y-(a-)=2a-lx-), mp-2a--a+1,0=2a-- 装=o红0以a四装经 awa- 2,xe(0,+o∞). 当a<0时，f(x)<0,则f()在(0，+)上单调递减， 此时/（四）最多有一个零点，不满足题意： 1 x> 当a>0时，令f()>0,解得>a,令f()<0,解得 0<x< a, 上单调递减，在a )上单调递增， 所以 以=f日=a*a+(a-ng2=a-0-na） 当x→0时，f()→+0，当x→+0时，f(x→+0， 又因为()有两个零点。 m日-e-0-hok0.e-0g->0 解得0<a<1或a>e, 因此，a的取值范围为(0，U(e,+o) 18.1)设数列的公差为d,由S,=2S,+4可知 a+a+a,=2(a,+4)+a,则4，=3a, 又am=2a,+1,令n=1可得0，=2a+l 联立解得4=1,4，=3，则d=2 ∴.an=2n-1 2)当x≠-1，x≠0时，四)=+1++++…++) =+-0+产-1 (1+x)-1 当x=-1,x=0时，(=(1+”-1成立， 所以f(x)=(1+x)2”-1 f()=2n(+x刘，则f0=n2=n4,6=n4 Tn=1×4+2×42+3×43+…+n.4" 4T=1×42+2×43+…+n.4+ -3江=4+42++4-n-4n=4-1×4-4_-3m）小4-4 4-1 7=3n-4+4 19.(1)f()是(0，+o)上的非负函数.理由如下：因为f(=x-elnx,x>0,所以 7e-1三-当e09.r0.f)用装ee,0, f(x)单调递增， 则f()之f(e)=0,故f(x)是(0，+∞)上的非负函数. ah8-mhr>0,0.08间-n兰2 专o.0肉n与e只+.0sea x∈0, (x)≥g =a-alna 则 n a-alna≥0 因为8(0为(0，+0）上的非负函数，所以“ n，解得a≤en,则a=en. 因为0a,=e(n+)cn=e,所以a,}为等差数列 (3)由 因为n≥2且neN,所以由()>0得 lnn-”>0 。x>n x,解得nn, 面()<0，血m-名c0 0<x<n x,解得 Inn, 0、 n ,+00 所以h()在心血n)上单调递减，在血nT)上单调递增，故 .n 1 Inn 由F()为Q+o)上的负函致，符A()26）,则，n.6n o=b1.sl.e号0四a n树上tt.ne0o-0mr号树rt 令奇1d.1g,.从后 In-t1 <nah名-a-haa(a-sa-[a(a-l 故b。n ，当且仅当n=2时，等号成 立， <(h2-(a1+(仙3-(2y++血2025-（仙2024=(m2025y 所以之b