湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高一上学期数学周练4试卷

武汉市第六中学高一数学周练4 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．设命题，函数为奇函数，则： A．，函数为偶函数 B．，函数为偶函数 C．，函数不为奇函数 D．，函数不为奇函数 3．已知集合，，则（　 ） A． B． C． D． 4．函数的图象可能为（    ） A．    B．  C．    D．   5．已知函数有两个零点，，则有（ ） A． B． C． D． 6．函数，，则函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 7．已知定义在上的函数图象关于轴对称，记，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列四个条件中，能成为的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 11．设表示不超过的最大整数，如，，给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则可由解得的范围为 D．定义在上的奇函数的值域为则函数的值域为 三、填空题 12．对于实数，化简= . 13．已知函数，则函数的定义域为 . 14．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 四、解答题 15．函数是偶函数．(1)试确定的值及此时的函数解析式； (2)证明函数在区间上是减函数；(3)当时，求函数的值域． 16．已知，其中且． (1)判断的奇偶性并证明； (2)解不等式：． 17．设a＞0，函数． (1)若，求的反函数；(2)求函数的最大值（用a表示）； (3)设．若对任意，恒成立，求a的取值范围． 18．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数，的值：(2)试判断函数的单调性并用单调性的定义证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数．(1)若时，求函数的定义域； (2)若函数有唯一零点，求实数a的取值范围；(3)若对任意实数，对任意的、时，恒有成立，求正实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年12月11日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A C C C C BC ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据对数函数的概念和分式的意义计算即可. 【详解】由题意知，，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：C 2．D 【分析】利用的定义求解即可. 【详解】若命题，函数为奇函数， 则为，函数不为奇函数，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】由指数函数解出集合，再求交集即可. 【详解】由，解得，所以， 又，所以. 故选：C. 4．A 【分析】由函数的定义域可排除B，取特值可排除D，当趋近负无穷时，可排除C，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为，排除B； 当时，，排除D； 当趋近负无穷时，趋于正无穷，所以，排除C. 故选：A. 5．C 【分析】先将有两个零点转化为与有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在和内，即可得到和，然后两式相加即可求得的范围． 【详解】解：因为有两个零点，，即与有两个交点 由题意，分别画和的图象如下所示： 由图可知在和分别有一个交点，不妨设，， 那么在上有，即①，在有②， ①②相加有 ，即 故选：C． 6．C 【分析】先判断出为偶函数，排除A; 又，排除D;利用单调性判断B、C. 【详解】因为函数，，所以函数. 所以定义域为R. 因为，所以为偶函数.排除A; 又，排除D; 因为在为增函数，在为增函数，所以在为增函数.因为为偶函数，图像关于y轴对称，所以在为减函数.故B错误，C正确. 故选：C 7．C 【分析】由已知可得，进而得到为偶函数，根据函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为的图象关于轴对称，所以， 则，所以为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增， ，，， 因为，，所以，， 所以， 所以， 即. 故选：C. 8．C 【分析】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 9．BC 【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可. 【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合. 故选：BC 10．ACD 【分析】对于A，利用不等式的性质可判断，对于B，利用指数函数的单调性可得，但推不出可判断；对于C，利用不等式的性质可判断；对于D，利用对数函数的单调性可得，即可判断. 【详解】对于A，由可得，则有，故可得，即A正确； 对于B，由可得，但推不出，如，但得不到，故B错误； 对于C，由两边取平方，可得，故C正确； 对于D，由可得，即得，故必有成立，即D正确. 故选：ACD. 11．BCD 【解析】A. 取判断；B. 利用对数值和的含义求解判断；C.由，得到，再根据的含义求解判判断； D.分， ， ，再根据的含义求解判判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，，所以，故正确； C.当时，，，则，所以，解得，所以的范围为，故正确； D.因为定义在上的奇函数的值域为，所以的值域为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，当时，，则，所以，所以的值域为，故正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对的含义的理解，要分讨论求解应用. 12． 【分析】由根式与指数幂的关系化简即可. 【详解】. 故答案为： 13． 【解析】根据题意，求得的定义域，再求的定义域. 【详解】对于函数，， 即，解得. 对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数型复合函数定义域的求解，属基础题. 14． 【分析】根据对数型复合函数的单调性，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为在区间上单调递减， 而在上单调递增， 所以在区间上单调递减，且恒成立， 而开口向上，对称轴为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可. （2）利用函数单调性的定义法证明即可. （3）利用函数单调性即可求解. 【详解】（1）由函数是偶函数， 得，即， 解得．所以. （2）由（1）知，， 令，则，， 所以， 所以函数在区间上是减函数. （3）由（2）知，在上是减函数， 所以在上也是减函数， 则，所以． 即函数的值域为. 16．(1)奇函数，证明见解析 (2)当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数； （2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式. 【详解】（1）为奇函数．证明如下： 要使函数有意义，则有， ∴的定义域为，（注：不求定义域扣2分） ∵，∴为奇函数． （2），即， 当时，，即， 当时，，即， 综上：当时，解集为；当时，解集为． 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据反函数定义求解即可； （2）判断函数的单调性即可求解最大值； （3）令，利用均值不等式的性质分别在和两种情况下判断是否符合题意，进而求得a的范围. 【详解】（1）当时，，则有， 即，则0＜y＜1， 所以， 故的反函数 （2）因为＝， 设，易知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则当x＝0时，有最小值，最小值为2， 所以当x＝0时，有最大值，且. （3）＝， 令，又，a＞0，所以，且单调递增． 所以， 当时，在上单调递减，所以恒成立. 即对任意，恒成立，故符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以不恒成立. 即对任意，不恒成立，舍去. 综上，a的取值范围是． 18．(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义，列等式求解参数即可； （2）根据函数的解析式判定函数的单调性，再运用单调性的定义证明； （3）先运用函数的奇偶性和单调性化简不等式，再运用分离变量法转化不等式恒成立问题，结合函数的最值求解出参数的取值范围. 【详解】解：（1）由，解得． 由，得 经检验可知符合题意，所以， （2）在上单调递减．由（1）得： 证明：任取，且 ∵，∴，， ∴ ∴在上单调递减 （3）因为为奇函数且为减函数， 所以不等式等价于 ， 令，，下面求的最小值 令，则，当时取到的最小值为 ∴，∴． 即的取值范围是 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，解不等式即可得解； （2）将已知转化为有唯一零点，分类讨论和时两种情况研究方程的零点，即可得解； （3）函数为减函数，求得函数的最值，将问题转化为 ，即，构造函数，讨论二次函数的对称轴在区间的左，中，右三种情况即可得解. 【详解】（1）当时， 要使函数有意义，则，即，即，解得 所以函数的定义域为 （2）函数有唯一零点， 即①有唯一零点， 即有唯一零点， 当时，，解得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，其 当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意； 当时，，方程有两个不等的实数根，； 若为方程①的解，则，解得； 若为方程①的解，则，解得； 要使方程①有唯一实数解，则 综上，实数a的取值范围为 （3）函数，其中内部函数为减函数，外部函数为增函数， 由复合函数性质知为减函数， ， 不等式转化为， 即转化为 即 令，，即 二次函数对称轴为，由，开口向上 （1）当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符合题意，舍去； （2）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得，取交集得； （3）当时，，函数在上单调递增， ，解得，取交集； 综上，正实数a的取值范围 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $