安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期周末检测数学试卷（一）

六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（一） 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（     ） A．11 B． C．45 D．3 2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 3．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的 ，则该组数据的第40百分位数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．9 4．已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（     ） A． B． C． D． 5．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（     ）   A． B． C．4 D．2 6. 已知在直三棱柱中，，，，， 则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点,则与平面EFGHKL所成角的余弦值（ ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 10．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（     ） A．平面α的一个法向量为 B．直线l经过点 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l与平面α所成角的正弦值为 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（     ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．向量 且 ，则实数 . 13．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 14．某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．   （1）求直线到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 16．（本小题满分15分） 一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外无任何差别 （1）采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5” （i）写出等可能性的样本空间； （ii）求事件发生的概率； （2）采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若四边形为正方形，平面，二面角为，求二面角的余弦值. 18．（本小题满分17分） 如图1，在平面四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）线段上存在点，使得三棱锥的体积为．试求出与平面所成角的正弦值. 19．（本小题满分17分） 在四棱锥中，底面为正方形，，，与相交于点，为的中点. （1）设， （2）求平面与平面夹角的余弦值. 六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C A C A B A BCD ABD BD 1．【答案】A 【详解】因为，所以， 所以.故选： 2．【答案】D 【详解】因为，，则， 得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 所以与的位置关系是：或，故选：D. 3．【答案】C 【详解】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17， 则极差为，故该组数据的中位数是，数据共6个，故中位数为，解得，因为，所以该组数据的第40百分位数是第3个数6，故选：C. 4.【答案】A 【详解】由，可得， 所以，当点共面时，可得，解得. 故选：A. 5．【答案】C 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ，所以，即.故选：C. 6．【答案】A 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，，设异面直线与所成角为， 则.故选：A 7．【答案】B 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2. 则，，，，，，，. 可得，，，，，. 可得，， 故，，又， 所以平面LEF，即平面EFGHKL.是平面EFGHKL的一个法向量， 设与平面EFGHKL所成角为， ，, . 所以, 所以与平面EFGHKL所成角的余弦值为. 8．【答案】A 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 9．【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误； B选项：若，则，B选项正确； C选项：与互斥，那么，C选项正确； D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；故选：BCD. 10．【答案】ABD 【详解】由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确； 因为直线l是平面与的交线，所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验：满足方程，也满足， 故直线l经过点，故B正确；设直线l的一个方向向量为， 而平面与的法向量分别为， 则有，可得，令，则，所以，故C错误；, 故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确；故选：ABD. 11．【答案】BD 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 12.【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以，即， 有，故实数 .故答案为： 13．【答案】/ 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为，则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、，则，， 设，则.，则，令 14．【答案】2 【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为，方差分别为， 则该校高一学生每周锻炼时长的平均数，所以该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为.故答案为：2 15．（13分）【答案】（1）证明见解析， （2） 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． 由上可知，，，，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离，又，，，，则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为，由（1）可知，，， 则即令，则，所以． 设点到平面的距离为，， 则点到平面的距离为． 16.（1）（i）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， （ii）事件，其中所以. （2）5球中有放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. 17．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接. 因为几何体为四棱台，且， 所以. 所以四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为正方形，平面， 所以，.所以面. 连接，则.所以为二面角的平面角 由已知得.所以. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 设平面的一个法向量为. 因为，. 由得,令，得 即.易知平面的一个法向量为. 因为， 所以二面角的余弦值为 18．（17分）【答案】（1）证明见解析 （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【详解】（1）在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即，在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，得，则，由，得，而，平面，则平面，又平面，所以. （2）（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 线段上存在点，使得三棱锥的体积为，在中，，所以，因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为，令，由（2）得，，又平面的法向量为，则点到平面的距离为，解得，所以是线段的中点，故，， ，由题意可知，,,设与平面所成角为，则 19、（1）证明：在正方形中，延长交于，连接, (2)由余弦定理得, 在,过点作 ,以为原点，分别以方向建立空间直角坐标系；如图所示： 则 设 则 设平面与平面夹角为，则 ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $