安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期周末检测数学试卷（七）

六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（七） 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 2．已知椭圆经过点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（     ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（     ） A． B． C． D． 5．直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（    ） A．49 B．48 C．25 D．24 7．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的方程是，P是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（     ） A． B． C． D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知曲线，则（     ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 10．已知椭圆的右焦点为，点A在椭圆上．若（是坐标原点）是等腰直角三角形，则的离心率可能是（     ） A． B． C． D． 11．已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，， 则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B． C．最小值为2 D．最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则 ． 13．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最近距离为 . 14．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知焦点在y轴上的椭圆，短轴长是，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 16．（本小题满分15分） 已知曲线的方程为，直线． （1）当时，求被截得的弦长； （2）已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 18．（本小题满分17分） 已知椭圆C：（），（1,1），（0,1），（–1，），（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 19.（本小题满分17分） 已知椭圆的为2，离心率为为的左，右焦点，是椭圆上的两点. （1）求的方程； （2）若两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点所构成的四边形面积的最大值. 六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（七）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A A C D A C AC ABD BD 12． 13． 14． 8【详解】 椭圆，设，则， ，当时，.故选：C 11．【答案】BD 【详解】由椭圆，则，即． 对于A，由余弦定理得 ，因为，当且仅当时等号成立，所以，因为在上单调递减，且， 所以，则不存在点P，使得，故A错误；对于B，， 故B正确；对于C，， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号，则最小值为，故C错误； 对于D，，由，则，则，当且仅当三点共线，且在以为起点，过的射线上时取等号，则最小值为3，故D正确． 故选：BD． 14．【详解】如图，设，则，． 又由椭圆定义可得．则在中，由余弦定理可得: ． 则，则在由余弦定理可得： ． 又． 故答案为： 15．【详解】（1）,则,又,故，椭圆的标准方程是 （2）  设，代入椭圆方程得：， 两式相减得：， 又根据题意知：，代入可得：， 所以的斜率， 故的方程为，即. 16【详解】 （1）当时，直线 联立方程： ，整理可得：， 根据韦达定理：， 根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为： ； （3）设，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， 根据韦达定理：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得. 17．【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.    联立直线方程与椭圆方程，可得：， 化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 18．【详解】：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 19． 【详解】（1）由已知得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. （2）①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为，两点都在轴上方，且，所以， ，设直线，由，消去得， ， 设，则（1）；（2）， 因为，所以（3）， 由（1）（2）（3）得，解得，由图知此时， 则 ，故. ②由①知，且，所以， 所以 当且仅当，即时取等号． 所以四个点所构成的四边形面积的最大值为2．    1 学科网（北京）股份有限公司 $