专题01 集合与常用逻辑用语 期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以思维导图系统构建集合与常用逻辑用语的知识体系，涵盖基础知识与核心考点两大模块，通过表格归纳数集符号等关键内容，清晰呈现元素三要素、集合关系等重难点的内在联系，帮助学生形成结构化认知。 讲义亮点在于分层题型设计与精准方法指导，每个题型配备方法点拨如Venn图活用、穿线法解不等式，结合新定义问题培养数学思维，易错点聚焦互异性、空集等核心问题，变式突破满足不同层次学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题01 集合与常用逻辑用语 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 集合的概念、数集 方法点拨： 1.元素的三要素 ①确定性：元素归属明确 ②互异性：解题后需验算元素是否重复 ③无序性：集合相等只需元素相同，与顺序无关 2.数集符号： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3.关注集合中的代表元 例题解析： 例1.下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 例2.下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 例3.下列关系说法错误的有（    ） ①    ②    ③⫋    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】①：因为是集合中的元素，所以，表示的符号不正确，故①错误；②：因为是任何集合的子集，所以，表示的符号不正确，故②错误； ③：因为中含有元素，而且还有其它元素，所以⫋，故③正确； ④：因为是无理数，而是有理数集，所以，故④错误． 故选：C 例4.已知集合，集合，则（    ） A．0 B． C． D． 【详解】由题意，集合，，∴.故选：B. 例5.（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确；选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 变式突破： 1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 2.下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 3.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由解得，则，∵，则，∴，则，．故选：B． 4.若，则 . 【详解】由题意可得，， 由可知，故，故， 则，解得或； 由元素的互异性可知，故； 此时，符合题意， 故. 故答案为：. 题型二 元素与集合的关系、集合间的关系 方法点拨： 1.牢记元素与集合是“属于”（符号“∈”）关系，集合与集合间是“包含”（符号“⊆”）关系 2.若元素满足方程（如，例3），需分类讨论所有可能解并验证互异性 3.; 例题解析： 例1.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】①：子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确；②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确；③：空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确；④：空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误；⑤：是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥：是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 例2.已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，又且，则， 故选：D 例3.已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去；②，解得或（舍去），当时，，满足题意， 则.故选：B. 例4.已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【详解】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：．故选：C． 例5.若，.当时，（    ） A． B．0 C．1 D．2 【详解】因为，且，，所以，所以； 所以，，又，所以或. 由且得方程无解；由且得. 所以.故选：A 例6.已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【详解】（1）由集合， 因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. （2）解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 变式突破： 1.①，②，③，④，其中正确的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集； 不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同. 故正确的有①②，共2个.故选：B. 2.设集合A＝{x|x＝2k＋1，kZ}，若a＝5，则有（    ） A．aA B．－aA C．{a}A D．{a}A 【详解】解：对选项A：当k＝2时，x＝5，所以aA，故选项A正确； 对选项B：当k＝－3时，x＝－5，所以－aA，故选项B不正确； 对选项C、D：因为集合{a}与集合A之间的符号使用有误，所以选项C、D不正确； 故选：A. 3.已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【详解】因为，则或或， 解得或.故选：B. 4.已知，则 ． 【详解】已知，则当时，，满足的条件； 当时，解得：，此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 5.已知集合，，，则实数a取值的集合为（   ） A． B． C． D． 【详解】或，解得或2， 由集合互异性知，故，故选：C． 6.已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，则， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 7.已知，，若，求实数的值. 【详解】∵， 由集合元素互异性，可知. 由. ①或， 当时，集合不满足互异性，故舍去， 当时，集合符合条件； ② 当时，集合符合条件. 综上，实数的值为1或. 8.设集合. (1)当时，求的取值范围； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【详解】（1）， 解得：，故的取值范围为. （2）是的必要不充分条件，； 当时，， 解得：，此时满足； 当时，,解得：， 与不同时成立， 当时，满足； 所述：的取值范围为. 题型三 集合中的元素个数、子集个数问题 方法点拨： 1.Venn图活用：用于直观表示交、并、补集关系，尤其适合含参问题或容斥原理。 2.容斥原理：公式：()（拓展到三集合） 3.有n个元素的集合的子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个. 例题解析： 例1.已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【详解】集合，， 所以集合的子集个数为. 故选：C 例2.已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【详解】.当时，；当时，； 当时，；，所以集合的真子集个数是： 故选：D 例3.某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 【详解】总人数：38，喜爱篮球：23，喜爱乒乓球：12，两项都不喜爱：8， 至少喜爱一项=38-8=30，至少喜爱一项=喜爱篮球+喜爱乒乓球-两项都喜爱， 两项都喜爱=23+12-30=5，只喜爱篮球不喜爱乒乓球=喜爱篮球-两项都喜爱=23-5=18. 故选：D 例4.某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 例5.已知集合，集合. (1)若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，此时中有三个整数，则； 当时，，此时中有1，2，3三个整数，则. 综上所述，或. （2）表示偶数集， 当时，集合中包含2，则； 当时，集合中包含0，则. 当时，集合中不包含偶数， 所以或. 例6.已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 变式突破： 1.下列三个关系式：①；②；③；④集合，这样的集合有2个.其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】①由为无理数，而无理数也是实数，则，对， ②由的分子、分母均为自然数，即为有理数，则，错， ③由是一个整数，则，对， ④由，则或，共2个，对. 故选：D 2.已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为 . 【详解】设集合元素个数为， 由题意可得，所以该集合的元素只有一个， 当时，方程，符合题意； 当时， 要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程的判别式， 即，显然，符合题意， 综上所述实数的值为0或4， 故答案为：0或4 3.已知集合，则的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】作函数图象如下 由图可知，函数与函数存在两个交点， ∴的元素个数是2. 故选：C. 4.高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【详解】 设这两部电影都观看的有人， 由图形可知，解得. 故选：C 5.为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【详解】25-15=10（人），因此仅参加编程社团的有10人，同理可得仅参加创客社团的有20人，因此仅参加一个社团的学生数为10+20=30（人）. 又因为每个学生至少参加了一个社团，因此只需将仅参加一个社团的学生数加上参加两个社团的学生数，即为该班学生总数. 因此该班学生总数为30+15=45（人）. 故选：B. 5.已知集合，. (1)若，求； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【详解】（1）根据题意若，可知，且； 即， 解得； （2）易知集合中有且仅有3个整数元素， 中有且仅有3个整数元素，则满足， 因此，解得， 所以的取值范围为. 6.已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 题型四 交集、并集、补集的运算 方法点拨： 1.含不等式的集合用数轴标区间 2.熟练掌握“穿线法”和绝对值不等式的解法 3.函数定义域的求法 4.解指、对不等式 例题解析： 例1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，得，则， 因为，则. 故选：B 例2.已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，， 因此， 又因为，所以. 故选：B. 例3.已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【详解】解不等式得， 解不等式，即，得， 可得，，所以． 故选：D 例4.已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【详解】由， 可得， 解得， 所以； 又因为， 所以. 故选：D. 例5.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，即. 故选：C. 例6.若集合，，（   ） A． B． C． D． 【详解】因，， 故. 故选：A. 例7.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，， 所以.故选：B. 例8.(多选)已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 例9.已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【详解】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 变式突破： 1.已知集合，为自然数集，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为自然数集，所以. 故选：D. 2.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】集合，所以，解得或，即集合或， 因为，所以. 故选：B. 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ，， 即. 故选：D. 4.设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 故， 故选：. 5.集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数有意义，则，即， 所以，解得，所以， 又由函数，所以集合， 所以. 故选：D. 6.已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【详解】由，，， 所以，即，此时，，满足题设. 故选：D 7.已知全集，则实数 ． 【详解】由全集， 可得或，解得. 故答案为：. 8.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C．B D． 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 9.如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 【详解】，，，选项C正确. 故选：C. 10.已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 题型五 集合中的新定义问题 方法点拨： 1.紧扣定义：仔细阅读新运算规则 2.特例验证：用具体元素代入检验理解 3.类比迁移：联系已知运算 例题解析： 例1.整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 例2.若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 例3.集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是5等等．则A的所有“交替的”的总和是（   ） A． B． C． D． 【详解】集合的子集中，除了集合，还有个非空子集. 将其分为两类：第一类是含2008的子集，第二类是不含2008的子集，这两类所含的子集个数相同.如果A是第二类的，则必有是第一类的集合； 如果B是第一类中的集合，则B中除2008外，还应用中的数做其元素， 即B中去掉2008后不是空集，且是第二类中的. 于是把“成对的”集合的“交替和”求出来，都为2008， 则A的所有子集的“交替和”的和为. 故选：B 变式突破： 1.非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【详解】由于0不能作除数，所以，A正确；由性质①，取可得，B正确； 因为，所以，由性质①，即，C正确； 假设若，则，取可得与矛盾，D错误. 故选：D 2.对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【详解】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 3.当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域，都有）.以上关于数域的说法中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【详解】由题意可知对任意数域，存在非零实数， 则由数域定义，所以和是任何数域的元素，故①正确； 由①知，所以，以此类推，所有的正整数均属于数域，所以，故②正确； 集合，则，但，不满足数域的定义， 故集合不是一个数域，故③错误； 由①知所有正整数均属于数域，又， 以此类推，所有负整数均属于数域，所以所有的整数均属于数域， 所以对任意整数，有， 故对有理数集，有， 又对任意的，有， 所以有理数集是数域，且有理数集是最小的数域，故④正确. 故选：C 题型六 充分条件与必要条件 方法点拨： 则p是q的充分不必要条件 则p是q的必要不充分条件 若，则p是q的充要条件 若且，则p是q的既不充分也不必要条件 例1.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由不等式，可得， 因为集合是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 例2.“函数的定义域为”是“函数的定义域为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】根据题意，函数的定义域为，即，则有， ∴函数的定义域为. 对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， ∴充分性成立. 反之，若函数的定义域为，即，则有， ∴函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为， ∴必要性成立， ∴“函数的定义域为”是“函数的定义域为”的充要条件. 故选：A. 例3.命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 变式突破： 1.“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】正切函数的对称中心为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件.故选：A． 2．已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【详解】若是有理数，不妨取，则，但是无理数， 即“是有理数”不能推出“是有理数”， 若为有理数，则存在、且，使得，则为有理数， 故“是有理数”“是有理数”， 所以“是有理数”是“是有理数”的必要非充分条件， 故选：B. 3.不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 4.已知命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【详解】，所以，其中， 函数在上单调递减， 故当时，， 所以，又集合是集合的真子集， 所以是的一个必要不充分条件， 故选：B. 5.“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数单调区间可得，再由必要不充分条件结合选项依次判断即可. 【详解】图象的对称轴为直线，若在上单调，则， 对于A，“”是“函数在上单调”的一个充要条件，故A错误； 对于B，“”是“函数在上单调”的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C，“”是“函数在上单调”的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，“”是“函数在上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D错误. 题型七 命题的否定 方法点拨： 否定时要改变量词（全称→特称，特称→全称），前提不变，并否定结论 例题解析： 例1.已知命题，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由命题，， 得，. 故选：C. 例2．命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【详解】原命题“，使”是存在量词命题， 根据存在量词命题的否定规则为：将存在量词改为全称量词，并否定原命题的结论. ∴原命题的否定为：，使. 故选：D 例3．已知命题：自然数都是整数，则命题的否定为（   ） A．自然数都不是整数 B．存在一个自然数不是整数 C．整数都不是自然数 D．存在一个自然数是整数 【详解】因为全称命题的否定是存在命题， 所以命题的否定为存在一个自然数不是整数，故选：B 变式突破： 1．“是增函数”的否定是（　　） A．是减函数 B．是减函数 C．不是增函数 D．不是增函数 【详解】是增函数”的否定是不是增函数. 故选：D. 2．，否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为，否定是，. 故选：C. 题型七 参数范围问题 方法点拨： 例题解析： 例1．命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】命题“，有解”是假命题， 其否命题“，”是真命题， 在上恒成立，即小于的最小值， 令，则开口向上，对称轴为， ，故在内的最小值为， ． 故选：A． 例2．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 故选：C 例3．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分别求解一元二次不等式化简与，再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于的不等式求解． 【详解】解：由，得或， 即：或； 由，解得,即：， 是的充分不必要条件，或， 即或． 实数的取值范围是或． 故选：A． 变式突破： 1.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【详解】，，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，故，则， 因为，，， 故命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“”. 故选：B. 2.若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】，解得或， 即是或的充分不必要条件，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 3.已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 4.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 易错点 1. 互异性 核心问题：集合中元素不能重复，解方程后未检验重复值。 1．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去.（此处容易被忽略） 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 2．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍；（此处容易被忽略） 当时，符合题意； 故选：B. 2. 空集 核心问题：忽略空集（）的特殊性，尤其是在子集、交集、并集中。 1.设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得；（此处容易被忽略） 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 2.已知集合， (1)若集合为空集，求的取值范围； (2)对于非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 【详解】（1）， ，解得：， 的取值范围为：； （2），，解得：，（此处容易被忽略） 由题意“”是“”的必要不充分条件得是的真子集， ，解得：，符合，且不相等， 又， 的取值范围为： 3. 混淆“∈”“⊆” 核心问题：①写成“2⊆{2}”（正确：2∈{2}，{2}⊆{2}）② 认为“{1}∈{1,2}”（正确：{1}是{1,2}的子集，应写{1}⊆{1,2}） 1．已知集合，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】， .故选：D. 2．下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】对（1），，正确； 对（2），，不对；对（3），，正确；对（4），，表述错误，前者为元素，后者为集合，不可以用子集符号连接；则共有2个正确. 故选：B. 4. 混淆“数集与点集” 核心问题：关注代表元所代表的不同意义 1.下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【详解】集合. 故选：C. 2.（多选）已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】集合集合． 集合表示抛物线的点的坐标组成的集合， 故，A错误； 由知时，，当时，，故CD正确； 由知，故B正确． 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $形如二二<0 （E-c)(E-d)… 穿线法 如，解不等式名>1 绝对值不等式 0x>3,解得 ①存在性 3x∈ 恒能问题 第一章 集合与逻辑 双变量问题 一如， 题型 整数 ①奇数偶数 整数分割 如，A 整数衍生 ⊙较难 自由主题 CA 如，A={xax-1 全集U={2,4,-( 多解问题 互异性矛盾一 已知2 x轴上方为正 一从右往左穿线 x轴下方为负 名-1>0一名-1>0一通分得<0一 1<<3 拓展一二邵<0与其同解一1<x<3 把x+1当成整体 x>3或x<-3一②|x<3,解得-3<x<3一③|x+1<1 -1<x+1<1 函数f(x)=lg(2kx ,a>y,只需a>min一②恒成立一x∈I,a>y,只需a>max x∈R,2kx2-x x1∈I1,使得1>a一即，1找最小值 c1∈I1,3x2∈I2,使得y1>2 3x2∈I2,使得m>2一即，2找最小值 即，1的最小值>2的最小值 一{xx=2k+1,k∈Z}U{xlx=2k,k∈Z}={lx=k,k∈Z}一②除k余数 ={xlx=+,k∈Z},B={xlx=+,k∈Z} 一A与B的关系一令B中的k为2n十1得A a=0时，A=0,成立 ACC a≠0时，-1<是<1 0},B={x2a-1<x<a},C={x-1<x<1} a<2a-1时，B为0，成 2a-1<a时--1< a=2 a-3)2,A={2,a2-a+2},若CUA={-1}.求a a=4舍去 .m=3 ∈{0，m,m2-3m+2},求m 算出结果，要验证 .m=0和2舍去 一x+2)的定义域为R,求k 2k>0,开口向上 二次函数 函数图象在x上方 △<0，函数与x轴无交点 2>0 x=0时，2>0恒成立 分离变量一2x2k>x-2 x≠0时，k>安-2 求y=品-之=t-护，t卡0的最大值 —ACB 立 2a-1,且a≤1 专题01 集合与常用逻辑用语 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 集合的概念、数集 方法点拨： 1.元素的三要素 ①确定性：元素归属明确 ②互异性：解题后需验算元素是否重复 ③无序性：集合相等只需元素相同，与顺序无关 2.数集符号： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3.关注集合中的代表元 例题解析： 例1.下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 例2.下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 例3.下列关系说法错误的有（    ） ①    ②    ③⫋    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4.已知集合，集合，则（    ） A．0 B． C． D． 例5.（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 2.下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 3.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.若，则 . 题型二 元素与集合的关系、集合间的关系 方法点拨： 1.牢记元素与集合是“属于”（符号“∈”）关系，集合与集合间是“包含”（符号“⊆”）关系 2.若元素满足方程（如，例3），需分类讨论所有可能解并验证互异性 3.; 例题解析： 例1.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2.已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3.已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 例4.已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 例5.若，.当时，（    ） A． B．0 C．1 D．2 例6.已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 变式突破： 1.①，②，③，④，其中正确的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.设集合A＝{x|x＝2k＋1，kZ}，若a＝5，则有（    ） A．aA B．－aA C．{a}A D．{a}A 3.已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 4.已知，则 ． 5.已知集合，，，则实数a取值的集合为（   ） A． B． C． D． 6.已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 7.已知，，若，求实数的值. 8.设集合. (1)当时，求的取值范围； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 题型三 集合中的元素个数、子集个数问题 方法点拨： 1.Venn图活用：用于直观表示交、并、补集关系，尤其适合含参问题或容斥原理。 2.容斥原理：公式：()（拓展到三集合） 3.有n个元素的集合的子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个. 例题解析： 例1.已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 例2.已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 例3.某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 例4.某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 例5.已知集合，集合. (1)若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 例6.已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 变式突破： 1.下列三个关系式：①；②；③；④集合，这样的集合有2个.其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为 . 3.已知集合，则的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 5.为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 5.已知集合，. (1)若，求； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 6.已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 题型四 交集、并集、补集的运算 方法点拨： 1.含不等式的集合用数轴标区间 2.熟练掌握“穿线法”和绝对值不等式的解法 3.函数定义域的求法 4.解指、对不等式 例题解析： 例1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例2.已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 例3.已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 例4.已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 例5.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例6.若集合，，（   ） A． B． C． D． 例7.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 例8.(多选)已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 例9.已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 变式突破： 1.已知集合，为自然数集，则（    ） A． B． C． D． 2.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 5.集合，则（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 7.已知全集，则实数 ． 8.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C．B D． 9.如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 10.已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 题型五 集合中的新定义问题 方法点拨： 1.紧扣定义：仔细阅读新运算规则 2.特例验证：用具体元素代入检验理解 3.类比迁移：联系已知运算 例题解析： 例1.整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 例2.若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 例3.集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是，集合的“交替和”是5等等．则A的所有“交替的”的总和是（   ） A． B． C． D． 变式突破： 1.非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 2.对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 3.当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域，都有）.以上关于数域的说法中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型六 充分条件与必要条件 方法点拨： 则p是q的充分不必要条件 则p是q的必要不充分条件 若，则p是q的充要条件 若且，则p是q的既不充分也不必要条件 例1.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2.“函数的定义域为”是“函数的定义域为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例3.命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 变式突破： 1.“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3.不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4.已知命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5.“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型七 命题的否定 方法点拨： 否定时要改变量词（全称→特称，特称→全称），前提不变，并否定结论 例题解析： 例1.已知命题，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 例3．已知命题：自然数都是整数，则命题的否定为（   ） A．自然数都不是整数 B．存在一个自然数不是整数 C．整数都不是自然数 D．存在一个自然数是整数 变式突破： 1．“是增函数”的否定是（　　） A．是减函数 B．是减函数 C．不是增函数 D．不是增函数 2．，否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型七 参数范围问题 方法点拨： 例题解析： 例1．命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式突破： 1.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2.若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 4.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点 1. 互异性 核心问题：集合中元素不能重复，解方程后未检验重复值。 1．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 2. 空集 核心问题：忽略空集（）的特殊性，尤其是在子集、交集、并集中。 1.设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 2.已知集合， (1)若集合为空集，求的取值范围； (2)对于非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 3. 混淆“∈”“⊆” 核心问题：①写成“2⊆{2}”（正确：2∈{2}，{2}⊆{2}）② 认为“{1}∈{1,2}”（正确：{1}是{1,2}的子集，应写{1}⊆{1,2}） 1．已知集合，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中正确的个数是（  ） （1）     （2）     （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 混淆“数集与点集” 核心问题：关注代表元所代表的不同意义 1.下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 2.（多选）已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $概念 女关系 集合 运算 veen图 第一章 集合与逻辑 知识 条件 逻辑 量词 三要素一 ①确定性一②无序性一③互异性一集合{a,b} ,一a≠b 常用子集一 N自然数集，R实数集，Z整数集，Q有理数集，空集0 aly 22} 一定义域 —R 表示方法 ①列举一 ②描述 女关注代表元 Lyly 22} 一值域 一 [0,+∞) {(ac,y)川g=x2} 函数图象上点的坐标 属于∈一 元素与集合一 如，1∈Z 包含S一 集合与集合一如，ZCR 交集一 A∩B={xlx∈A,且x∈B} AnB=A→AcB 并集 AUB={xx∈A,或x∈B} ☆重要关系 AUB=B→AcB 补集 一CUA={xx足A,且x∈U} A B AOB A0B A∩B p是g的充分条件 集合角度 A={cc满足p};B={xx满足q;ACB q是p的必要条件 p→q x>1=x>2 例如，x>1是x>2的必要不成分条件 反之不成立 关键词：任意的 符号： 全称量词 p:c∈M,p(x)一p:c∈R,x>0 否定 p:3c∈M,p(x)—p:3x∈R,x≤0 关键词：存在 符号：3 特称量词 Qp:3x∈R,是>0 p:3c∈M,p(x) 否定 即，p:3x∈R,c>0 7p: ac∈M,p(x)一p:c∈R,x≤0