13.2.1三角形的边同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2.1三角形的边同步练习 一、单选题 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 3．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 5．将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 二、填空题 8．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 ． 9．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 10．小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 11．一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 12．若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 13．已知三角形的三条边长为6、9和．若6是最短边长，求的取值范围 14．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以为 （只填符合条件的一个即可）． 15．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 ． 16．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 17．已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 18．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 三、解答题 19．如图，点D是的边上任意一点，求证：．    20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画，要求： （1）在图①中画一个直角三角形，在图②中画一个锐角三角形，在图③中画一个钝角三角形． （2）点C在格点上． 21．设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值． 22．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 23．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系定理，只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成三角形，符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 3．C 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．分①腰长为和②腰长为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得． 【详解】解：①当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以满足三角形的三边关系， 所以此时它的周长为； ②当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以不满足三角形的三边关系； 综上，这个等腰三角形的周长为， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．折叠后形成的三角形三边分别为，利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：由题意得：折叠后形成的三角形三边分别为， 则， 解得， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是根据三角形三边关系得出不等式，进而分析得出a、b的关系． 先根据判断出与的大小，再依据三角形三边关系列出不等式，推导出，结合、是大于的整数，得出，从而求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 根据三角形三边关系得： ①， ②， 由①得，， 由②得，， 所以， 又因为a，b均是大于1的整数， 所以， 即． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用， 根据已知条件，先得出的可能值是，再结合三角形的三边关系，对应求得的值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； ∵三角形边长相同，形状也就相同， 上述三角形中三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次， ∴满足条件的三角形一共有个， 故选：． 8．三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 【详解】解：其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 9．4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 10．能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键．根据，可得答案. 【详解】解：由题意可知，， ∴小刚能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 11． 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形． 【详解】解：共有个角，则共有（个）三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 所以锐角三角形的个数． 故答案为：3． 13． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用：三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； 【详解】解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； 故答案为： 14．3（答案不唯一，还可以是5或7） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行作答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于，而小于． 又因为三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，所以第三边应是奇数． 所以第三边为3或5或7． 故答案为：3（答案不唯一，还可以是5或7）． 15．8 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边长为整数确定最大值． 【详解】解：设三角形的第三边长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 16．5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 17． 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 18． 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 19．见解析 【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论． 【详解】证明：在中，， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关系． 20．见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．根据网格画出符合条件的三个三角形即可． 【详解】解：如图所示：即为符合条件的三角形（答案不唯一）． 21．见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边．根据，得，根据三角形三边关系，求出，根据，求出，根据的长度均为自然数，得出c只能取5或6，然后得出答案即可． 【详解】解：由，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长度均为自然数， ∴c只能取5或6，从而 a 3 4 1 2 3 b 5 4 6 5 4 c 5 5 6 6 6 ∴共可组成5个三角形． 22．(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 23．(1)见解析 (2)选路线②，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ， ， ∴乌龟的路线更短． （2）选路线②．理由如下： 如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ∴路线②的路程比路线③短， ∴乌龟可选路线②． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $