安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期周末检测数学试卷（八）

六安一中2025年秋学期高二年级周末作业 数学试卷（八） 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（     ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ） A． B．2 C． D． 6．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（     ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 10．已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（   ） A．C的渐近线方程为 B．C的离心率为 C．M到两渐近线的距离之积为 D． 11．已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，．若P为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（   ） A．当，时， B． C． D．当时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程为 . 13．已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 14．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转得到．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． （1）求圆心的轨迹的方程； （2）已知点M（1,2），F（），且P为E上的一个动点，求的最大值. 16．（本小题满分15分） 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； （2）若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 17．（本小题满分15分） （1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由 18．（本小题满分17分） 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内． （3）证明直线MN过定点，并求出这个定点坐标。 19．（本小题满分17分） 如图3所示，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、． （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明； （3）设，求证为定值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 六安一中2025年秋学期高二年级周末作业 数学试卷（八）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B A C D C A AC BCD AD 9．AC .【详解】设，由PA，PB的斜率之积为定值，得，即． 对于A，当时，方程化为，此时点在圆上，故A正确； 对于C，当且时，方程可化为，表示椭圆，当时，点在焦点在轴上的椭圆上，故C正确；对于B，D，当时，方程可化为，点在焦点在轴上的双曲线上，故B，D错误．故选：AC. 10．BCD 【详解】设，则，有，即，则，又，则，，，所以C的方程为，故渐近线方程为，A错误；，B正确； 因为，则，即，所以点M到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；由双曲线定义得．由， 得，解得，则，所以，D正确．故选：BCD 11．AD 【详解】由，，得，． 所以，当，时，，则正确．； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即．令，，则，其中，，取． 因为，，所以，，所以，，故．因为，所以在上单调递增，故，则正确．故选：AD． 12． 13. 14． 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴，设两渐近线夹角为，则，解得，又，整理得，由，解得，所以旋转之前双曲线的一条渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为.故答案为： 15.(1) (2) 16．(1)，曲线C是以为圆心，为半径的圆 (2) 【详解】（1）设，由题意得，化简并整理可得曲线C的方程，∴曲线C是以为圆心，为半径的圆. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），，圆心到双曲线E的渐近线的距离，∴，，∴双曲线E的标准方程为. 17．（1）设直线与椭圆的交点为．因为，所以点在椭圆内，为的中点，．又两点在椭圆上，则，两式相减得，于是，，即， 故所求直线的方程为，即． （2）设存在被点平分的弦，且， 则，，两式相减，得，故直线． 由，消去得，． 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 18．（1）由题意，，解得，故椭圆的方程为. （2） 如图，设，由题意，， 则直线的方程为，代入，整理得：， 则，即，，故， 直线的方程为，代入，整理得：， 则，即，，故， 于是，， 因，故可得，即为钝角，因圆的直径所对的圆周角为直角，故点在以为直径的圆内. (3) (1，0) 19．(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，椭圆离心率为，得． 又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为.所以椭圆的焦点坐标为．因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为. （2）设，则，，且所以．故. （3）设直线方程为，则直线方程为，得，.设，，则 ，，． 同理．．故为定值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $