期末复习04幂的运算讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学幂的运算复习讲义以“核心法则-拓展应用-易错辨析-题型突破”为主线构建知识体系，通过对比表格清晰呈现同底数幂乘法与幂的乘方等运算的法则差异，用分步流程图规范混合运算步骤，系统梳理知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础套用公式到逆用法则（如利用积的乘方逆运算简化计算），再到综合混合运算，培养运算能力与推理意识。易错点清单帮助学生规避符号处理等问题，支持分层复习，助力教师实施精准教学。

期末复习04 幂的运算讲义 【知识点01】同底数幂的乘法 一. 核心法则（必背） 公式：am⋅an=am+n（条件：a≠0,m,n为整数） 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 二、 法则拓展 1.多个同底数幂相乘 公式：am⋅an⋅ap=am+n+p（a≠0，m、n、p为整数） 2.底数为多项式的情况 把多项式看成一个整体（当作 “新底数”），依然遵循法则。  三.关键易错点与注意事项 前提条件：必须是同底数幂 不同底数的幂不能直接用此法则，如 x2⋅y3 无法合并。 指数运算易错：是 “相加” 不是 “相乘” 区分同底数幂乘法和幂的乘方，避免混淆： 运算类型 法则 例子 同底数幂乘法 指数相加 a2⋅a3=a5 幂的乘方 指数相乘 (a2)3=a6 3.系数与符号单独处理 四.常见题型总结 1.直接套用公式计算：基础题型，检验法则记忆。 2.底数含符号 / 相反数转化：期末高频考点，考查符号处理能力。 3.底数为多项式的运算：拓展题型，训练整体思想。 4.与幂的乘方、积的乘方混合运算：综合题型，需分步运算。 【知识点02】幂的乘方 一、 核心法则（必背） 公式：(am)n=（条件：a≠0，m、n为整数） 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 二、 法则拓展 1.多重幂的乘方 2.底数含系数或符号的幂的乘方 把系数、符号与幂部分分开处理，底数整体保持不变。 3底数为多项式的幂的乘方 将多项式看作一个整体（当作单一底数），遵循法则计算。 三、 关键易错点与注意事项 1.最易混淆：幂的乘方 vs 同底数幂乘法两者法则极易混淆， 对比区分如下： 运算类型 法则核心 公式 举例 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n= (x3)2=x6 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 am⋅an=am+n x3⋅x2=x5 2.符号处理的核心原则 负数的乘方，括号内的负号参与乘方运算，括号外的负号不参与。 3.指数为 0 或负数的情况 结合零指数幂、负整数指数幂的规定计算，仍遵循 “底数不变，指数相乘”。 四.常见题型总结 1.直接套用公式计算：基础题型，检验法则掌握程度。 2.含符号的幂的乘方运算：期末高频考点，重点考查符号判断。 3.与同底数幂乘法、积的乘方的混合运算：综合题型，需遵循 “先乘方，后乘除” 的顺序。 4.底数为多项式的幂的乘方：拓展题型，训练整体思想的应用。 【知识点03】积的乘方 一、 核心法则（必背） 公式：(ab)n=（条件：a≠0，b≠0.n为整数） 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 二、 法则拓展 1.多个因式的积的乘方 公式:= 2.法则的逆用（核心解题技巧） 公式：=(ab)n 3.底数含多项式的积的乘方 将多项式看作一个因式，按法则分别乘方。 三.关键易错点与注意事项 1.系数漏乘方，是高频易错点计算时要把系数当作独立因式 2.符号处理：由指数奇偶性决定 3.与幂的乘方区分，避免法则混用 积的乘方是每个因式分别乘方，幂的乘方是指数相乘，对比如下： 运算类型 法则核心 举例 积的乘方 各因式分别乘方再相乘 (ab)3=a3b3 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (a3)2=a6 4. 指数为 0 或负数的情况 结合零指数幂、负整数指数幂的规定计算，仍遵循积的乘方法则。 四.常见题型总结 1.直接套用公式计算：基础题型，检验法则记忆。 2.逆用法则简化计算：期末高频考点，重点考查技巧应用。 3.含符号 / 系数的积的乘方：易错题型，训练细节把控能力。 4.与同底数幂乘法、幂的乘方混合运算：综合题型，需遵循 “先乘方，后乘除，最后加减” 的顺序。 【知识点04】幂的混合运算 一.核心法则回顾（运算基础） 所有运算需满足 a≠0,b≠0，m、n为整数： 运算类型 公式 核心要点 同底数幂的乘法 am⋅an=am+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n= 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n= 各因式分别乘方，再相乘 同底数幂的除法 am÷an= 底数不变，指数相减；m<n时为负指数幂 二、 混合运算的规范步骤 1.去括号：利用积的乘方或幂的乘方法则去掉括号，优先处理符号 2.算乘方：先计算所有幂的乘方、积的乘方，避免法则混淆 3.算乘除：从左到右依次计算同底数幂的乘除，统一底数 4.算加减：最后合并同类项，只有底数和指数都相同的幂才能合并 高频易错点总结 1.法则混淆：把 (am)n 算成 am+n，或把 am⋅an 算成 。 2.符号遗漏：忽略负数乘方的奇偶性，如 (−a2)3 误算为 a6。 3.同类项误合并：把 a4 和 a5 合并，或把 2a3 和 3b3 合并。 4.运算顺序错误：先算乘除再算乘方，导致结果错误。 题型1.同底数幂相乘 【典例】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 题型2.同底数幂乘法的逆用 【典例】若 ，其中 m 不为0 ，且 a，b 均为正整数，则的值为 【跟踪训练1】已知，则 ． 【跟踪训练2】已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 题型3幂的乘方运算 【典例】若算式，推测算式M表示的意义是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知，均为正整数，若，则用的代数式表示 ． 题型4.幂的乘方的逆用 【典例】比较大小： ． 【跟踪训练1】规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【跟踪训练2】若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 题型5.积的乘方运算 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】计算的结果是 ． 题型6.积的乘方的逆用 【典例】计算： ． 【跟踪训练1】阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ． 【跟踪训练2】．，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 题型7.幂的混合运算 【典例】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪训练2】计算： ． 1．计算（结果用幂的形式表示）： ． 2．已知，则 ． 3．比较，，的大小（用＞连接） ． 4．以下三个数：，，最大的数为 ． 5．数是一个 位数． 6．已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 7．实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 8．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 9．在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 10．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 11．计算： (1)． (2)已知，，求的值． 12．计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 13．按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 14．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 15．对于整数，定义运算：（其中，为常数），如．若存在一个实数，使得，． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04 幂的运算讲义 【知识点01】同底数幂的乘法 一. 核心法则（必背） 公式：am⋅an=am+n（条件：a≠0,m,n为整数） 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 二、 法则拓展 1.多个同底数幂相乘 公式：am⋅an⋅ap=am+n+p（a≠0，m、n、p为整数） 2.底数为多项式的情况 把多项式看成一个整体（当作 “新底数”），依然遵循法则。  三.关键易错点与注意事项 前提条件：必须是同底数幂 不同底数的幂不能直接用此法则，如 x2⋅y3 无法合并。 指数运算易错：是 “相加” 不是 “相乘” 区分同底数幂乘法和幂的乘方，避免混淆： 运算类型 法则 例子 同底数幂乘法 指数相加 a2⋅a3=a5 幂的乘方 指数相乘 (a2)3=a6 3.系数与符号单独处理 四.常见题型总结 1.直接套用公式计算：基础题型，检验法则记忆。 2.底数含符号 / 相反数转化：期末高频考点，考查符号处理能力。 3.底数为多项式的运算：拓展题型，训练整体思想。 4.与幂的乘方、积的乘方混合运算：综合题型，需分步运算。 【知识点02】幂的乘方 一、 核心法则（必背） 公式：(am)n=（条件：a≠0，m、n为整数） 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 二、 法则拓展 1.多重幂的乘方 2.底数含系数或符号的幂的乘方 把系数、符号与幂部分分开处理，底数整体保持不变。 3底数为多项式的幂的乘方 将多项式看作一个整体（当作单一底数），遵循法则计算。 三、 关键易错点与注意事项 1.最易混淆：幂的乘方 vs 同底数幂乘法两者法则极易混淆， 对比区分如下： 运算类型 法则核心 公式 举例 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n= (x3)2=x6 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 am⋅an=am+n x3⋅x2=x5 2.符号处理的核心原则 负数的乘方，括号内的负号参与乘方运算，括号外的负号不参与。 3.指数为 0 或负数的情况 结合零指数幂、负整数指数幂的规定计算，仍遵循 “底数不变，指数相乘”。 四.常见题型总结 1.直接套用公式计算：基础题型，检验法则掌握程度。 2.含符号的幂的乘方运算：期末高频考点，重点考查符号判断。 3.与同底数幂乘法、积的乘方的混合运算：综合题型，需遵循 “先乘方，后乘除” 的顺序。 4.底数为多项式的幂的乘方：拓展题型，训练整体思想的应用。 【知识点03】积的乘方 一、 核心法则（必背） 公式：(ab)n=（条件：a≠0，b≠0.n为整数） 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 二、 法则拓展 1.多个因式的积的乘方 公式:= 2.法则的逆用（核心解题技巧） 公式：=(ab)n 3.底数含多项式的积的乘方 将多项式看作一个因式，按法则分别乘方。 三.关键易错点与注意事项 1.系数漏乘方，是高频易错点计算时要把系数当作独立因式 2.符号处理：由指数奇偶性决定 3.与幂的乘方区分，避免法则混用 积的乘方是每个因式分别乘方，幂的乘方是指数相乘，对比如下： 运算类型 法则核心 举例 积的乘方 各因式分别乘方再相乘 (ab)3=a3b3 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (a3)2=a6 4. 指数为 0 或负数的情况 结合零指数幂、负整数指数幂的规定计算，仍遵循积的乘方法则。 四.常见题型总结 1.直接套用公式计算：基础题型，检验法则记忆。 2.逆用法则简化计算：期末高频考点，重点考查技巧应用。 3.含符号 / 系数的积的乘方：易错题型，训练细节把控能力。 4.与同底数幂乘法、幂的乘方混合运算：综合题型，需遵循 “先乘方，后乘除，最后加减” 的顺序。 【知识点04】幂的混合运算 一.核心法则回顾（运算基础） 所有运算需满足 a≠0,b≠0，m、n为整数： 运算类型 公式 核心要点 同底数幂的乘法 am⋅an=am+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n= 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n= 各因式分别乘方，再相乘 同底数幂的除法 am÷an= 底数不变，指数相减；m<n时为负指数幂 二、 混合运算的规范步骤 1.去括号：利用积的乘方或幂的乘方法则去掉括号，优先处理符号 2.算乘方：先计算所有幂的乘方、积的乘方，避免法则混淆 3.算乘除：从左到右依次计算同底数幂的乘除，统一底数 4.算加减：最后合并同类项，只有底数和指数都相同的幂才能合并 高频易错点总结 1.法则混淆：把 (am)n 算成 am+n，或把 am⋅an 算成 。 2.符号遗漏：忽略负数乘方的奇偶性，如 (−a2)3 误算为 a6。 3.同类项误合并：把 a4 和 a5 合并，或把 2a3 和 3b3 合并。 4.运算顺序错误：先算乘除再算乘方，导致结果错误。 题型1.同底数幂相乘 【典例】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，即底数不变，指数相加． 根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】． 故选：B． 【跟踪训练1】已知，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，观察出，从而得到是解题的关键．然后利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 【跟踪训练2】若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，将等式两边分别化简，利用同底数幂的乘法运算性质，得到指数相等的条件，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2.同底数幂乘法的逆用 【典例】若 ，其中 m 不为0 ，且 a，b 均为正整数，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】已知，则 ． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则对原式进行变形，再逆用幂的乘方法则继续变形，代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握公式是解题的关键． 【跟踪训练2】已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的法则的逆向运用是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，将化简为，再代入计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：C． 题型3幂的乘方运算 【典例】若算式，推测算式M表示的意义是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方的意义．根据幂的乘方的意义解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪训练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 【跟踪训练2】已知，均为正整数，若，则用的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项的加法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据相应的运算法则进行运算即可． 【详解】，， ， ， ． 题型4.幂的乘方的逆用 【典例】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，通过寻找指数的最大公约数，将两个幂次转化为相同指数形式，从而比较底数大小． 【详解】解： 和 的最大公约数为 ， ，， 由于 ，且指数相同， 因此 ， 即 ， 故答案为． 【跟踪训练1】规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 【跟踪训练2】若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方法则，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 题型5.积的乘方运算 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，根据乘积的乘方等于乘方的积，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪训练1】下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，表示，利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型6.积的乘方的逆用 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则，是解题的关键．逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪训练1】阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则进行运算即可； （2）利用积的乘方公式运算求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】．，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 题型7.幂的混合运算 【典例】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 【跟踪训练2】计算： ． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算法则是解题的管． 1．计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式； 将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法公式的逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂乘法公式，可变形，将已知条件代入即可求出，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴ = = 6， ∴ ． 故答案为：． 3．比较，，的大小（用＞连接） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的应用，有理数大小的比较，熟练运用幂的乘方的运算规则是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 4．以下三个数：，，最大的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解决此题的关键是熟练的掌握幂的乘方运算；把这三个数化成指数相同的形式，比较底数的大小，从而确定数的大小即可； 【详解】解： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 5．数是一个 位数． 【答案】十/10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先将数变形为，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：数 ， 所以数是一个十位数， 故答案为：十． 6．已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 7．实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题． 【详解】解：， ， 即， 整理得， ； 故选：B． 8．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 9．在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，一元一次方程的应用，列出方程是解题得关键． 通过跟踪每次操作后各袋球数的变化，根据最终三袋球数相同列出方程，求解出和的值，再利用指数运算性质计算． 【详解】∵ 总球数为，且最终三袋球数相同， ∴ 每袋有 个球， 操作后： 甲袋：，； 丙袋：，； 乙袋：，符合， ∴ ． 故选：D． 10．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，，故①说法错误； ∵，，，， ∴， ∴， 故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误； ∵，， ∴， 即， ∵是大于的整数， ∴， ∵，， ∴满足条件的的最小值为，③说法正确． 故选：B． 11．计算： (1)． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查同底数幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则． （1）根据同底数幂的运算法则和合并同类项即可求出答案． （2）根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， ． 12．计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①225，225②36,36 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据（1）中的计算结果猜想即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义证明即可； （4）利用以上得到的结论计算即可． 【详解】（1）解：计算下面两组算式：①；． ②； （2）解：根据（1）计算结果猜想：； （3）解：当n为正整数时，． 理由：当n为正整数时，． 即：当n为正整数时，． （4）解：． 13．按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 14．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 15．对于整数，定义运算：（其中，为常数），如．若存在一个实数，使得，． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方与积的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则，理解题意是解此题的关键． （1）根据并结合，计算即可得解； （2）由并结合得出，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $