期末复习01三角形讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学三角形复习讲义通过系统框架梳理知识体系，涵盖概念、分类、判断、三边关系、稳定性、重要线段及内角和与外角性质，用对比表格呈现高线、中线、角平分线的定义与性质，按角和边双重分类标准构建知识脉络，清晰展现内在联系与重难点。 讲义亮点是分层练习设计，每个知识点配套“典例+跟踪训练”，如用小明家、小蓉家与学校距离情境题培养应用意识，通过角平分线与内角和关系题发展推理意识，基础题巩固概念，综合题提升能力，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

期末复习01 三角形讲义 【知识点01】三角形的概念 定义: 由不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 补充核心要素 1.构成条件 三条线段不共线； 线段需首尾依次连接，形成无缺口的封闭图形。 2.表示方法 用符号 “△” 表示，例如以点A、B、C为顶点的三角形，记作△ABC，读作 “三角形ABC”。 3.基本组成部分 边：组成三角形的三条线段（△ABC的三边为AB、BC、AC）； 顶点：三条线段的交点（△ABC的顶点为A、B、C）； 内角：三角形两边的夹角（△ABC的内角为∠A、∠B、∠C，内角和为180∘）。 【知识点02】三角形的分类 三角形的分类有两种核心标准：按角的大小分类和按边的关系分类。 1、 按角的大小分类 根据三角形内角的度数（锐角：0∘<α<90∘；直角：α=90∘；钝角：90∘<α<180∘），可分为三类： 1. 锐角三角形2.直角三角形3.钝角三角形 关键结论：任何三角形最多有 1 个直角或 1 个钝角，至少有 2 个锐角。 二.按边的关系分类 根据三角形三条边的长度关系，可分为三类： 1.不等边三角形 定义：三条边的长度都不相等的三角形。 特点：三个内角的度数也互不相等。 2.等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。 相关概念： 相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边； 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 特殊性质：等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。 3.等边三角形 定义：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。 特殊性质： 属于特殊的等腰三角形； 三个内角都相等，且均为60∘。 【知识点03】三角形的判断 三角形的判断分为两类：三条线段能否构成三角形、已知三角形的边 / 角判断类型。 一、 三条线段能否构成三角形 核心依据：三角形三边关系 最短两边之和 > 最长边（满足此条件即可判定）。 二、 已知边 / 角判断三角形类型 1. 按角判断 *锐角三角形:三个角都小于90o. *直角三角形:有一个内角等于90o *钝角三角形:有一个内角大于90o 2. 按边判断 *不等边三角形:三条边都不相等 *等腰三角形:两条边相等;或两个角相等 *等边三角形:三条边都相等;或三个角都是60o;或有一个角是60o的等腰三角形 【知识点04】三角形的三边关系 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 简化判定技巧 设三角形三边长为a,b,c（且a≤b≤c），只需验证 a+b>c，即可判定三条线段能构成三角形。 【知识点05】三角形的稳定性 核心定义 当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就会固定不变，这个性质叫做三角形的稳定性。 与之相对的是四边形（如平行四边形），四条边长度确定时，形状仍可改变（易变形），因此四边形不具有稳定性。 原理本质 三角形三边长度固定 → 三个内角的度数也固定 → 形状和大小唯一确定。 【知识点06】三角形的重要线段 线段类型 定义 核心性质 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段 1. 任意三角形都有 3 条高； 2. 锐角三角形的三条高都在三角形内部； 3. 直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在内部； 4. 钝角三角形的两条高在外部，一条高在内部； 5. 三条高所在直线交于一点，该点叫做垂心 三角形的中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 1. 任意三角形都有 3 条中线，且都在三角形内部； 2. 三条中线交于一点，该点叫做重心 3. 重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍 三角形的角平分线 平分三角形一个内角，且与对边相交的线段 1. 任意三角形都有 3 条角平分线，且都在三角形内部； 2. 三条角平分线交于一点，该点叫做内心； 3. 内心到三角形三边的距离相等 【知识点07】三角形的内角和定理 1.核心内容 三角形的三个内角之和等于 180∘。若 △ABC 的内角为 ∠A,∠B,∠C，则 ∠A+∠B+∠C=180∘。 2.验证方法 平行线法：过三角形一个顶点作对边的平行线，利用内错角相等，将三个内角转化为平角。 剪拼法：把三个内角剪下来，可拼成一个平角。 关键推论 1.三角形一个外角 = 与它不相邻的两个内角之和。 2.三角形最多 1 个直角 / 钝角，至少 2 个锐角。 3.直角三角形的两个锐角互余。 【知识点08】三角形外角的定义和性质 一、 定义 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 关键特征 一个三角形有 6 个外角（每个顶点处有 2 个，互为对顶角，度数相等）。 外角与相邻的内角互补（和为180∘）。 二、 性质 核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。示例：在 △ABC 中，∠ACD 是外角，则 ∠ACD=∠A+∠B。 推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。示例：∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 外角和定理：三角形的外角和为360∘（每个顶点取 1 个外角相加）。 题型1.三角形的识别与有关概念 【典例】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【跟踪训练1】同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 【答案】C 【分析】题目主要考查基本图形的面积推导，理解基本图形的面积求解过程是解题关键． 根据图形之间的面积推导过程求解即可． 【详解】解：∵正方形和长方形的面积是通过画面积相等的小正方形，然后再数小正方形的个数推导出来的；圆的面积是把圆切割成若干面积相等的三角形，然后再拼成长方形，由长方形的面积推导出来的， ∴①是长方形； ∵平行四边形的面积是通过割补的方法，将其割补成长方形，由长方形的面积推导出来的； ∴②是平行四边形； ∵三角形与梯形的面积是由两个相同的图形拼成平行四边形，由平行四边形的面积推导出来的； ∴③是三角形； 故选：C． 【跟踪训练2】如图，在中，顶点B的对边是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，的三边分别为，其中与点B相邻，与点B相对，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，顶点B的对边是， 故答案为：． 题型2.三角形的分类 【典例】如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【答案】 锐角 等边 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的分类，根据等边三角形的定义和三角形的分类解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②三角形按角分是锐角三角形， ③按边分是等边三角形， 故答案为：，锐角，等边． 【跟踪训练1】用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形）， ∴集合正确的是D． 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形）是解题的关键． 【跟踪训练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 题型3.三角形三边关系的应用 【典例】用三根小棒围成三角形（小棒取整厘米数），其中两根小棒分别长和．要使围成的三角形周长最长，第三根小棒的长度应该为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三根小棒长度的取值范围，进而根据选项即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三根小棒的长度为， 由三角形的三边关系得，，即， ∴ 第三根小棒应为， 故选：． 【跟踪训练1】把一条长的铁丝截成小段，每段长度不小于，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，能够根据三角形的三边关系解决生活中的实际问题，设其中最小的两段都是根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是； 每一段不小于， ，不与前两段组成三角形的话，，即，不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即，即，不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即，即， 此时剩下的， 实际上，那么前面四段中必有两段与组成三角形． 的最小值为6． 故选：D． 【跟踪训练2】已知小明家距离学校10千米，而小蓉家距离小明家3千米．如果小蓉家到学校的距离是d千米，则d满足 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据小明家距离学校10千米，而小蓉家距离小明家3千米．如果小蓉家到学校的距离是d千米，得出，再进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 题型4.三角形的稳定性及应用 【典例】延长桌板撑开时一般会有钢质三角形支架作为支撑，这是由于 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性这一特性． 根据三角形稳定性的性质直接得出结论． 【详解】解：三角形具有稳定性，而其他多边形不具有稳定性，延长桌板撑开时用钢质三角形支架作为支撑，就是利用了三角形具有稳定性这一性质． 故答案为：三角形具有稳定性． 【跟踪训练1】如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可． 【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定， ∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性， 故选：B 【跟踪训练2】利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 【详解】解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 题型5.利用三角形中线求面积 【典例】如图，在中，点是的中点，，若，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握中线平分三角形面积是解题的关键．求出的面积，再利用中线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪训练1】如图，，分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质. 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为12， ∴， ∵是的高线，， ∴，则. 故选：B． 【跟踪训练2】如图，在中，是的中点，是的中点，阴影部分的面积为，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中线将三角形的面积等分，注意三角形中线的这个作用在等分面积的问题中经常运用． 利用中线将三角形的面积等分即可得出结论． 【详解】解：在中，是的中点，是的中点， ，，， ． ． 故答案为：6． 题型6.与三角形的高有关的计算问题 【典例】如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积公式，理解题意是解决本题的关键． 根据是的两条高线可得，则，将，代入进而即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴ ， ∴与的比为， 故答案为：． 【跟踪训练1】一个直角三角形的两直角边的和是21厘米，它们的比是，第三边长是15厘米，第三边上的高为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高有关的计算题，先根据比例的性质求出两条直角边的长度，再求出三角形的面积，进而即可求出第三边上的高． 【详解】解：两条直角边分别为：（厘米）， （厘米）， 则这个三角形的面积为： （平方厘米）， 则第三边上的高为： （厘米）， 故答案为：7.2 【跟踪训练2】如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题考查三角形相关知识解决问题，理解题意，将转化为三角形面积关系是解决问题的关键． 利用三角形面积关系，将转化为分析即可得到答案． 【详解】解：，，在中，， ， 的值固定不变，在点沿自点向点运动（点与点，不重合）过程中，的长度逐渐变小， 在点的运动过程中，的值逐渐变大， 故选：B． 题型7.与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例】如图， 在中，是角平分线，相交于点 G， 则与之间的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【跟踪训练1】如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理，牢记三角形内角和是是解题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， 平分，， ， ， 故选：A． 【跟踪训练2】已知是的内心，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内心概念及性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用三角形内心的性质，，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】如图所示， 是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ． 故答案为：117. 题型8.三角形内角和定理的应用 【典例】当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据“倍角三角形”的定义，倍角α是被倍角β的2倍，已知三角形中有一个内角为，且，需分类讨论可能扮演的角色：可能是倍角α、被倍角β或第三个角，通过计算三角形内角和，结合的条件，排除无效情况． 【详解】解：设倍角为α，被倍角为β，则， ∵三角形内角和为， 若是倍角α，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是被倍角β，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是第三个角，则， 又， 代入得，即， 解得，不符合的条件，故排除； 因此，倍角α的度数为或， 故答案为：或， 【跟踪训练1】如图，，，，则x的值为 ． 【答案】140 【分析】本题考查了三角形内角和定理．由三角形内角和定理可得，再结合题意求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ，即， 故答案为：140． 【跟踪训练2】下列条件不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和定理分别求出三个内角的度数，进而问题可求解． 【详解】解：A、由可知：，所以，是直角三角形，故不符合题意； B、由及可知：，所以是直角三角形，故不符合题意； C、由可知，因为，即，解得：，所以不是直角三角形，故符合题意； D、由可设，因为，所以，解得：，则，所以是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 题型9.三角形外角的定义及性质 【典例】一副含角和角的直角三角尺如图摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题考查对顶角，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，根据对顶角得到，根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：由题意和图可知：，， ∴； 故选：B． 【跟踪训练1】通过下面几个图形说明“锐角，锐角的和是锐角”，其中错误的例证图是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和是解题的关键．根据三角形的外角和定理进行判定即可． 【详解】 解：锐角，锐角的和是钝角；故选项A符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项B不符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项C不符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项D不符合题意； 故选A． 【跟踪训练2】如图，已知，则 ． 【答案】/240度 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得，，那么．由，，得，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 1．如图中，三角形的个数为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：图中的三角形有，，，，，，共个． 故选：D． 2．如图，，，，在中，边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 【详解】解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 3．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 4．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念．三角形的重心是三角形的三条中线的交点． 【详解】解：∵质地均匀的三角形木板的重心是其几何中心，即三条中线的交点； ∴悬挂在重心时，木板才能保持水平； ∵选项C为三条中线的交点； ∴挂钩应设在C处． 故选：C． 5．如图，，小明以点为圆心，3为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴，即：； ∴m的值可能是4； 故选D． 6．如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有 个 【答案】5 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，则，再分，，和四种情况，求出对应情况下a的值，进而求出对应的周长即可得到答案． 【详解】解：∵a、b、c是一个三角形的三边长，， ∴， 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7或8， ∴此时该三角形的周长为或或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7， ∴此时该三角形的周长为或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值为6， ∴此时该三角形的周长为； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴此时不符合题意； 综上所述，该三角形的周长可以为13或14或15或16或17，共有5个不同的值， 故答案为：5． 7．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 9．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 10．如图是某海域内三处观测站的分布图，经测量可得处在处的南偏西方向，在处向南偏东方向可观测到处，而处在处的北偏东方向，则在处观测处和处的视线夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要涉及方位角的概念以及三角形内角和定理．首先根据方位角求出三角形中相关的角的度数，再利用三角形内角和为求出结果即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键． （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为，四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 13．如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）在中，根据三角形内角和定理并结合已知求出，即可得证； （2）先根据垂直的定义以及三角形的内角和定理求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. 14．如图，在中，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若平分，与交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的高线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，由（1）可知：，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 由（1）可知：， ∴． 15．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【详解】解：任务1：以点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点． ∴，． ∴． ∴． 任务2：由题意可知． 又． ∴． ∵与同高， ∴，即， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01 三角形讲义 【知识点01】三角形的概念 定义: 由不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 补充核心要素 1.构成条件 三条线段不共线； 线段需首尾依次连接，形成无缺口的封闭图形。 2.表示方法 用符号 “△” 表示，例如以点A、B、C为顶点的三角形，记作△ABC，读作 “三角形ABC”。 3.基本组成部分 边：组成三角形的三条线段（△ABC的三边为AB、BC、AC）； 顶点：三条线段的交点（△ABC的顶点为A、B、C）； 内角：三角形两边的夹角（△ABC的内角为∠A、∠B、∠C，内角和为180∘）。 【知识点02】三角形的分类 三角形的分类有两种核心标准：按角的大小分类和按边的关系分类。 1、 按角的大小分类 根据三角形内角的度数（锐角：0∘<α<90∘；直角：α=90∘；钝角：90∘<α<180∘），可分为三类： 1. 锐角三角形2.直角三角形3.钝角三角形 关键结论：任何三角形最多有 1 个直角或 1 个钝角，至少有 2 个锐角。 二.按边的关系分类 根据三角形三条边的长度关系，可分为三类： 1.不等边三角形 定义：三条边的长度都不相等的三角形。 特点：三个内角的度数也互不相等。 2.等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。 相关概念： 相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边； 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 特殊性质：等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。 3.等边三角形 定义：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。 特殊性质： 属于特殊的等腰三角形； 三个内角都相等，且均为60∘。 【知识点03】三角形的判断 三角形的判断分为两类：三条线段能否构成三角形、已知三角形的边 / 角判断类型。 一、 三条线段能否构成三角形 核心依据：三角形三边关系 最短两边之和 > 最长边（满足此条件即可判定）。 二、 已知边 / 角判断三角形类型 1. 按角判断 *锐角三角形:三个角都小于90o. *直角三角形:有一个内角等于90o *钝角三角形:有一个内角大于90o 2. 按边判断 *不等边三角形:三条边都不相等 *等腰三角形:两条边相等;或两个角相等 *等边三角形:三条边都相等;或三个角都是60o;或有一个角是60o的等腰三角形 【知识点04】三角形的三边关系 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 简化判定技巧 设三角形三边长为a,b,c（且a≤b≤c），只需验证 a+b>c，即可判定三条线段能构成三角形。 【知识点05】三角形的稳定性 核心定义 当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就会固定不变，这个性质叫做三角形的稳定性。 与之相对的是四边形（如平行四边形），四条边长度确定时，形状仍可改变（易变形），因此四边形不具有稳定性。 原理本质 三角形三边长度固定 → 三个内角的度数也固定 → 形状和大小唯一确定。 【知识点06】三角形的重要线段 线段类型 定义 核心性质 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段 1. 任意三角形都有 3 条高； 2. 锐角三角形的三条高都在三角形内部； 3. 直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在内部； 4. 钝角三角形的两条高在外部，一条高在内部； 5. 三条高所在直线交于一点，该点叫做垂心 三角形的中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 1. 任意三角形都有 3 条中线，且都在三角形内部； 2. 三条中线交于一点，该点叫做重心 3. 重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍 三角形的角平分线 平分三角形一个内角，且与对边相交的线段 1. 任意三角形都有 3 条角平分线，且都在三角形内部； 2. 三条角平分线交于一点，该点叫做内心； 3. 内心到三角形三边的距离相等 【知识点07】三角形的内角和定理 1.核心内容 三角形的三个内角之和等于 180∘。若 △ABC 的内角为 ∠A,∠B,∠C，则 ∠A+∠B+∠C=180∘。 2.验证方法 平行线法：过三角形一个顶点作对边的平行线，利用内错角相等，将三个内角转化为平角。 剪拼法：把三个内角剪下来，可拼成一个平角。 关键推论 1.三角形一个外角 = 与它不相邻的两个内角之和。 2.三角形最多 1 个直角 / 钝角，至少 2 个锐角。 3.直角三角形的两个锐角互余。 【知识点08】三角形外角的定义和性质 一、 定义 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 关键特征 一个三角形有 6 个外角（每个顶点处有 2 个，互为对顶角，度数相等）。 外角与相邻的内角互补（和为180∘）。 二、 性质 核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。示例：在 △ABC 中，∠ACD 是外角，则 ∠ACD=∠A+∠B。 推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。示例：∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 外角和定理：三角形的外角和为360∘（每个顶点取 1 个外角相加）。 题型1.三角形的识别与有关概念 【典例】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 【跟踪训练2】如图，在中，顶点B的对边是 ．    题型2.三角形的分类 【典例】如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【跟踪训练1】用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 题型3.三角形三边关系的应用 【典例】用三根小棒围成三角形（小棒取整厘米数），其中两根小棒分别长和．要使围成的三角形周长最长，第三根小棒的长度应该为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】把一条长的铁丝截成小段，每段长度不小于，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练2】已知小明家距离学校10千米，而小蓉家距离小明家3千米．如果小蓉家到学校的距离是d千米，则d满足 题型4.三角形的稳定性及应用 【典例】延长桌板撑开时一般会有钢质三角形支架作为支撑，这是由于 ． 【跟踪训练1】如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 【跟踪训练2】利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 题型5.利用三角形中线求面积 【典例】如图，在中，点是的中点，，若，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪训练1】如图，，分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．6 【跟踪训练2】如图，在中，是的中点，是的中点，阴影部分的面积为，则的面积为 ． 题型6.与三角形的高有关的计算问题 【典例】如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为 ． 【跟踪训练1】一个直角三角形的两直角边的和是21厘米，它们的比是，第三边长是15厘米，第三边上的高为 厘米． 【跟踪训练2】如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 题型7.与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例】如图， 在中，是角平分线，相交于点 G， 则与之间的数量关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知是的内心，，则 °． 题型8.三角形内角和定理的应用 【典例】当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是 ． 【跟踪训练1】如图，，，，则x的值为 ． 【跟踪训练2】下列条件不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型9.三角形外角的定义及性质 【典例】一副含角和角的直角三角尺如图摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】通过下面几个图形说明“锐角，锐角的和是锐角”，其中错误的例证图是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，已知，则 ． 1．如图中，三角形的个数为（　） A． B． C． D． 2．如图，，，，在中，边上的高是 ． 3．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 4．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 5．如图，，小明以点为圆心，3为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有 个 7．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为 ． 8．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 9．如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 10．如图是某海域内三处观测站的分布图，经测量可得处在处的南偏西方向，在处向南偏东方向可观测到处，而处在处的北偏东方向，则在处观测处和处的视线夹角为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 12．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    13．如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 14．如图，在中，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)若平分，与交于点，求的度数． 15．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $