专题02 常用逻辑用语（期末复习讲义，6大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教版A版

该高中数学复习讲义以“常用逻辑用语”为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，结构化呈现命题概念、充分必要条件、全称与存在量词等知识点，用对比表格明晰充分、必要、充要条件的逻辑关系，突出易错点与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“集合法判断充分必要条件”“命题否定的量词与结论双重否定”等技巧，结合多地区期末真题与高考题，培养数学思维与表达能力。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

专题02 常用逻辑用语（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 2.1 充分条件与必要条件的判断 能通过“定义法”、“集合法”、“等价转化法”等多种方法，准确判断条件间的逻辑关系与类型。 核心易错点。学生常混淆“谁是条件”，导致判断颠倒。命题趋势是结合方程、不等式、集合、函数等知识构成复合情境题。 2.2 全称量词与存在量词命题的否定 能正确书写含有一个量词的命题的否定，并理解否定前后命题真假性的关系。 易错点集中：否定时只改量词（∀↔∃）而不否定结论。常以选择题形式考查对否定形式准确性的理解。 2.3 根据命题真假求参数范围 能利用充分、必要条件的逻辑关系，或全称/存在命题的真假，建立不等式（组）求解参数取值范围。 常见综合题型与难点。将逻辑关系转化为集合包含关系或方程（不等式）恒成立、能成立问题，是考查逻辑与代数综合能力的关键 知识点01 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 知识点02 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的______，是的______。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，________； 结论条件，_______ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 知识点03 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的___________ 若，即，，是的_________ 若，即，，是的______________ 知识点04 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 变为全称量词，全称量词变为 ． 题型一 判断充分条件与必要条件 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（24-25高一上·河南漯河·期末）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高一上·河南濮阳·期末）某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（   ） A．严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B．严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C．严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D．严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【变式1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 题型二 由充分条件与必要条件求解参数 【典例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【典例2】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【典例3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，． (1)若，求集合； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·四川泸州·期末）设全集，，． (1)求； (2)已知，若“”的充分条件是“”，求实数a的取值范围． 题型三 充要条件的证明 【典例1】（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【变式1】已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【变式2】已知实数x、y、z满足． (1)若、均为正数，，求的最小值，并求出此时、的值； (2)证明：“”是“”的充要条件． 题型四 含有一个量词的命题的否定 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【典例3】（24-25高一上·湖北·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25高一上·海南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·福建三明·期末）命题，都有．则为（   ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 【变式3】（24-25高一上·山西·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 题型五 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【典例1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【典例2】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知命题，命题，则（   ） A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期末）下列命题中，真命题的选项是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·陕西安康·期末）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 题型六 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 【典例1】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·云南昭通·期末）使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题成立；命题成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真假，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知命题“”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）“”是“有意义”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·广西钦州·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 二、多选题 6．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高一上·安徽淮南·期末）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围为 . 四、解答题 9．（24-25高一上·广东汕头·期末）设全集，集合，集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 10．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知集合函数 (1)若，设的解集为，求； (2)设命题，写出命题的否定；若命题是假命题，求实数的取值范围． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知均为实数，且，下列命题正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 4．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 二、多选题 5．（24-25高一上·广东梅州·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．， B．， C．，使得 D．，且，使得 6．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 8．（25-26高一上·全国·期末）已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 9．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 10．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合 (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 在①，②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题横线处，并求解． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 2.1 充分条件与必要条件的判断 能通过“定义法”、“集合法”、“等价转化法”等多种方法，准确判断条件间的逻辑关系与类型。 核心易错点。学生常混淆“谁是条件”，导致判断颠倒。命题趋势是结合方程、不等式、集合、函数等知识构成复合情境题。 2.2 全称量词与存在量词命题的否定 能正确书写含有一个量词的命题的否定，并理解否定前后命题真假性的关系。 易错点集中：否定时只改量词（∀↔∃）而不否定结论。常以选择题形式考查对否定形式准确性的理解。 2.3 根据命题真假求参数范围 能利用充分、必要条件的逻辑关系，或全称/存在命题的真假，建立不等式（组）求解参数取值范围。 常见综合题型与难点。将逻辑关系转化为集合包含关系或方程（不等式）恒成立、能成立问题，是考查逻辑与代数综合能力的关键 知识点01 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． （2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 知识点02 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 知识点03 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的______充分不必要条件______ 若，即，，是的____必要不充分条件_______ 若，即，，是的______充要条件_________ 知识点04 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 题型一 判断充分条件与必要条件 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式可得，且， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·河南漯河·期末）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 【典例3】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，则，反之成立，则也成立， 所以是的充要条件，故A错误； 选项B：若，当时，则，当时，则， 故无法一定得到，充分性不成立，故B错误； 选项C：当时，满足，但此时，充分性不成立，故C错误； 选项D：若，且，则，故充分性成立， 反之若，当时，，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 【典例4】（24-25高一上·河南濮阳·期末）某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（   ） A．严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B．严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C．严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D．严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24，但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖， 因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由不等式的性质可知由， 由， 故选：A 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知角所在象限，分析余弦值大小关系与正弦值大小关系之间的逻辑联系 【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减. 已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知 . 因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得. 这说明由可以推出. 当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得. 说明由也可以推出. 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【变式4】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 题型二 由充分条件与必要条件求解参数 【典例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【详解】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 【典例3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可； （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式，得，即， 解不等式，得，即， 所以； （2）由， 由是的充分不必要条件，可得是B的真子集， 所以，解得, 所以实数m的取值范围是. 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，． (1)若，求集合； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即得； （2）由条件判断集合B是集合的真子集，进而得到关于参数的不等式，求解即得. 【详解】（1）由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【详解】（1）， 或， 所以或． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 【变式3】（24-25高一上·四川泸州·期末）设全集，，． (1)求； (2)已知，若“”的充分条件是“”，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，，再根据补集和交集运算求解； （2）根据题意转化为，根据集合间的基本关系求解. 【详解】（1）因为，所以，即，所以，， 因为，所以，所以， 所以； （2）因为“”的充分条件是“”， 所以， 若，则，所以； 若，则，所以， 综上所述：． 题型三 充要条件的证明 【典例1】（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由不等式（当且仅当时等号成立）及不等式性质可得； （2）直接根据充分必要条件的充分性和必要性分别证明即可. 【详解】证明：因为（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）.又实数均大于0， 所以，，，再由不等式性质得， ,当且仅当时等号成立. 所以(当且仅当时等号成立) （2）充分性：因为， 所以，代入方程，得，即. 所以方程有一个根为1. 必要性：因为方程有一个根为1，所以满足方程， 所以，即. 故关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【变式1】已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【变式2】已知实数x、y、z满足． (1)若、均为正数，，求的最小值，并求出此时、的值； (2)证明：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)2，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由得到，验证等号成立的条件，即可得到的最小值及此时的值； （2）充分性证明：由得到，利用完全平方公式去掉括号，代入即可得到；必要性证明：将两边平方，去括号，代入即可得到. 【详解】（1），，，，， 当且仅当时取等号，联立，解得， 的最小值为2，此时； （2）充分性证明：，，， ，，； 必要性证明： ，， ，，. 题型四 含有一个量词的命题的否定 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断即可. 【详解】命题，的否定为：，或， 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·湖北·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是：， 故选：B 【变式1】（24-25高一上·海南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是“存在”改“任意”，并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为：，. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·福建三明·期末）命题，都有．则为（   ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定可得命题. 【详解】命题，都有， 根据全称量词命题的否定可得：使得. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·山西·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含有一个量词的命题的否定，需要“改量词，否结论”. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”. 故选：A. 题型五 判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【典例1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】举出反例，得到为假命题，举出实例，得到为真命题. 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知命题，命题，则（   ） A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 【答案】B 【分析】利用特例法判断命题的真假；判断指数函数与二次函数在上有一个交点，即可判断命题的真假. 【详解】因为时，所以命题为假命题； 因为时，；时，，且指数函数与二次函数都是连续函数， 所以指数函数与二次函数在上有一个交点，所以，故命题为真命题． 综上是假命题，是真命题． 故选：B． 【变式1】（24-25高一上·河北保定·期末）下列命题中，真命题的选项是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域，正弦函数、指数函数以及余弦函数的值域即可判断. 【详解】对A，当时，不成立，所以A错误； 对B，当时，不存在，所以B错误； 对C，当时，，所以C正确； 对D，因为函数的值域为，所以D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·陕西安康·期末）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】结合余弦函数、指数函数的性质判断存在量词命题、全称题词命题的真假. 【详解】由于，则命题是假命题，是真命题； 命题是真命题，是假命题， 故选：B 题型六 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 【典例1】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 【典例2】（24-25高一上·云南昭通·期末）使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题“，”为真命题的充要条件，根据充分不必要条件定义，结合选项即可得解． 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，其中， 又函数在上单调递增， 所以函数，的最大值为， 所以，即， 所以命题“，”为真命题的充要条件为， 根据选项，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题成立；命题成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，求出答案； （2）先求出真时，实数的取值范围，进而得到真假时，实数的取值范围. 【详解】（1）因为命题为真命题，即在上恒成立， 则判别式 即，解得． 所以实数的取值范围为. （2）若为真，即关于的不等式有解， 则，解得：或， 若假，则实数的取值范围为， 由（1）可知：若命题真，则实数的取值范围为； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知命题“”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由其否定为真命题，通过一元二次不等式恒成立求解即可； 【详解】由命题“”为假命题， 可得“”为真命题， 所以， 解得：， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 【变式3】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件． 故选：C. 2．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）“”是“有意义”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零解不等式，再利用范围大小可得结论. 【详解】易知若使有意义需满足，解得； 显然“”能推出“”，反之则不成立； 因此“”是“有意义”的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 4．（24-25高一上·广西钦州·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题. 所以否定为： 故选：B. 5．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【答案】B 【分析】由可得是假命题，进而由存在量词的否定可得. 【详解】因为， 所以方程无实数根，则是假命题， ，． 故选：B 二、多选题 6．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】由题知，进而根据题意得，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：解不等式得， 所以， 因为，“”是“”的充分不必要条件， 所以，即的取值范围为， 所以，可以是. 故选：BCD 7．（24-25高一上·安徽淮南·期末）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得， 选项中满足是集合真子集的是CD. 所以所求充分不必要条件是CD. 故选：CD 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】解不等式可得或，结合已知可得m的取值范围. 【详解】由，可得，解得或， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高一上·广东汕头·期末）设全集，集合，集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，代入，得到集合B根据补集与交集的运算，可得答案； （2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）解一元二次不等式，得或， 所以或，所以 当时， 所以 （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，又因为 所以或 解不等式组得 综上所述，实数的取值范围为 10．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知集合函数 (1)若，设的解集为，求； (2)设命题，写出命题的否定；若命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)命题的否定：，；实数的取值范围为 【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，利用补集的意义求得，进而利用交集的意可求； （2）利用存在量词命题的否定全称量词命题可求得命题的否定，法一：根据命题的否定为真命题可求得的范围.法二：求得命题为真命题时的范围，利用命题真假性的关系可求得结论. 【详解】（1）当时，，或， 而，所以. （2）命题的否定：，（或，）， 法一：命题是假命题，所以命题的否定为真命题， 即， 解得，所以实数的取值范围为． 法二：假设命题“，”为真命题； 则， 解得 ，为假命题， ，所以实数的取值范围为． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】若函数满足， 根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有，那么函数在区间内有零点. 但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的， 比如函数，当，时，， 但在上没有零点. 所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立. 若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时. 这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知均为实数，且，下列命题正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 【答案】D 【分析】举反例判断A，B，C，利用不等式的性质结合必要条件的定义判断D即可. 【详解】对于A，令，满足，不满足， 则不是的充分条件，故A错误， 对于B，令，满足，不满足， 则不是的必要条件，故B错误， 对于C，令，满足，不满足， 则不是的充分条件，故C错误， 对于D，若，由不等式性质得， 则是的必要条件，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案. 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题. 对于而言，令，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题. 故选：B 二、多选题 5．（24-25高一上·广东梅州·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．， B．， C．，使得 D．，且，使得 【答案】AC 【分析】结合配方法及全称量词命题的概念判断A，举例结合全称量词命题和存在量词命题的概念判断BC，结合幂函数的单调性及存在量词命题的概念判断D. 【详解】，恒成立，故A正确； 当时，，故B显然错误； 当时，，故C正确； 因为在上单调递增，由可得，故D错误． 故选：AC 6．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·全国·期末）已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合正、余弦函数的最值，分别求出为真命题时的取值范围，求交集即可得解. 【详解】若命题为真命题，则，即； 若命题为真命题，则，即． 因此若均为真命题，则，即实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以. （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是. 10．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合 (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 在①，②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题横线处，并求解． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）解不等式求出集合，再求； （2）选①或选②，得到，可得不等式组，求出实数的取值范围；选③，得到，或，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 所以； ； （2）集合， 选①，则， 显然时，要想满足， 只须，解得， 所以实数的取值范围是； 选②“”是“”的充分条件，则， 显然时，要想满足， 只须，解得， 所以实数的取值范围是； 选③， 需满足，或， 解得，或， 所以实数的取值范围是，或. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 7．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $