13.2.2三角形的中线、角平分线、高 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 同步练习 一、单选题 1．某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 2．如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 3．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 5．如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（   ） A． B．5 C．4 D．无法确定 6．如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 7．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 10．如图，点D是中边上靠近A点的四等分点，即，连接，F是上一点，连接与交于点E，点E恰好是的中点，若，则的面积是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 11．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 二、填空题 13．如图，中，，垂足分别为D、E、F，则线段 是中边上的高． 14．如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为 ． 15．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有 （填序号）． 16．如图，是的中线，，，，则 ． 17．如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 18．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ． 19．如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 20．如图，已知，，分别为，，的中点，若的面积为24，则阴影部分的面积为 ． 21．如图，为钝角三角形，分别过点A、B作、边上的高、，已知，则的长为 ． 22．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 23．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 24．如图，在中，点、是线段、的中点，若四边形的面积是22，则的面积是 ． 25．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 三、解答题 26．请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    27．如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 28．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 29．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 30．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 31．课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题． 【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分， 是的中线； 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 3．B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 4．C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 5．A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算，由得出，再由点E恰好是的中点即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E恰好是的中点， ∴， 故选：D． 11．D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 12．B 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 13． 【分析】本题考查了画三角形的高线，正确理解高的概念是解题的关键．根据三角形高的定义判断即可求解． 【详解】解：， 中边上的高是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了三角形的高，根据题意得出，然后代入即可求解，根据三角形面积公式列出等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 15．②③ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 16． 【分析】本题考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．根据三角形中线的定义即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 故答案为：． 17． 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6． 18．直角三角形 【分析】本题考查了三角形的高，再明确三角形高的定义，在分析不同三角形垂心的位置特征，最后根据题目条件判断三角形类型. 【详解】解：是直角三角形； 直角三角形的两条直角边互为高，其交点为直角顶点，第三条高从直角顶点向斜边作垂线， 三条高的交点是直角顶点， 即该三角形为直角三角形； 故答案为： 直角三角形． 19．/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 20． 【分析】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点E为的中点，的面积为24， ， 点D为的中点， ， 点F为的中点， ， 阴影部分面积为：， 故答案为：． 21．6 【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长. 利用三角形的面积公式求得，再利用，求解即可. 【详解】解：，且， ， ，且， ， 解得， 故答案为：6. 22．5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 23．2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 24．11 【分析】连接，证明，，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点、是线段、的中点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是22，， ∴． 故答案为：11． 25． 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 26．作图见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，连接并延长交于，根据三角形的三条高相交于一点即可作出判断．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      27．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 28． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义， 由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：∵是高， ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴． 29．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 30．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 31．(1)见解析 (2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4；见解析 【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到； （2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可； 根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点A作边上的高， ∵是边边上的中线 ∴ ∴ ∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． （2）如图所示，过点E作于点F， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即 ∴， ∴点E到的距离为4． 如图所示（取各边中点或中线的中点） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $