第二十二章 二次函数 基础过关单元测试卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数答案 1. C 对于 A,当a=0时, 不是二次函数，不符合题意；对于B, y是x 的一次函数，不符合题意；对于 y一定是x 的二次函数，符合题意；对于D, 中含有分式，不是二次函数，不符合题意，故选 C. 故选 B. 3. C 故选 C. 4. B 二次函数 函数图象开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为(0，0)，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.故选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意，故选 B. 5. A 将抛物线 向上平移2个单位长度，所得抛物线解析式为 再向右平移1个单位长度，所得抛物线解析式为 故选A. 6. B由题意可得 解得 ∵二次函数 对称轴在 y轴右侧，∴-m >0,∴m<0,∴m=-3,∴y=x²-3x+12= 抛物线开口向上，∴二次函 数有最小值 ,故选 B. 7. C由题表可以看出，当x 取1 与2之间的某个数时，y=0，即这个数是 的一个根，故关于x的一元二次方程 的一个解的大致范围是1<x<2,故选 C. 8. D 小球经过约 1.02 s离地面的高度为10×1.02一 故选项A错误，不符合题意；小球离地面的高度为5m 时,经过约0.88s或1.16s,故选项B错误，不符合题意；小球经过约1.16 s离地面的高度为5m ，并将继续下降，故选项C错误，不符合题意；小球两次到达离地面的高度为5m 的位置，其时间间隔约为1.16-0.88=0.28s,故选项D正确,符合题意,故选 D. 9. D由二次函数图象开口向下可知a<0，由对称轴x= 得b>0，∴一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限(提醒：一次函数的图象与性质)，不经过第四象限，故选 D. 10. C 结论 逐个分析 正误 ① 根据抛物线的开口方向可得 a<0.又 根据抛物线与y 轴交点的位置可得c>0,∴abc<0 ✗ 学科网（北京）股份有限公司 ∴正确的个数为2，故选 C. 11.增大 ∵抛物线 ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴当x>0时，y 随x的增大而增大. 12(-2,-1) 把点 A(1,2)的坐标分别代入两个解析式,得2=k+1,2=a+3,解得k=1,a=-1,∴两个函数解析式分别为 联立 解得 或 °B 点坐标是(-2,-1). (答案不唯一)设该函数的解析式为 b(a>0),∵图象过点(1,1),(2,4), 解得这个函数的解析式可以是 故答案为 (答案不唯一). 14.1由题意得，点(-2，5)向下平移3个单位长度后得到的点(-2，2)在抛物线 上,∴2=a×(-2)²+b×(-2)-5,∴4a-2b=7,∴8a-4b-13=2(4a-2b)-13=2×7-13=1. 15. x=-1或x=3 抛物线 的对称轴为直线 ∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0)(依据：若(x₁，m)与(x₂，m)是抛物线上两点，则抛物线的对称轴为直线 的根 为x=-1或x=3. 16.(1,-3)或( 或 17.解: ∴函数图象的顶点坐标为(1，4). (2)函数的图象如图所示. (3)根据图象可知,当-1<x<2时,0<y≤4. 18.解:(1)60. 【解题过程】令y=0，则 解得x₁=0,x₂=60,∴OA=60m. (2)令y=5,得- 解得 ∴可设计赛道的宽度为50-10=40(m). ∴最多可设计赛道4条. 19.解:(1)把A,B,C三点的坐标分别代入 75 解得 ∴该二次函数的解析式为 (2)设平移后的二次函数的解析式为 将点 D(5，0)的坐标代入 得 解得k=-1, 学科网（北京）股份有限公司 20.解:(1)把A(-1,0)的坐标代入y₁==x+m, 得0=-(-1)+m, ∴m=-1, ∴一次函数的解析式为 当x=2时, 即n=-3, ∴B(2,-3). 把A(-1,0),B(2,-3)的坐标分别代入 (提示：用纵坐标之差表示距离), ∴当 时，PM 的值最小，且最小值为 21.解: (2)设利润为ω元， 当22≤x≤30时,ω=(x-20)(-x+70)=-x²+ ∵在22≤x≤30范围内，ω随着x的增大而增大， ∴当x=30时,ω取得最大值为400; 当30<x≤45时,ω=(x-20)(-2x+100)=-2x²+ ∴当x=35时,ω取得最大值为450. ∵450>400, ∴当销售价格定为35元/kg时，每天获得的销售利润最大，最大利润为450元. 22.解：(1)由解析式可知，抛物线经过原点. ∵AB=4,点 B 在x轴正半轴, ∴对称轴 (2)∵抛物线解析式为 ∴点C的坐标为(2,-4), ∴△ABC 的面积为 (3)∵抛物线的解析式为 ∴设点 P 的坐标为( ∵点 M 在直线 上,PM∥y轴, ∴点 M 的坐标为 23.解:( PB=AB-AP=(18-2x) cm, BQ=x cm, 即 ∵当0<x≤4时,y随x的增大而增大, ∴当x=4时,y最大=20, 即△PBQ 面积的最大值是20 cm². bx-3, 得 解得 ∴二次函数的解析式为 (2)结合图象可知，不等式 的解集为x≤-1或x≥2. 24.解:(1)把A(-1,0),B(2,0)的坐标分别代入 bx+c, 得 解得 所以抛物线的解析式为 (2)存在. 如图，易知点A，B关于对称轴对称，则连接BC 交对称轴于点 M,此时MA+MC 的值最小,即△ACM 的周长最小. 当x=0时,y=-2,所以C(0,-2). 设直线 BC 的函数解析式为y= kx+t(k≠0), 把B(2,0),C(0,-2)的坐标代入,得 解得 所以直线 BC 的函数解析式为y=x-2. 易知抛物线的对称轴为 当 时， 所以 学科网（北京）股份有限公司 (3)因为 轴于点Q， 所以 因为 是等腰直角三角形， 所以AQ=PQ. 因为点 P 在抛物线 上， 所以设 则Q(m,0). 所以 所以 即 或 整理得 或 当 时， 解得m=3或m=-1(舍去), 此时P(3,4); 当 时，解得m=1或m=-1(舍去),此时P(1,-2). 综上,点P 的坐标为(3,4)或((1,-2). 学科网（北京）股份有限公司 减少 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数 基础过关检测卷 时间:90分钟 满分:120分 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是 ( ) 2.(2024·山西太原段测)将二次函数 变形为顶点式得到的解析式为 ( ) 3.下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x=-2的是 ( ) 4.对于二次函数 下列说法正确的是 ( ) A.函数有最小值 B.函数图象开口向下 C.函数图象的顶点坐标是(1，-1)D. y随x的增大而减小 5.在平面直角坐标系中，将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ( ) 6.在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数)的图象经过点(0，12)，其对称轴在 y 轴右侧，则该二次函数有 ( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值8 D.最小值8 7.根据下列表格中二次函数 的自变量x 与y的对应值，判断关于x 的一元二次方程 的一个解的大致范围是 ( ) x -1 0 1 2 3 4 y -7 -5 -1 5 13 23 A.-7<x<-1 B.-1<x<1 C.1<x<2 D.-1<x<5 8.根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过x s离地面的高度(单位：m)为 根据该规律，下列对方程 的两根 与 的解释正确的是 ( ) A.小球经过约1.02 s离地面的高度为5m B.小球离地面的高度为5m 时，经过约0.88 s C.小球经过约1.16 s离地面的高度为5m ，并将继续上升 D.小球两次到达离地面的高度为5m 的位置，其时间间隔约为0.28s 9.二次函数 的图象如图所示，则一次函数 y=x+b的图象一定不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②y随x的增大而增大;③2a+b<0;④a+b+c<0;⑤b²<4ac.其中正确的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中的横线上) 11.对于抛物线 当x>0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”) 12.一次函数y= kx+1图象与二次函数y= 图象交于两点A(1，2)和B，则B 点坐标是 . 13.某个函数同时满足两个条件:①图象过点(1,1),(2,4);②当x<0时,y随x的增大而减小.这个函数的解析式可以是 .(只要写出一个符合题意的答案即可) 学科网（北京）股份有限公司 14.将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点(-2,5),则8a-4b-13的值是 . 15.二次函数 的部分图象如图所示，则方程 的根为 . 16.二次函数 的图象如图所示,若线段AB 在x轴上,且 AB 为 个单位长度，以AB 为边作等边 使点 C 落在该函数的图象上，则点 C 的坐标为 . 三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分) 已知二次函数 (1)求函数图象的顶点坐标； (2)并画出这个函数的图象； (3)根据图象，直接写出当-1<x<2时，函数值y 的取值范围. 18.(本小题满分8分) 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系 学科网（北京）股份有限公司 xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O 的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m . (1)水面的宽度 (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9 m，求最多可设计龙舟赛道的数量. 19.(本小题满分8分) 已知二次函数 图象经过A(2,3),B(3,6),C(-1,6)三点. (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数 图象平移使其经过点 D(5，0)，且对称轴为x=4，求平移后的二次函数的解析式. 20.(本小题满分8分) 如图,A(-1,0),B(2,n)是一次函数 与二次函数 的图象的两个交点. (1)求m，n的值和二次函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式 的解集. 学科网（北京）股份有限公司 21.(本小题满分10分) 某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现，每天的销售量 y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数关系式； (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大?最大销售利润是多少? 销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量 22.(本小题满分10分) 已知抛物线 与x轴交于点A，B(点 B 在x 轴正半轴),顶点为C,且AB=4. (1)求a 的值; (2)求 的面积； (3)若点 P 为抛物线上一点，PM∥y 轴交直线 于点 M,求 PM的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 23.(本小题满分10分) 如图，矩形ABCD 的两边长AB=18cm,AD=4cm,点 P,Q分别从A，B 同时出发，点 P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为x秒, 的面积为 (1)求y 关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求 的面积的最大值. 24.(本小题满分12分) 如图，抛物线 与x轴相交于A(-1,0),B(2,0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM 的周长最小?若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上有一点 P，过点 P 作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ 是等腰直角三角形，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $