安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期周末检测数学试卷（九）

六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（九） 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（     ） A． B．0 C．或0 D．8或0 4．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D， 于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（     ）． A． B． C． D． 7．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是（ ） A． B． C． D． 8．已知点在抛物线：上，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知方程C：，则下列结论正确的是（     ） A．若方程C表示椭圆，则 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 10．已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点，反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（     ） A． B．延长交直线于点，则三点共线 C． D．若平分，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线与抛物线交于，两点，则 . 13．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 14．双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， （1）求C的标准方程. （2）设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 16．（本小题满分15分） 设抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． （1）若，求的方程； （2）若，求． 17．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. （1）求曲线E方程； （2）若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，O三点不共线，且， 试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 18．（本小题满分17分） 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（本小题满分17分） 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（九）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C C A C D A B BC ABD BCD 12. 16 13. 14.3 8.【答案】B【详解】因为点在抛物线：上，所以，所以为抛物线：，设，，因为抛物线：，则， 则，即，由与圆相切得：，即，又，则；同理， 所以，都在直线上， 11．【答案】BCD【详解】由题意可得抛物线焦点，，如图， 将代入解得，所以，则直线的斜率，则直线方程为，即，联立得，所以，解得，A说法错误；将代入解得或（舍去），则，所以，C说法正确；由已知可得轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令解得，即，所以在直线上，所以三点共线，B说法正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得，D说法正确；故选：BCD 14．【答案】3【详解】  根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线，则，由双曲线的定义及已知条件可知，即，由勾股定理可知，又，所以，即，整理得，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：3. 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以，解得因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又，，即，，又，，，由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1）设直线的方程为，将其代入抛物线得：， 设，，，，则，①，②， 由抛物线的定义可得：，解得， 直线的方程为． （2）若，则，，化简得，③ 由①②③解得，，，． 17.【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 18．【答案】(1) (2) (3)存在 【详解】（1）由题意得解得，所以的方程为. （2）设，由题意知，所以，因为，所以当时，， 所以. （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得，所以.所以.联立直线与抛物线的方程，得消去并整理，得，所以， 所以，所以，若为定值，则，即，所以存在，使得为定值. 19.【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为，因为点在上，且，可得，解得，所以抛物线的方程为. （2）解：（ⅰ）方法一：设点，所以切线方程为，联立得 整理得，令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为，则，则的方程为，联立方程组，解得，则，因为，可得，由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得，所以点或. 方法二：投影向量,无解解得，所以点或.方法三：抛物线光学性质 过作x轴垂线交于N点，于T点PQ：，令，则M是FN中点，又故所以PQ是FN垂直平分线，所以解得，所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上，又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最大值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $