精品解析：河南省三门峡市渑池县2025-2026学年八年级上学期期中学情监测数学试卷

2025-2026学年上学期期中学情监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚；考场上不允许使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案． 【详解】A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形． 2. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长是解题关键． 分两种情况讨论：当腰长为4时，不满足三边关系；当腰长为8时，满足三边关系，计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为4和8， ∴可能情况：腰为4，底为8；或腰为8，底为4， 当腰为4，底为8时， ∵ ，不符合三角形三边关系， ∴该情况不成立； 当腰为8，底为4时， ∵，，，均满足三边关系， ∴ 周长为． 故选：C． 3. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据三角板可知，， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意； B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意； D、添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 5. 如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ） A. 1000m B. 800m C. 200m D. 1800m 【答案】C 【解析】 【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案． 【详解】如下图 过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长． ∵AD平分∠CAB，AC⊥BC ∴DE=CD=BC-BD=1000-800=200（米） 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：∵，，，， ，, ∴, ． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 7. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵与关于直线AD对称， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算． 8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 9. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 【答案】C 【解析】 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是____（写出一个即可）． 【答案】（3，-2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】如图，把沿轴对折可得 再根据的位置确定其坐标即可. 【详解】解：如图，把沿轴对折可得： 则 同理：把，关于轴对折，可得： 综上：的坐标为：或或 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，三角形全等的性质，坐标与图形，熟练的利用轴对称确定全等三角形的对应顶点是解本题的关键. 14. 如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为_______厘米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过A作于E，过B作.于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为10厘米，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过A作于E，过B作于F， ∵， ∴， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为60厘米． 故答案为：60． 15. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 17. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）， （1）请以y轴为对称轴，画出与△对称的△，并直接写出点、、的坐标； （2）点（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则____________， ____________． 【答案】（1） 解：△如下图，A1（－1，－4）、B1（－5，－4）、C1（－4，－1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）先得到△ABC关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）由关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反，即可求得a，b的值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵P（a+1，b-1）与点C（4，-1）关于x轴对称， ∴，解得：， 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题的关键是要注意：先找到图形的关键点，分别把这几个点轴对称，在顺次连接对应点即可得到所求图形． 18. 某数学兴趣小组同学就“测量河两岸两点之间的距离”这一课题，经过思考、讨论，设计了如下方案． 课题 测量河两岸两点之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使点在同一直线上，且． ②测得，． ③在的延长线上取点，使得． ④测得的长为15m． （1）两点之间的距离是______m． （2）请你说明方案正确的理由． 【答案】（1）15 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 由三角形内角和定理，得出，进而证明，推出，即可求解． 【小问1详解】 测得的长就是两点之间的距离，即15米． 答案为：15． 【小问2详解】 理由：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 测得的长就是两点之间的距离，即15米． 19. 作图并证明： （1）如图，在的边AC的上方作，在射线AE上截取，连接CD；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，证明：． 【答案】（1） 图中的，AD，CD为所求作的图形； （2） ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】对于（1），以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以点A为圆心，为半径画弧，然后以点G为圆心，为半径画弧，交于点H，作射线，再截取，连接； 对于（2），根据（1）可知，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，平行四边形的性质和判定等，尺规作出一个角等于已知角是解题的关键． 20. 如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E． （1）若，则的周长是多少？为什么？ （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：的周长为10． ∵直线l与m分别是边和的垂直平分线， ∴， ∴的周长； （2） 【解析】 【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长公式求解即可； （2）依据，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线l与m分别是边和的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 21. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． （1）证明：； （2）如果，，求AE、BE的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接BD、CD， ∵且平分BC， ∴BD=CD， ∵AD平分，于E，于F， ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF； （2）AE=4，BE=1 【解析】 【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论； （2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AD平分，于E，于F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∴CF=AF-AC=AE-AC， 由（1）知：BE=CF， ∴AB-AE=AE-AC 即5-AE=AE-3， ∴AE=4， ∴BE=AB-AE=5-4=1， 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 23. 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【答案】 （1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ， 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C＋∠APC＝90°， ∴∠APC＋∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ； （2）讨论：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可． 【详解】解：（1）略 （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中学情监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚；考场上不允许使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20 3. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ） A. 1000m B. 800m C. 200m D. 1800m 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是________． 12. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是____（写出一个即可）． 14. 如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为_______厘米． 15. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）， （1）请以y轴为对称轴，画出与△对称的△，并直接写出点、、的坐标； （2）点（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则____________， ____________． 18. 某数学兴趣小组同学就“测量河两岸两点之间的距离”这一课题，经过思考、讨论，设计了如下方案． 课题 测量河两岸两点之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使点在同一直线上，且． ②测得，． ③在的延长线上取点，使得． ④测得的长为15m． （1）两点之间的距离是______m． （2）请你说明方案正确的理由． 19. 作图并证明： （1）如图，在的边AC的上方作，在射线AE上截取，连接CD；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，证明：． 20. 如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E． （1）若，则的周长是多少？为什么？ （2）若，求的度数． 21. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 22. 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． （1）证明：； （2）如果，，求AE、BE的长． 23. 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $