期末复习07分式期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学分式期末复习讲义通过表格工具系统构建知识体系，涵盖分式的概念、有意义条件、基本性质等6大核心知识点，用对比表格呈现分式与整式、分数的关键区分及有意义条件等要点，按概念-性质-运算的逻辑顺序梳理知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+跟踪训练”的分层设计，如“分式值为0的条件”题型通过典例解析分子为0且分母不为0的双重要求，搭配跟踪训练强化推理意识，结合饮料瓶体积问题的约分运算题培养几何直观与运算能力，压轴题助力学生突破难点，支持教师实施精准教学和学生自主高效复习。

期末复习07分式期末冲刺必备讲义 期末必备 知识点梳理 1.分式的概念 2.分式有意义.无意义及值为0的条件 3.分式的基本性质 4.分式的约分与通分 5.分式的乘除法则 6.分式的乘方法则 常考题型 精讲精炼 1.分式有意义的判定条件 2.分式值为0的满足条件 3.分式变形的正确性判断 4.分式基本性质下的分式值变化分析 5.分式的约分运算 6.最简分式的定义与判定 7.最简公分母的确定方法 8.分式的乘法运算规则 9.分式的除法运算规则 10.分式的乘除混合运算方法 11.分式的乘方运算规则 12.含乘方的分式乘除混合运算技巧 期末备考 压轴通关 压轴题(10) 【知识点01.分式的概念】 1.定义：如果 A、B 表示两个整式，且 B 中含有字母（B≠0），那么式子BA​叫做分式，A 是分子，B 是分母。 2.关键区分： 与整式：整式分母不含字母，分式分母含字母（π 是常数，不算字母）。 与分数：分数分子分母是整数，分式是整式且分母含字母。 3.注意：判断是否为分式看原始形式，而非化简后结果。 【知识点02.分式有意义.无意义及值为0的条件】 条件类型 具体要求 分式有意义 分母 B≠0（解不等式求字母取值范围） 分式无意义 分母 B=0（解方程求字母取值） 分式值为 0 分子 A=0 且分母 B≠0（两者需同时满足） 【知识点03.分式的基本性质】 1. 性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即 =​，（C 是不等于 0 的整式）。 2.变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，如=−=​。 【知识点04.分式的约分与通分】 1.约分 *定义：把分式分子与分母的公因式约去，化为最简分式或整式。 *步骤：先分解因式（分子、分母是多项式时），再找公因式，最后约去公因式。 *公因式确定：单项式看系数最大公约数与相同字母最低次幂；多项式先因式分解再找。 2.通分 *定义：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式。 *关键：确定最简公分母，方法为取各分母系数最小公倍数、相同字母最高次幂、单独字母连同指数一起作为最简公分母。 【知识点05.分式的乘除法则】 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母， 即×（b、d≠0）。 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷=×=（b、c、d≠0）。 3.运算技巧：分子、分母是多项式时，先因式分解，再约分，最后计算，可简化运算。整式可看作分母为 1 的分式参与运算。 【知识点06.分式的乘方法则】 一、核心法则 1.文字表述：分式乘方，分子、分母分别乘方；符号遵循 “奇负偶正”。 2.符号语言： *正数乘方：()n=​（A、B为整式，B≠0，n为正整数）； *负数乘方：(-)n=为奇数为偶数（A≠0，B≠0）。 二、关键要点 1.分子、分母需 “整体乘方”（多项式也需整体运算）； 2.结合幂的运算法则（幂的乘方、积的乘方）； 3.分母始终不为 0。 【题型1.分式有意义的判定条件】 【典例】使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 【跟踪训练1】若分式的值为0，则x ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，注意：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且 解得． 故答案为：0． 【跟踪训练2】下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 【题型2.分式值为0的满足条件】 【典例】若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 【跟踪训练1】若分式的值为0，则应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求找出使分式值为0的条件，需要满足分子为0且分母不为0，由此进行分析．本题主要考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时分子为0且分母不为0这一性质是解题的关键． 【详解】解：要使分式的值为， 则分子， 解得． 同时分母， ． 综上，． 故选：A． 【跟踪训练2】使分式的值为零，则的取值是 ． 【答案】7 【分析】分式的值为零需满足分子为零且分母不为零．本题考查分式值为零的条件，涉及的知识点是分式有意义的条件及绝对值方程的求解．解题中用到的方法是“双条件验证法”，同时验证分子为零和分母不为零．解题关键是不能忽略分母不为零的限制条件．易错点是只考虑分子为零，忘记排除使分母为零的情况． 【详解】由分子，得，解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，符合条件． 故答案为7． 【题型3.分式变形的正确型判断.】 【典例】分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 【跟踪训练1】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法、乘法及绝对值的相关知识，熟知运算法则及绝对值的性质是正确解题的关键． 由已知条件且，中必为两正两负．先将变形整理为：，，，，再代入所求的式子化简即可求解． 【详解】解：由，可得，，，． 原式， ，可知，中负因数的个数为偶数0或2或 4个， 由可知，不可能全为正数或全为负数， 中必为两正两负，此时的值中，有两项为1，两项为， 原式， 故答案为：． 【跟踪训练】2下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质和化简方法． 逐一验证各选项是否恒成立即可． 【详解】解：选项A：通分得左边为，右边为，显然不相等，故A不成立； 选项B：拆分分式得左边为，与右边不符，故B不成立； 选项C：左边平方后等于右边，但原式仅在或且不为0时成立，故C不恒成立； 选项D：分子因式分解为，约分后为（当时分式有意义），故D在分式有意义时恒成立； 故选：D． 【题型4.分式基本性质下的分式值变化分析】 【典例】若，则 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件，将所求分式进行拆分，利用分式的减法运算求解． 本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式减法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， 故， 故答案为：1． 【跟踪训练1】若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了分式值的变化情况，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 当和都扩大为原来的3倍时，分母也扩大3倍，因此分子必须也扩大3倍才能保持分式的值不变．只需验证哪个选项的在和扩大3倍时值也扩大3倍即可． 【详解】∵和都扩大为原来的3倍， ∴分母，即分母扩大3倍．为保持分式值不变，分子也必须扩大3倍． 选项A：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，符合题意． 选项B：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项C：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项D：，分子的取值与和无关，是常数，不符合题意． 故选A． 【跟踪训练2】利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 【题型5.分式的约分运算】 【典例】若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除运算与因式分解的应用，通过因式分解实现分式约分是解题关键． 简化表达式，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到结果，再根据x为正整数判断其类型． 【详解】∵ ==， ∵ 为正整数， ∴ ≥ 0，且为非负整数， 故选：D． 【跟踪训练1】定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 【题型6.最简分式的定义与判定】 【典例】下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键； 分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解． 【详解】解：、分子分母含公因式，可约分为，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 【跟踪训练1】请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 【跟踪训练2】下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 【题型7.最简公分母的确定方法】 【典例】分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 【跟踪训练1】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【跟踪训练2】已知分式与与(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为，则 【答案】或 【分析】根据题意可知2与的最小公倍数是10，由此可解． 【详解】解：依题意得：2与的最小公倍数是10， ∴或 ∴或 故答案为：或 【点睛】本题考查最简公分母，掌握最简公分母的系数是分母数字因式的最小正公倍数是解题的关键．注意若分母出现多项式时确定最简公分母需要先因式分解． 【题型8.分式的乘方运算规则】 【典例】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算错误，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 故选：． 【跟踪训练1】警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 【答案】120米/分 【分析】本题考查了分式乘法的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上山的路程为S，则上、下山的总路程为，可逐步求得上下山的总时间，最后利用平均速度等于上、下山的总路程除以总时间，计算即得答案． 【详解】解：设上山的路程为， 则由题意得，平均速度为(米/分)， 故答案为：120米/分． 【跟踪训练2】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 【题型9.分式的除法运算规则】 【典例】化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． .B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 【跟踪训练1】现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的 倍． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式． 利用圆的面积公式列式求解即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 【跟踪训练】2浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数的除法，根据题意分别求得总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤，进而根据溶质除以溶液，即可求解． 【详解】解：浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤，浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤． 总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤． 混合后的浓度为： 故选：D． 【题型10.分式的乘除混合运算方法】 【典例】小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 【跟踪训练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 【题型11.分式的乘方运算规则】 【典例】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘方运算，熟练掌握乘方的运算法则是关键，根据分式乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则解题． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，正确，故D符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【跟踪训练2】的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】得 【点睛】此题考查了幂的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键． 【题型12.含乘方的分式乘除混合运算技巧】 【典例】下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练1】计算： ． 【答案】 【分析】含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减. 有括号的，先算括号里的. 【详解】解： 故答案为. 【跟踪训练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 1．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 2．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 3．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得． 【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴为5或者4 ， ，即的分子时奇数， 当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被7整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有6， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． 4．若一个四位数的千位与百位之差等于，十位与个位之差等于，称这个四位数是差倍数，若四位数的千位与百位之差等于，十位与个位之差等于，称这个四位数是“差倍数”，则最小的“差倍数”为 ，若数，分别为“差倍数”和“差倍数”，它们的个位数字均为，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，依据题意，由已知，根据“差2倍数”和“差3倍数”的定义求解即可． 【详解】解：根据“差2倍数”的定义可得最小的“差2倍数”为2040； 设数的百位数字分别为， 则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为，， ，， ， ∵为整数，都是整数， ∴或， ∵， ， ∴ 当时，最大，最大值为 故答案为：；． 5．已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的运算、因式分解、分式的性质等知识点，综合运用所学知识成为解题的关键． 根据题意得出，根据非负数的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 6．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）根据分式的乘方，乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 8．当取何值时，式子的值为正数？ 【答案】且 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，分式的值，先根据乘除混合运算法则，进行化简，再根据分式的值为正数，则分子分母同号，且要保证分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：原式． 因为式子的值为正数，所以，即． 又因为式子中，需满足， 所以当，且时，式子的值为正数． 9．若是不超过1500的正整数，且是最简分数，则的取值有多少个？ 【答案】 【分析】本题考查容斥原理，分式的化简求值，根据得到是最简分数，求出中不能被和整除的数的个数即可． 【详解】解： ， ∵是最简分数， ∴是最简分数， ∵， ∴不能被和整除， ∵是不超过1500的正整数，即， ∴， ∵，，， ∴在和这个范围内，被整除的数有个，被整除的数有个，被整除的数有个， ∴中不能被和整除的数有个， ∴的取值有个． 10．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07分式期末冲刺必备讲义 期末必备 知识点梳理 1.分式的概念 2.分式有意义.无意义及值为0的条件 3.分式的基本性质 4.分式的约分与通分 5.分式的乘除法则 6.分式的乘方法则 常考题型 精讲精炼 1.分式有意义的判定条件 2.分式值为0的满足条件 3.分式变形的正确性判断 4.分式基本性质下的分式值变化分析 5.分式的约分运算 6.最简分式的定义与判定 7.最简公分母的确定方法 8.分式的乘法运算规则 9.分式的除法运算规则 10.分式的乘除混合运算方法 11.分式的乘方运算规则 12.含乘方的分式乘除混合运算技巧 期末备考 压轴通关 压轴题(10) 【知识点01.分式的概念】 1.定义：如果 A、B 表示两个整式，且 B 中含有字母（B≠0），那么式子BA​叫做分式，A 是分子，B 是分母。 2.关键区分： 与整式：整式分母不含字母，分式分母含字母（π 是常数，不算字母）。 与分数：分数分子分母是整数，分式是整式且分母含字母。 3.注意：判断是否为分式看原始形式，而非化简后结果。 【知识点02.分式有意义.无意义及值为0的条件】 条件类型 具体要求 分式有意义 分母 B≠0（解不等式求字母取值范围） 分式无意义 分母 B=0（解方程求字母取值） 分式值为 0 分子 A=0 且分母 B≠0（两者需同时满足） 【知识点03.分式的基本性质】 1. 性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即 =​，（C 是不等于 0 的整式）。 2.变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，如=−=​。 【知识点04.分式的约分与通分】 1.约分 *定义：把分式分子与分母的公因式约去，化为最简分式或整式。 *步骤：先分解因式（分子、分母是多项式时），再找公因式，最后约去公因式。 *公因式确定：单项式看系数最大公约数与相同字母最低次幂；多项式先因式分解再找。 2.通分 *定义：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式。 *关键：确定最简公分母，方法为取各分母系数最小公倍数、相同字母最高次幂、单独字母连同指数一起作为最简公分母。 【知识点05.分式的乘除法则】 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母， 即×（b、d≠0）。 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷=×=（b、c、d≠0）。 3.运算技巧：分子、分母是多项式时，先因式分解，再约分，最后计算，可简化运算。整式可看作分母为 1 的分式参与运算。 【知识点06.分式的乘方法则】 一、核心法则 1.文字表述：分式乘方，分子、分母分别乘方；符号遵循 “奇负偶正”。 2.符号语言： *正数乘方：()n=​（A、B为整式，B≠0，n为正整数）； *负数乘方：(-)n=为奇数为偶数（A≠0，B≠0）。 二、关键要点 1.分子、分母需 “整体乘方”（多项式也需整体运算）； 2.结合幂的运算法则（幂的乘方、积的乘方）； 3.分母始终不为 0。 【题型1.分式有意义的判定条件】 【典例】使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若分式的值为0，则x ． 【跟踪训练2】下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.分式值为0的满足条件】 【典例】若分式的值为0，则x的值为 ． 【跟踪训练1】若分式的值为0，则应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】使分式的值为零，则的取值是 ． 【题型3.分式变形的正确型判断.】 【典例】分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知，则 ． 【跟踪训练】2下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型4.分式基本性质下的分式值变化分析】 【典例】若，则 ． 【跟踪训练1】若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 【跟踪训练2】利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 【题型5.分式的约分运算】 【典例】若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 【跟踪训练1】定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 【跟踪训练2】如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【题型6.最简分式的定义与判定】 【典例】下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【跟踪训练2】下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【题型7.最简公分母的确定方法】 【典例】分式，，的最简公分母是 ． 【跟踪训练1】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【跟踪训练2】已知分式与与(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为，则 【题型8.分式的乘方运算规则】 【典例】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是＿＿ 【跟踪训练2】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型9.分式的除法运算规则】 【典例】化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． .B． C． D． 【跟踪训练1】现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的 倍． 【跟踪训练】2浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 【题型10.分式的乘除混合运算方法】 【典例】小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【跟踪训练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型11.分式的乘方运算规则】 【典例】．若，则 ． 【跟踪训练1】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】的值是（   ） A． B． C． D． 【题型12.含乘方的分式乘除混合运算技巧】 【典例】下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】计算： ． 【跟踪训练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 1．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 2．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 3．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 4．若一个四位数的千位与百位之差等于，十位与个位之差等于，称这个四位数是差倍数，若四位数的千位与百位之差等于，十位与个位之差等于，称这个四位数是“差倍数”，则最小的“差倍数”为 ，若数，分别为“差倍数”和“差倍数”，它们的个位数字均为，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 5．已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．计算： (1)； (2)． 9．若是不超过1500的正整数，且是最简分数，则的取值有多少个？ 10．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $